Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete

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1 Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati A.A.00-0 Analisi Matematica 3 Esercizi svolti nelle lezioni V. Del Prete

2 Numeri complessi Argomenti ed esercizi svolti nelle lezioni e Scrivere in forma trigonometrica i numeri z = + i 3 z = i 3 z 3 = i 3 z 4 = + i 3 e rappresentarli nel piano di Argand-Gauss.. Trovare Re(z) e Im(z) dove. z = + i 3i.3 Esprimere in forma trigonometrica z = ( 3 i) 8..4 Calcolare ( + i) 4..5 Mostrare che ( i) 6 ( + i) 6 = 6i..6 Trovare le seguenti radici di numeri complessi: i 3 + i.7 Risolvere l equazione z + az + b = 0 a, b C..8 Risolvere l equazione z + ( + i)z i = 0.9 Risolvere l equazione z + iz + 3( 3 + i)

3 . Equazioni differenziali Esercizi svolti nelle lezioni del , del.0.00 e del Nella Figura a sinistra compare il campo di direzioni dell equazione y = y +x, (ottenuto con il sofware grapher); a destra compaiono anche tre soluzioni. Disegnare i grafici di altre tre soluzioni Figure : Campo di direzioni di y = y + x ( a sinistra), campo di direzioni e tre soluzioni (a destra).. Trovare le soluzioni dell equazione y = arctan(x). Trovare la soluzione che soddisfa la condizione y() = log() Figure : Campo di direzioni della equazione differenziale y soddisfa la condizione y() = log(). = arctan(x) e soluzione che.3 È data l equazione differenziale y = y. Trovare tutte le soluzioni. Trovare la soluzione che soddisfa la condizione y(0) =. 3

4 .4 È data l equazione differenziale y = y(y ) [i] Disegnare il campo delle direzioni nei punti A = (,.5), B = (, ), C = (, 3). In Figura 4 compare il campo di direzioni in una griglia assegnata. [ii] Trovare tutte le soluzioni dell equazione [ii] In Figura 5 compaiono i grafici di tre soluzioni. Scrivere l espressione di queste tre soluzioni Figura 4 Campo di direzioni di y = y y Figura 5 Campo di direzioni e tre soluzioni..5 Equazione differenziale y y = + x Figure 3: Campo di direzioni e alcune soluzioni della equazione differenziale y = y +x. 4

5 .6 Scrivere una routine per risolvere il problema y = xy, y() = con il metodo di Eulero, nell intervallo [0,.5]. Usare i passi h = 0., 0.05 Scrivere una tabella per confrontare la soluzione vera con la calcolata..7 Ripetere l esercizio precedente per risolvere il problema di Cauchy y = y + x, y() = 0 in [, 3]. Scrivere due routine matlab di tipo function per il calcolo del secondo membro della equazione differenziale e per la soluzione esatta. Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti (ripasso). Esempi:.8 Trovare l integrale generale di y ω y = 0 y + ω y = 0 y ωy + ω y = 0.9 Trovare tutte le soluzioni della equazione differenziale y 4y = 0 che tendono a zero a +..0 Trovare la soluzione del problema y + 4y = 0, y(0) =, y (0) =. Equazioni differenziali non omogenee: y + ay + by = f. Discussione generale: integrale generale. Ricerca di una soluzione particolare nel caso f sia un polinomio, e nel caso f = e γx γ C.. Trovare l integrale generale delle seguenti equazioni y 3y 4y = e ix y + 4y = sin(x) y + y y = x 5

6 3. Funzioni di più variabili Esercizi svolti nelle lezioni del..00 e del Trovare l insieme di definizione della seguente funzione x 4 y 9 + log( x ) 3. Trovare l insieme di definizione e le curve di livello delle seguenti funzioni f(x, y) = x 4 + y 9, g(x, y) = x y, h(x, y) = y 3.3 Sono assegnate le funzioni f(x, y) = y log(x + ) g(x, y) = y x Trovare l insieme di definizione di f,g, f + g, f/g. 3.4 Trovare l insieme di definizione e le curve di livello delle seguenti funzioni x f(x, y) = y +, g(x, y) = 4x + y. 3.5 È data la funzione f(x, y) = x4 x 4 + y [i] trovare l insieme di definizione. c = /. Trovare le curve di livello corrispondenti a c = / e [ii] Dire se esiste il ite in (0, 0). 3.6 Calcolare, se esiste, il ite x 4 xy + y (x,y) (0,0) 3x + y Dire se esiste il ite seguente, e se esiste calcolarlo x 4 x y + y 4 (x,y) (0,0) x 4 + y 4 Si può dire che vale lo stesso risultato per la funzione x6 x y 4 xy 5 +x 3 y 3? 6

7 3.8 Dire se esistono i iti seguenti e in caso positivo calcolarli cos(x + y ) x y (x,y) (0,0) x + y sin(4x + y ) (x,y) (0,0) x + y 3.9 È data la funzione g(t) = e t. (i) Disegnare il gafico della funzione di due variabili f (x, y) = g(x) e della funzione f (x, y) = g(y) (ii) Disegnare la funzione h(x, y) = g( x + y ) 3.0 Dire se è continua nell origine la seguente funzione (x )(y ) + 3x + y se (x, y) (, ) (x ) +(y ) f(x, y) = 5 se (x.y) = (, ), 3. La seguente funzione f(x, y) = (e x xy ) x + y non è definita nell origine. Definire in tutto R in modo che sia continua. 3. Calcolare il ite nell origine della funzione f(x, y) = (e x y ) x + y. 3.3 Calcolare, se esistono, i iti x sin(x) (x,y) x 4 + y 4 x( + e (x +y ) ) (x,y) x + y sin(x + y ) (x,y) (x + y ) / 3.4 È data la funzione g(t) = { t se 0 t t se t Disegnare la funzione f(x, y) = g(x + y ) e discuterne la continuità. Calcolare il ite di f a e nell origine. 3.5 Dopo aver disegnato l insieme S dei punti soddisfacenti le sottoelencate disuguaglianze, stabilire se S è chiuso, aperto, né chiuso né aperto, itato, connesso. [a] S = {(x, y) R : x + y < 9} {(x, y) R : x > } [b] S = {(x, y) R : x + y < 9} {(x, y) R : x } [c] S = {(x, y) R : x, 0 y x } [d] S = {(x, y) R : y x } {(x, y) R : x } 7

8 3. Funzioni di più variabili - derivabilità Esercizi svolti nelle lezioni del e del È data la funzione f(x, y) = x3 + 4x y + 6y + 3y 3. i) Calcolare il gradiente. ii) Calcolare la derivata direzionale nel punto P = (, ) in tutte le direzioni. ii) Dire dove è differenziabile. 4. Calcolare il gradiente delle funzioni seguenti i) f(x, y) = ye x +y ii) g(x, y) = log(x + y 4 ) 4.3 Calcolare (se esiste) il gradiente delle funzioni seguenti nei punti indicati i) f(x, y) = (x ) y in (, ) ii) g(x, y) = x e y in (0, 0) e h(x, y) = x sin(x + y)e y in (0, 0) Figure 4: Grafico della funzione f (a sinistra) e della funzione g (a destra) 4.4 È data la funzione f(x, y) = ex y. i) Trovare l insieme di definizione e l insieme di continuià e di differenziabilità. ii) Trovare la curva di livello γ passante per P = (, ) e disegnarla. iii) Calcolare le derivate in P in tutte le direzioni. iv) Individuare la direzione di massima pendenza e calcolare la relativa derivata direzionale. v Dire quanto è la derivata direzionale in P nella direzione tangente alla curva γ. 8

9 4.5 È data la funzione x y se (x, y) (0, 0) f (x, y) = x +y 0 se (x.y) = (0, 0), i) Trovare l insieme di definizione D e l insieme di continuià. ii) Calcolare le derivate nell origine nella direzione degli assi. iii) Trovare l insieme di differenziabilità. iv) Sia C la curva di livello passante per il punto P = (, ). Scrivere l equazione del piano che determina la curva C. Calcolare la derivata direzionale in P nella direzione tangente alla curva e la derivata direzionale, sempre in P, nella direzione di massima pendenza. Figure 5: Grafico della funzione f (a sinistra) e della funzione f dell esercizio seguente (a destra) 4.6 È data la funzione f(x, y) = (i) Dire per quali valori di α è continua su R { x 3 x y x +y se (x, y) (0, 0) α se (x, y) = (0, 0), (ii) Scelto questo valore di α calcolare il gradiente e dire se f è differenziabile nell origine. 4.7 È data la funzione cos(xy) 3 se (x, y) (0, 0) f(x, y) = (x +y ) 4 0 se (x.y) = (0, 0), i) Trovare l insieme di definizione D e l insieme di continuià. 9

10 ii) Trovare l insieme di differenziabilità. 4.8 È data la funzione () f(x, y) = { (x + y ) arctan x +y se (x, y) (0, 0) k se (x, y) = (0, 0), (i) Dire per quali valori di k è continua su R. Calcolare il ite all infinito. (ii) Stabilire i valori di k per cui è differenziabile nell origine. (iii) Dire per quali valori di k il gradiente è continuo nell origine. Figure 6: Funzione () 0

11 3. Massimi e minimi liberi e vincolati per funzioni di due variabili. Esercizi svolti nella lezione del Cercare i punti critici delle seguenti funzioni e classificarli f(x, y) = x + y 4 g(x, y) = x y Trovare e classificare i punti critici della funzione f(x, y) = x 3y + y 3 3x +. Inoltre trovare, se esistono, il massimo e minimo assoluti in T = {(x, y) R : 0 x, 0 y x} 5.3 Trovare e classificare i punti critici della funzione f(x, y) = (3x x 3 )(3y y 3 ) Esercizi svolti nella lezione del Massimizzare f(x, y) = xy soggetta al vincolo 3x + 5y = Trovare il massimo e minimo della funzione f(x, y) = x y soggetta al vincolo x + y = Trovare il massimo e minimo della funzione f(x, y) = x + y + x + soggetta al vincolo x + y = Trovare il massimo e minimo della funzione f(x, y) = xy soggetta al vincolo x + y xy = 0 (da M.Bramanti,C. Pagani, S. Salsa: Matematica- Calcolo infinitesimale e Algebra Lineare ). 5.8 Cercare gli eventuali massimi e minimi della funzione soggetta al vincolo x + y = 9. f(x, y) = x 4 + y 4 8(x + y )

12 Integrali doppi Esercizi svolti nelle lezioni del e del Calcolare D x dxdy dove D è l insieme dei punti del piano definito dalle disuguaglianze x + 4y 4 x 4 x + y. 6. Calcolare il baricentro della lamina omogenea D di densità d(x, y) = che si trova nel semipiano delle ascisse positive ed è deitata dalla parabola x = y e dalla retta x =. 6.3 Calcolare il baricentro della lamina D D = {(x, y) R : 0 x π, 0 y sin(x)} sapendo che su essa è ditribuita una massa di densità d(x, y) = xy. 6.4 Calcolare dove D = {(x, y) R : x + y 4, y 0}. D ( + x + y dxdy ) 3/ 6.5 Calcolare + 4x + 4y dxdy dove D è il cerchio di centro l origine e raggio. D