Appunti ed esercizi su: Studio e rappresentazione cartesiana di funzioni: gli strumenti del calcolo differenziale

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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: Studio e rappresentazione cartesiana di funzioni: gli strumenti del calcolo differenziale 19 gennaio Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 Leggi qui! Istruzioni per l uso di questi appunti Questi appunti sono in fase di bozza Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali! Come usare questi appunti L approccio seguito in queste dispense è un po diverso da quello tipico dei libri tradizionali. Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo personale : non sempre c è una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verrà richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai costruirti gli esercizi, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici... Ad esempio, in una sezione dell archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all abbinamento. In questo modo, separando la richiesta dell esercizio dal singolo esempio su cui applicare tale richiesta, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio. Nota dell autore Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si è tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali. Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica. Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant altro, scrivimi a fra.marchi@yahoo.it. Ringraziamenti Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre più completi. Versione finale 19 gennaio 2012.

3 Indice I La rappresentazione cartesiana delle funzioni 5 1 Derivate Introduzione Dominio e segno La derivata prima La derivata seconda Il segno delle derivate in un intervallo Il segno delle derivate in un punto e punti notevoli Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti Derivate: esercizi Esercizi di carattere teorico Vero o falso Date alcune condizioni, individuare il grafico Esercizio Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile Esercizio Esercizio Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc Esercizio Dato il grafico, individuare/scegliere un espressione analitica plausibile per f Esercizio Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della derivata prima e seconda in un punto Esercizio Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e seconda in un intervallo Esercizio Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della derivata Esercizio Studio completo Studio completo di funzione Studio di funzione Studio qualitativo di funzione II Complementi 23 4 Grafici deducibili Trasformazioni geometriche Esercizio Esercizio

4 2 INDICE 4.2 Grafici deducibili con considerazioni algebriche e geometriche Traslazione Amplificazione Funzione reciproca Grafici deducibili tramite composizione con funzioni elementari Funzione esponenziale III Appendici 31 A Continuità e derivabilità: approfondimenti 33 A.1 Continuità e discontinuità A.1.1 Studio di continuità A.1.2 Esercizi con parametri A.2 Derivabilità e non derivabilità A.3 Relazione tra derivabilità e continuità A.3.1 Vero o falso A.4 Esercizi sui grafici A.4.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico A.4.2 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc

5 Parte I La rappresentazione cartesiana delle funzioni 3

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7 Capitolo 1 Derivate In questo capitolo vediamo come le derivate costituiscono un ulteriore strumento per lo studio di funzione. 1.1 Introduzione Supponiamo di voler studiare il grafico della funzione: y = x 2 3x Con i metodi della geometria analitica, possiamo disegnare tale grafico: sappiamo infatti che si tratta di una parabola, della quale possiamo calcolare le coordinate del vertice e così via. Ma se volessimo fare lo stesso, utilizzando i metodi relativi allo studio di funzione fin qui visti? Vediamo fin dove possiamo arrivare e se c è coerenza fra i risultati ottenibili con la geometria analitica e quelli dell analisi Dominio e segno E facile vedere che la funzione ha per dominio l intero insieme dei numeri reali e che, per quanto riguarda il segno, essa è positiva nel seguente insieme: (, 0) (3, + ) Domanda 1. Tali condizioni sono sufficienti per tracciare il grafico della funzione? Evidentemente non lo sono, essendo possibili, ad esempio, i grafici proposti in figura 1.1. (a) (b) Figura 1.1: Due degli infiniti possibili grafici compatibili con lo studio del dominio e del segno della funzione y = x 2 + 3x. Nota: sono state cancellate (in modo un po pittoresco) le regioni di piano escluse dallo studio del segno. 5

8 6 CAPITOLO 1. DERIVATE La derivata prima Vediamo in che modo la derivata prima ci aiuta a scegliere tra i grafici sopra proposti. Per la nostra funzione, avremo: y = 2x + 3 Ebbene, la derivata prima è in grado di dirci dove la funzione cresce e dove la funzione cala; in particolare: f > 0 f(x) cresce f < 0 f(x) cala A questo punto è chiaro che il primo dei due grafici proposti in figura 1.1 è da escludersi. Domanda 2. A questo punto, gli ulteriori vincoli sul grafico imposti dallo studio della derivata prima, sono sufficienti per tracciare il grafico della funzione? Di nuovo, la risposta è negativa, essendo possibili, ad esempio, i due grafici proposti in figura 1.2. (a) (b) Figura 1.2: Due degli infiniti possibili grafici compatibili con lo studio del dominio e del segno della funzione y = x 2 + 3x. Nota: sono state cancellate (in modo un po pittoresco) le regioni di piano escluse dallo studio del segno La derivata seconda La cosa che, graficamente, distingue i due grafici è la concavità, ossia il fatto che la funzione sia girata verso il basso o verso l alto; ciò è collegato al segno della derivata seconda. Per la nostra funzione risulta: f (x) = 2 E, poiché la derivata seconda è positiva x R, la seconda funzione proposta nei grafici 1.2 è da scartare. A questo punto, possiamo di nuovo chiederci se i vincoli trovati sono sufficienti a determinare il grafico della funzione. Ebbene, l aspetto qualitativo è univocamente determinato. 1.2 Il segno delle derivate in un intervallo Vediamo adesso di sistematizzare quanto visto fino adesso. La relazione tra il segno delle derivate e l andamento di una funzione in un intervallo, è sintetizzata nella figura 1.3 e nella tabella Il segno delle derivate in un punto e punti notevoli La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, è sintetizzata nella figura 1.4 e nella tabella 1.2.

9 1.3. IL SEGNO DELLE DERIVATE IN UN PUNTO E PUNTI NOTEVOLI 7 (a) f > 0; f > 0 (b) f > 0; f = 0 (c) f > 0; f < 0 (d) f = 0; f = 0 (e) f < 0; f > 0 (f) f < 0; f = 0 (g) f < 0; f < 0 Figura 1.3: Comportamento di una funzione in un dato punto. (a) f > 0; f > 0 (b) f > 0; f = 0 (c) f > 0; f < 0 (d) f = 0; f > 0 (e) f = 0; f = 0 (f) f = 0; f < 0 (g) f < 0; f > 0 (h) f < 0; f = 0 (i) f < 0; f < 0 Figura 1.4: Comportamento di una funzione in un dato punto.

10 8 CAPITOLO 1. DERIVATE Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e l andamento della funzione in tale intervallo. sgn f (x) sgn f (x) monotonìa concavità grafico + crescente verso l alto 1.3(a) + 0 crescente nulla (retta) 1.3(b) crescente verso il basso 1.3(c) 0 0 costante nulla (retta) 1.3(d) + decrescente verso l alto 1.3(e) - 0 decrescente nulla (retta) 1.3(f) decrescente verso il basso 1.3(g) 1.4 Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti E possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra funzione, derivata prima e seconda e grafico della funzione. La relazione tra funzione e derivata è sintetizzata nella tabella 1.3. La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate (prima e seconda) è sintetizzata in tabella 1.4.

11 1.4. RELAZIONI TRA ASPETTI ANALITICI E GRAFICI: APPROFONDIMENTI 9 Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x 0 e la tipologia di punto. sgn f (x 0 ) sgn f (x 0 ) tipo punto grafico + / 1.4(a) + 0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.4(b) / 1.4(c) + minimo 1.4(d) 0 0 flesso a tangente orizz. 1.4(e) massimo 1.4(f) + / 1.4(g) - 0 flesso a tangente obliqua discendente 1.4(h) / 1.4(i) Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (simili considerazioni possono essere applicate se la funzione, anziché crescere, cala). Funzione f Derivata f è costante cresce poco cresce molto cresce sempre meno cresce di più è una retta obliqua cresce verso asintoto orizzontale cresce verso asintoto obliquo cresce verticalmente vale zero ha valori piccoli ha valori grandi è positiva, ma calante è positiva e crescente è una retta orizzontale tende a zero tende ad asintoto orizzontale ha asintoto verticale

12 10 CAPITOLO 1. DERIVATE Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima, derivata seconda. Funzione f Derivata f Derivata seconda f asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale estremante (min o max) vale zero non zero flesso obliquo non zero vale zero cuspide discontinua continua punto angoloso discontinua discontinua

13 Capitolo 2 Derivate: esercizi 2.1 Esercizi di carattere teorico Vero o falso Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Nel caso in cui un affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio. 1. Per una certa funzione, risulta che f (x 1 ) > f (x 2 ). Allora in x = x 1 la funzione varrà più che in x = x Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo punto non implica che la funzione sia positiva in quel punto. 3. Il grafico della derivata f di una certa funzione f è una retta orizzontale nell intervallo [3, 7]. Allora la funzione f è una retta obliqua in tale intervallo. 4. Il grafico della derivata f di una certa funzione f è una retta obliqua nell intervallo [3, 7]. Allora la funzione f è una retta orizzontale in tale intervallo. 2.2 Date alcune condizioni, individuare il grafico Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo per esclusione, ovvero come segue: Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le varie condizioni Condizione 1: Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva Condizione 2: Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo Vale: si passa alla condizione successiva... per le altre condizioni Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, è quello corretto; altrimenti si passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra

14 12 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto La procedura appena proposta è di tipo algoritmico ; con un po di esperienza, è possibile applicarla in modo più flessibile Esercizio 1 Di una data funzione si sa che: f 0 in ( 5, 15) ed è negativa o nulla altrove; f (0) = 0; x = 8 è un punto di flesso a tangente orizzontale. Stabilire quale, fra i grafici in figura 2.1, rappresenta tale funzione. 2.3 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile Esercizio 1 Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi le condizioni seguenti: f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva e la derivata seconda negativa; sia f( 7) > Esercizio 2 Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi le condizioni seguenti: f sia negativa in (, 4) e positiva in ( 4, + ); f(5) < f( 6) 2.4 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc Esercizio 1 Facendo riferimento al grafico rappresentato in 2.2(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Nel punto x = A la funzione ha derivata prima positiva. 2. Nel punto x = A la derivata prima è crescente. 3. Nell intervallo [B, C] la funzione ha derivata seconda positiva. 4. In x = A, vale f > f (B) < 0.

15 2.4. DATO IL GRAFICO, TRARRE CONCLUSIONI SU DERIVATA PRIMA, SECONDA ETC 13 (a) (b) (c) (d) Figura 2.1: Grafici relativi all esercizio (a) Grafico relativo all esercizio Figura 2.2: Grafici relativi agli esercizi della sezione 2.4.

16 14 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI 2.5 Dato il grafico, individuare/scegliere un espressione analitica plausibile per f Esercizio 1 Una data funzione ha il grafico rappresentato in figura 2.3. Stabilire quale fra le seguenti è un espressione plausibile per la derivata di tale funzione: f (x) = x 2 (3 ln x + 1) (2.1) f (x) = 5 ln x (2.2) f (x) = 2 + x 3x 2 (2.3) Figura 2.3: Grafico relativo all esercizio 1 della sezione Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della derivata prima e seconda in un punto Esercizio 1 Si consideri il grafico di funzione riportato in figura 2.4(a). funzione. Completare la tabella 2.1 relativa a tale 2.7 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e seconda in un intervallo Esercizio 1 Si considerino le figure riportate nel grafico 2.6. indicandoli con x 1, x 2 e così via, e determinare: Segnare su di essi dei punti ritenuti significativi, il segno della derivata prima;

17 2.8. DATO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE, DETERMINARE IL GRAFICO DELLA DERIVATA15 (a) Grafico relativo all esercizio Figura 2.4: Grafici relativi agli esercizi della sezione 2.6. il segno della derivata seconda; le coordinate dei massimi e dei minimi; le coordinate dei punti di flesso. 2.8 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della derivata Esempio svolto Consideriamo la funzione rappresentata in figura 2.5(a). Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima 2.5(b) e la funzione insieme con la sua derivata seconda 2.5(c). Vediamo adesso come è possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo. Grafico della derivata prima in (, 0) f decresce in modo (quasi) costante (è all incirca una retta); perciò f ha un valore costante, negativo, pari al coefficiente angolare di tale retta; in x = 0 la funzione comincia a crescere, per cui passeremo bruscamente da una situazione di derivata negativa ad una di derivata positiva; in altre parole, al punto angoloso x = 0 corrisponde una discontinuità nel grafico della derivata prima; in (0, 1) la funzione cresce sempre meno, per cui la derivata è positiva (perché la funzione cresce), ma sempre più piccola (perché cresce sempre meno); in x = 0 la funzione ha un massimo relativo e la derivata vale zero; in [0, 2] la funzione decresce (per cui la derivata sarà negativa) sempre più rapidamente (per cui f assumerà valori sempre più negativi); in x = 2 sia f che f hanno un asintoto verticale; in [2, 3] la funzione decresce ( f < 0) sempre meno (per cui la derivata assume valori sempre meno negativi); in x = 3, f ha un minimo e la derivata vale zero;

18 16 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI Tabella 2.1: Tabella relativa all esercizio 1 della sezione 2.6 (vedi grafico 2.4(a).) sgn f sgn f sgn f tipo punto x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 in [3, + ) la funzione cresce, per cui la derivata è positiva; in particolare f tende ad un asintoto obliquo, per cui la sua derivata tenderà ad un asintoto orizzontale. Grafico della derivata seconda in (, 2), f volge la concavità verso il basso, per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all incirca costante fino a x = 1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero; in x = 2, f (x) ha un asintoto verticale, così come f e f ; in [2, + ), f volge la concavità verso l alto, per cui f > 0; in particolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte in precedenza Esercizio 1 Stesso esercizio dell esempio svolto, in relazione ai grafici riportati in figura 2.6.

19 2.8. DATO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE, DETERMINARE IL GRAFICO DELLA DERIVATA17 (a) Grafico della funzione f(x) = 1 x 2 + x. (b) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata prima (in arancione). (c) Grafico della funzione f(x) (in verde) e della sua derivata seconda (in arancione). Figura 2.5: Grafici relativi all esempio svolto 2.8.

20 18 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI (a) (b) (c) (d) Figura 2.6: Grafici relativi agli esercizi 2.7 e 2.8.

21 Capitolo 3 Studio completo 3.1 Studio completo di funzione Studio di funzione Seguendo, in linea di massima, lo schema suggerito in tabella 3.1, studiare le funzioni proposte in [?], pagg ; si vedano anche gli esempi svolti, alle pagine Studio qualitativo di funzione Studiare le funzioni proposte nelle sezioni e Funzioni algebriche razionali fratte f(x) = x2 x 3 + x ; g(x) = x x 2 (3.1) r(x) = 3x3 + 2x 4x x3 x 3 ; j(x) = + 7 2x 2 + 6x 5 (3.2) Funzioni di vario tipo h(x) = 3x e 2x 1 ; m(x) = arctan x x + 1 (3.3) p(x) = log(x 2 + 3x 1); d(x) = 4x ln x + 3 x 2 6x (3.4) 19

22 20 CAPITOLO 3. STUDIO COMPLETO Tabella 3.1: Schema per lo studio qualitativo di funzione. Algebra Limiti Derivate Grafico Discontinuità Non derivabilità Dominio Segno di f Simmetrie (pari o dispari) Intersezioni con gli assi Asintoti Intervalli di monotonia; massimi e minimi Concavità e punti di flesso Grafico qualitativo I specie II specie III specie Punto angoloso Cuspide Flesso a tangente verticale

23 Parte II Complementi 21

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25 Capitolo 4 Grafici deducibili Numerosi grafici possono essere dedotti una volta che si sappia il grafico di una funzione f. 1. Tramite considerazioni algebriche e geometriche (a) Traslazione: y = f(x + a); y = f(x) + a (b) Amplificazione: y = f(ax); y = af(x) (c) Funzione reciproca: y = f(1/x); y = 1/f(x) (d) Valore assoluto: y = f( x ); y = f(x) 2. Tramite composizione con funzioni elementari (a) Funzione esponenziale: y = exp f(x) (b) Funzione logaritmica: y = ln f(x) 4.1 Trasformazioni geometriche Esercizio 1 A partire da grafici di funzione a piacimento, tracciare i grafici ottenibili tramite le trasformazioni geometriche viste sopra Esercizio 2 Vedi [?], pag

26 24 CAPITOLO 4. GRAFICI DEDUCIBILI 4.2 Grafici deducibili con considerazioni algebriche e geometriche Traslazione Amplificazione Funzione reciproca Considerazioni generali Tabella 4.1: Relazione tra il grafico di una funzione f e quello delle funzioni 1/f(x) e f(1/x). f(x) 1 f(x) f( 1 x ) cresce cala / Esempio svolto Consideriamo la funzione rappresentata in figura 4.2. Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima 2.5(b) e la funzione insieme con la sua derivata seconda 2.5(c). Vediamo adesso come è possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo. f volge la concavità verso il basso in (, 2), per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all incirca costante fino a x = 1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero; in x = 2, f (x) ha un asintoto verticale, così come f e f ; in [2, + ), f volge la concavità verso l alto, per cui f considerazioni simili a quelle fatte in precedenza. > 0; in particolare tende a zero, con Approfondimenti analitici 1. Dimostrare analiticamente che se f cresce, 1/f decresce. 2. Spiegare perché se f ha un massimo, 1/f ha un minimo.

27 4.2. GRAFICI DEDUCIBILI CON CONSIDERAZIONI ALGEBRICHE E GEOMETRICHE 25 (a) Grafico della funzione f(x). (b) Grafico della funzione f(x) e di 1/f(x) (in arancione). (c) Grafico della funzione f(x) e di f(1/x) (in verde). Figura 4.1: Grafici deducibili tramite funzione reciproca.

28 26 CAPITOLO 4. GRAFICI DEDUCIBILI 4.3 Grafici deducibili tramite composizione con funzioni elementari Funzione esponenziale Considerazioni generali Tabella 4.2: Relazione tra il grafico di una funzione f e quello delle funzioni 1/f(x) e f(1/x). f(x) 1 f(x) f( 1 x ) cresce cala / Esempio svolto Consideriamo la funzione rappresentata in figura 4.2. Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima 2.5(b) e la funzione insieme con la sua derivata seconda 2.5(c). Vediamo adesso come è possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo. f volge la concavità verso il basso in (, 2), per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all incirca costante fino a x = 1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero; in x = 2, f (x) ha un asintoto verticale, così come f e f ; in [2, + ), f volge la concavità verso l alto, per cui f considerazioni simili a quelle fatte in precedenza. > 0; in particolare tende a zero, con Approfondimenti analitici 1. Dimostrare analiticamente che se f cresce, e f(x) cresce.

29 4.3. GRAFICI DEDUCIBILI TRAMITE COMPOSIZIONE CON FUNZIONI ELEMENTARI 27 (a) Grafico della funzione f(x). (b) Grafico della funzione f(x) e di 1/f(x) (in arancione). (c) Grafico della funzione f(x) e di f(1/x) (in verde). Figura 4.2: Grafici deducibili tramite funzione reciproca.

30 28 CAPITOLO 4. GRAFICI DEDUCIBILI

31 Parte III Appendici 29

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33 Appendice A Continuità e derivabilità: approfondimenti A.1 Continuità e discontinuità A.1.1 Studio di continuità Si studi la continuità delle funzioni indicate di seguito. In particolare: Si indichino gli eventuali punti di discontinuità. Si specifichi la natura dei punti di discontinuità. Si eliminino le discontinuità eliminabili. Funzioni algebriche f(x) = x2 6x + 9 x 2 9 (A.1) f(x) = 1 x x (A.2) Funzioni goniometriche f(x) = 3x sin 2x (A.3) ( x ) f(x) = sin 2x 3 (A.4) Funzioni esponenziali f(x) = 3x e 2x 1 (A.5) f(x) = e 2+x2 x (A.6) Funzioni definite a tratti [?] 2x 2 + 1, se x > 0 f(x) = 3, se x = 0 e x + sin x, se x < 0 31

34 32 APPENDICE A. CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ: APPROFONDIMENTI A.1.2 Esercizio 1 Esercizi con parametri 2x 2 + 1, se x > 0 f(x) = 1, se x = 0 e x + sin x, se x < 0 f(x) = {e 1 x 4, se x 0 0, se x = 0 e 1 x, se x < 0 f(x) = 1, se x = 0 sin 2x x, se x > 0 Stabilisci per quale valore del parametro a è continua la seguente funzione: { x a, se x < 1 f(x) = ax 2 + 3x a, se x 1 Esercizio 2 Stabilisci per quali valori dei parametri a e b è continua la seguente funzione: ae x+2 + 2b, se x 2 f(x) = bx 2 + 2a, se 2 < x < a x+5, se x 2 A.2 Derivabilità e non derivabilità Vedi [?], pag A.3 Relazione tra derivabilità e continuità A.3.1 Vero o falso Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Nel caso in cui un affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio. 1. Se in un punto x = x 0 una funzione è continua, allora sarà derivabile in quel punto. 2. Se in un punto x = x 0 una funzione non è derivabile, allora non sarà continua in quel punto. A.4 Esercizi sui grafici A.4.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico Per la modalità di svolgimento dei seguenti esercizi, vedi quanto detto nella sezione 2.2.

35 A.4. ESERCIZI SUI GRAFICI 33 Esercizio 1 Di una data funzione si sa che: f < 0 in (3, + ); f = 0 in x = 3; f non è derivabile in x = 3. Stabilire quale, fra i grafici in figura A.1, rappresenta tale funzione. Esercizio 2 Di una data funzione si sa che: f > 0 in (, 1) e f < 0 in (1, 2); f è discontinua in x = 4; f (x) = 1 in (4, + ). Stabilire quale, fra i grafici in figura A.2, rappresenta tale funzione. A.4.2 Esercizio 1 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc Facendo riferimento al grafico rappresentato in A.3(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. f (0) < 0; 2. f (x) > 0 in (B, + ); 3. f (A) < f (C); 4. x = B è un punto di non derivabilità; 5. x = B è un punto di cuspide; 6. Il grafico di f sarà discontinuo in x = B. Esercizio 2 Facendo riferimento al grafico rappresentato in A.3(b), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Il grafico di f (x) sarà una retta orizzontale in (A, B); 2. f (x) = 0 in (A, B); 3. f (x) = 0 in (B, + ); 4. f (x) < 0 in (0, A); 5. x = 0 è un punto angoloso.

36 34 APPENDICE A. CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ: APPROFONDIMENTI (a) (b) (c) (d) Figura A.1: Grafici relativi all esercizio

37 A.4. ESERCIZI SUI GRAFICI 35 (a) (b) (c) (d) Figura A.2: Grafici relativi all esercizio A.4.1.

38 36 APPENDICE A. CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ: APPROFONDIMENTI (a) Grafico relativo all esercizio 1 della sezione A.4.2. (b) Grafico relativo all esercizio 2 della sezione A.4.2. Figura A.3: Grafici relativi agli esercizi della sezione??.