Appunti ed esercizi su: Disequazioni di II grado e loro discussione grafica

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1 LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Appunti ed esercizi su: Disequazioni di II grado e loro discussione grafica 15 aprile Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: francescomarchi.wordpress.com Indirizzo fra.marchi@yahoo.it

2 Tabella 1: Confronto tra tecniche di soluzione di equazioni e disequazioni di I e II grado. L ultima casella, quella relativa alla soluzione della disequazione x 2 > 5 è volutamente errata, per illustrare un errore frequente. Grado Equazione Disequazione I 3x = 5 x = 5 3 3x > 5 x > 5 3 II x 2 = 5 x = ± 5 x 2 > 5 x > ± 5 1 La discussione grafica 1.1 Le disequazioni di II grado Le disequazioni di II grado sono spesso un argomento mal digerito e sono frequentemente oggetto di errori, che hanno origini profonde. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni errori tipici e come superarli Il problema: un errore frequente Uno degli errori più frequenti (e più gravi) nella risoluzione di disequazioni di II grado è il seguente: x 2 > 3 = x > ± 3 (1) La scrittura appena proposta è una vera e propria mostruosità matematica e dimostra che non si capisce ciò che si sta scrivendo: cosa significherebbe infatti x > ± 3? Potremmo esser tentati di dare due interpretazioni: 1. La scrittura sta a significare x > + 3 x > 3. In tal caso, ciò significa semplicemente x > + 3; ma allora, nel nostro risultato non contempleremmo valori come x = 10, che pure è soluzione della disequazione data. 2. La scrittura sta a significare x > + 3 x > 3. In tal caso, ciò significa x > 3. In questo caso, staremmo facendo due errori: da un lato escludiamo soluzioni, come x = 10; dall altro includiamo soluzioni che in realtà tali non sono (ad esempio x = 0) Diagnosi n.1: una mancata analogia La causa di simili errori nella soluzione di disequazioni di II grado sta forse nella non completa analogia tra i metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di II grado, diversamente da quanto avviene per quelle di primo grado, come illustrato nella seguente tabella La rappresentazione grafica del trinomio di II grado Per poter comprendere il corretto metodo di risoluzione delle disequazioni di II grado (e di altri tipi di disequazioni) è necessario mettere da parte un approccio puramente algebrico; può essere, per contro, molto utile considerare la questione anche da un punto di vista grafico. Da un punto di vista grafico, risolvere una disequazione come la seguente: 2x 2 5x + 1 < 0 (2) 1

3 significa determinare per quali valori della x la quantità 2x 2 5x + 1 è negativa; ad esempio avremo: x = 1 = 2 ( 1) 2 5 ( 1) + 1 = > 0 x = 0 = = 1 > 0 x = 1 = 2 (1) = = 2 < 0 e perciò x = 1 è soluzione della disequazione, mentre x = 1 e x = 0 non lo sono. Per poter capire quali sono tutte le soluzioni della disequazione, rappresentiamo graficamente la parabola y = 2x 2 5x + 1 (vedi fig. 1). Figura 1: Rappresentazione cartesiana della parabola di equazione y = 2x 2 5x Diagnosi n.2: un problema di linguaggio Un altra possibile causa di difficoltà nel comprendere questo tipo di problema, nasce in realtà da una sorta di pigrizia nell articolare verbalmente l obiettivo dell esercizio e le operazioni necessarie per raggiungerlo. Per quanto riguarda la soluzione di una disequazione tipo quella considerata, generalmente, si ritrovano tre modi in cui si espone il problema: 1. Livello I: Dobbiamo vedere quando è maggiore di zero. Qui non è ben chiaro chi è il soggetto della frase. 2. Livello II: Dobbiamo vedere quando 2x 2 5x + 1 è maggiore di zero. Qui, ad esser criticabile, è l avverbio quando; ed è proprio dall utilizzo di tale avverbio che nascono molti errori. 3. Livello III (dicitura corretta): Dobbiamo vedere per quali valori della x la quantità 2x 2 5x + 1 è maggiore di zero. In questo caso abbiamo sostituito il quando con un espressione più articolata, che permette di capire veramente cosa richiede la soluzione di una disequazione. 2

4 Tabella 2: Tabella relativa al caso > 0, a > 0. disequazione soluzione intervalli grafico ax 2 + bx + c > 0 x < x 1 x > x 2 (, x 1 ) (x 2, + ) 2(a) ax 2 + bx + c 0 x x 1 x x 2 (, x 1 ] [x 2, + ) 2(b) ax 2 + bx + c = 0 x = x 1 x = x 2 {x 1, x 2 } 2(b) ax 2 + bx + c 0 x 1 x x 2 [x 1, x 2 ] 2(b) ax 2 + bx + c < 0 x 1 < x < x 2 (x 1, x 2 ) 2(b) Discussione di uno specifico caso > 0, a > 0 Vediamo adesso nel dettaglio la procedura di risoluzione di una disequazione di II grado; consideriamo anche l equazione associata: ax 2 + bx + c = 0; = b 2 4ac Consideriamo il caso specifico > 0, a > 0; l esempio proposto in 2 rientra in questo caso. Ricordandoci le formule relative alla parabola, avremo: y V = 4a < 0 Perciò, la parabola avrà vertice sotto l asse x, ed essendo rivolta verso l alto, lo intersecherà in due punti distinti, x 1 e x 2. Ciò è confermato dal fatto che > 0: x 1 e x 2 sono le soluzioni dell equazione associata; nel caso specifico: x 1 = ; x 2 = Sempre facendo riferimento al grafico 1, possiamo capire che la soluzione della disequazione sarà: che possiamo scrivere anche così: Discussione degli altri casi ( x < x 1 x > x 2, ) 4 ( ), + In generale, la disequazione può presentarsi con ciascuno dei seguenti segni: >; ; ; < In tal caso, l interpretazione grafica della disequazione è proposta nella tabella 2 e nei grafici di figura 2. Più in generale, saranno possibili, a seconda del segno di e di a, i casi sintetizzati nella tabella 3. Come esercizio, discutere i vari casi possibili, come fatto nel paragrafo precedente. 3

5 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 2: Grafici relativi al caso > 0, a > 0. DA INSERIRE I GRAFICI CORRETTI!! Tabella 3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado. sgn( ) sgn(a) sgn(y V )

6 1.2 Il caso generale Disequazioni nella forma f(x) 0 La tecnica vista nella sezione precedente, relativamente alle disequazioni di II grado, può essere applicata in generale. In generale, infatti, si consideri una disequazione del tipo: f(x) 0 Nel caso in cui si sappia tracciare il grafico della funzione f(x), la soluzione della disequazione richiederà due passaggi: 1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione della funzione con l asse x: per determinare tali punti si dovrà risolvere l equazione associata f(x) = Dedurre dal grafico quando la funzione è positiva e quando è invece negativa Disequazioni nella forma f(x) a In altri casi, invece, può essere più comodo riportare la disequazione data nella seguente forma: Esercizi f(x) a 2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici 2.1 Questioni di carattere teorico Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Una disequazione può avere infinite soluzioni. 2. Una disequazione può essere impossibile. 2.2 Intuire soluzioni Esercizio 1 Si consideri la disequazione seguente: Proporre almeno due sue soluzioni. x sin x + 3 > Determinazione di una soluzione Completa la tabella 4, seguendo l esempio che ti viene fornito nella prima riga, già compilata. Per ciascuna disequazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e fornisci l esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di una non soluzione. 3 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi 3.1 Disequazioni di I grado Risolvi le seguenti disequazioni: 1. x + 6 2x 8 5

7 Tabella 4: Tabella relativa all esercizio 1 Equazione Grado Soluzione Non-soluzione x 3 + 5y 7y + 2 (x, y) = (3, 1) (2, 0) (0, 0) α 2 + 4α < 3α + 5 a + b 2 c + 1 4ψ ψ 3y 6 + 2x 5ψ 2x α 3 + α 4 + x α 4 2t 2 + 6t 3t t 3t 3 4η + 2µ > 3 + η 2 6

8 3.2 Disequazioni di II grado Risolvi le seguenti disequazioni: x x x2 2 4 (3) 8x + 51x 2 0 (4) 2y 2 9 < 0 nella variabile y (5) αx 2 34 > 0 (6) x 2 + 2x (7) 6x + x 2 < 3x (8) (a + b)x 2 fx > 0 (9) 2βx 2 + x 11 0 (10) 1 2 at2 + v 0 t + t 0 > 0 nella variabile t (11) 3 5 k2 + αk 2 < 0 nella variabile k (12) Puoi, per esercizio, risolvere ad esempio le disequazioni a pag 525 e seguenti, dalla 66 alla 107 e dalla 120 alla 125, dal libro Strutture nella matematica, di Grazzi e Re Fraschini, edito da Atlas Verifica con GeoGebra Per esercizio, dopo aver svolto ciascuna delle disequazioni proposte nella sezione precedente, controlla il risultato che hai ottenuto con il software GeoGebra. 4 Intermezzo: tecniche di soluzione 4.1 Discussione grafica Esercizio 1 Completare la tabella 5, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione,... ). Nota: alcuni esempi sono svolti Esercizio 2 Completare la tabella 6, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione,... ). Nota: alcuni esempi sono svolti. 7

9 Tabella 5: Tabella relativa all esercizio 1 della sezione 4.1. disequazione a y V grafico soluzione 3x 2 + 2x 3 < 0 3(a) (, + ) x 2 + 5x + 2 > 0 x 2 + 8x 16 < 0 x 2 + 8x 16 0 x 2 + 8x 16 0 x 2 + 8x 16 > 0 x 2 8x + 16 > 0 x 2 8x (b) x < x x 2 5 > 0 (, 5) (+ 5, + ) x x x x < 0 7x 2 + 5x < 0 7x 2 5x 0 8

10 (a) (b) Figura 3: Grafici relativi all esercizio 1 della sezione 4.1. (a) (b) Figura 4: Grafici relativi all esercizio 2 della sezione

11 Tabella 6: Tabella relativa all esercizio 2 della sezione 4.1. disequazione a y V grafico soluzione ax 2 + bx + c 0 + ax 2 + bx + c 0 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 (x 1, x 2 ) ax 2 + bx + c (a) (, x 1 ] [x 2, + ) ax 2 + bx > ax 2 + c > 0 + 4(b) ax 2 + c > 0 + ax 2 + c > 0 R ax 2 + c 0 [x 1, x 2 ] {x ± } 0 + {x ± } ax 2 + bx + c 0 ], x ] [x +, + [ ax 2 + bx + c >

12 4.2 Discussione con GeoGebra In questa sezione vogliamo discutere gli esercizi della sezione precedente con GeoGebra Disequazioni numeriche 1. Inserisci nella barra di inserimento ciascuna delle disequazioni numeriche della sezione precedente. Guarda la parte di piano che viene evidenziata. Perché? Cosa puoi notare in relazione alla variabile y? 2. Adesso fai tracciare a GeoGebra le curve relative ai trinomi associati alle equazioni (ad es. f(x) = 3x 2 + 2x 3 e così via) 3. Determina, tramite l apposito comando, le coordinate dei punti di intersezione fra la parabola e l asse x. 4. Introduci un punto C vincolato all asse x 5. Introduci P (x C, f(c)) 6. Clicca con il dx su P e mostra la traccia se è soddisfatta la condizione f(p ) > 0 7. Adesso inserisci del testo: Vogliamo risolvere la disequazione... (dove al posto dei puntini userai la lettera corrispondente all oggetto disequazione) Disequazioni con parametri liberi Fai la stessa cosa dell esercizio precedente, usando però i parametri introdotti tramite slider a, b, c. Nel commento del testo, puoi anche inserire delle osservazioni relative al segno di a, b, c, del vertice etc Ulteriori miglioramenti Puoi migliorare il file creato ad esempio ispirandoti a questo m6131. In particolare puoi: 1. Inserire una casella di testo in cui compaia la soluzione 2. Inserire dei checkbox in modo da poter scegliere a posteriori il verso della disequazion voluto 11