1. Scrivere in forma algebrica il seguente numero complesso:

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1 TERZA LEZIONE (8/10/009) Argomenti trattati: NUMERI COMPLESSI - rappresentazione algebrica e trigonometrica, soluzioni di disequazioni, Formule di De Moivre, radici n esime, equazioni. 1 Esercizi svolti 1. Scrivere in forma algebrica il seguente numero complesso: ( + i)(1 i) i Ogni numero complesso z puó essere scritto nella forma z x+ iy. Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato 1 di i otteniamo ( + i)(1 i) i + i i + 1 i i i ( i)( + i) ( i)( + i) 9 i + 6i i i.. Scrivere in forma algebrica il seguente numero complesso Abbiamo 1 ( + i) 1 i( + i) 1 i(9 + 1i 4) 1 i(5 + 1i) i 5 + 1i i(5 1i) (5 + 1i)(5 1i) 5i i i. Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso z + i 1 Ricordo che dato un numero complesso z x + iy il suo coniugato risulta z x iy. 1

2 Ricordo che dato un numero complesso z x + iy questo si puó scrivere in forma trigonometrica nel seguente modo: z ρ(cos ϑ + i sin ϑ) ove ρ z e ϑ Arg(z) é l argomento di z. Si ricavano facilmente le seguenti relazioni: x ρ cos ϑ y ρ sin ϑ ρ x + y cos ϑ x x + y sin ϑ y x + y Nel nostro caso si ha: da cui z + 1 z ( ) + 1 ( i cos 5 6 π + i sin 5 ) 6 4. Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso Risulta z 1 + i 1 i. 1 + i 1 i (1 + i)(1 + i) (1 i)(1 + i) 1 + i 1 5. Trovare l insieme degli z C tali che z z + i e disegnarlo nel piano di Gauss. i cos π + i sin π Scriviamo z x + iy e sostituiamo nella relazione data: x + iy x + iy + i x + y x + (y + 1) Ricordo che z z z (x + iy)(x iy) x + y 0 e z é detto modulo di z. Geometricamente z rappresenta la distanza del numero complesso z dall origine del piano di Gauss. Detto anche anomalia.

3 Figura 1: Le soluzioni di z z + i x + y x + y + y + 1 y 1 Le soluzioni sono riportate in figura [1] 6. Trovare l insieme degli z C tali che ( ) 1 Im 1 z e disegnarlo nel piano di Gauss. Osserviamo che z 0; scriviamo ora z x + iy e sostituiamo nella relazione data: ( ) ( ) ( ) 1 x iy x iy Im Im Im y x + iy (x + iy)(x iy) x + y x + y 1 y x + y x + y y 0 Le soluzioni sono riportate in figura []. 7. Trovare l insieme degli z C tali che z < 1 ( z + (z) ) + 1 z + z + 1

4 Figura : Le soluzioni di Im ( 1 z ) 1 Figura : Le soluzioni di z < 1 ( z + (z) ) + 1 z + z + 1 e disegnarlo nel piano di Gauss. 4

5 Scriviamo z x + iy e sostituiamo nella relazione data: x + y < 1 ( x y + ixy + x y ixy ) + 1 x + iy + x iy + 1 x + y < x y + x + y 1 < x Le soluzioni sono riportate in figura []. 8. Sia data la funzione f : C C definita da f(z) i ( z z + i ) + 5 Trovare l insieme degli z C t.c. Im(f(z)) 0 e Re(f(z)) 0 e disegnarlo nel piano di Gauss. Figura 4: Le soluzioni dell esercizio 8. Scriviamo z x + iy e sostituiamo nella relazione data: f(x + iy) i (x iy (x + (y + ) )) + 5 y i (x x (y + ) ) da cui otteniamo il sistema { x x (y + ) 0 y { x + y x + 4y y 5 5

6 Le soluzioni sono riportate in figura [4] dove dobbiamo considerare solo la parte al di sotto della retta y Vogliamo calcolare le radici terze di 1 ovvero risolvere l equazione z 1 Per risolvere il problema possiamo utilizzare le formule di De Moivre 4. Scriviamo 1 1 (cos π + i sin π) da cui z k ( 1 cos π + kπ + i sin π + kπ ) k 0, 1, da cui otteniamo z i z 1 1 z 1 i. 10. Calcoalre le radici seste di i ovvero risolvere z 6 i. Utilizziamo le formule di De Moivre: scriviamo i in forma trigonometrica da cui i cos π + i sin π π z k cos + kπ π + i sin + kπ. 6 6 Conseguentemente le radici sono z 0 cos π 1 + i sin π 1 z 1 cos 5 1 π + i sin 5 1 π z cos 9 1 π + i sin 9 1 π z cos 1 1 π + i sin 1 1 π z 4 cos π + i sin 1 1 π z cos 1 1 π + i sin 1 1 π 4 Richiamiamo qui brevemente le formule di De Moivre: sia z ρ(cos ϑ + i sin ϑ). Risulta z n ρ n (cos nϑ + i sin nϑ). Utilizzando le formule di De Moivre possiamo ricavare le radici n-esime di un numero complesso: sia infatti ω r(cos φ + i sin φ), allora le soluzioni di z n ω sono i numeri comlessi z k n r ( cos φ+kπ n + i sin φ+kπ n 6 ) con k 0, 1,,..., n 1.

7 11. Risolvere la seguente equazione: z + i + Re(z)(i + Im(z) ) 0 Scriviamo z x + iy e sostituiamo dentro l equazione; otteniamo x + iy + i + x(i + y ) 0 x + xy + i(y + + x) 0 Ora, un numero complesso é zero se e solo se la sua parte immaginaria e la sua parte reale risultano entrambe nulle, pertanto { { x + xy 0 x 0 y + + x 0 y pertanto z i. 1. Risolvere la seguente equazione: Abbiamo pertanto z 6 + z 0 z 1, 1 ± z 1 z cos 0 + i sin 0 z k cos 0 + kπ con k 0, 1,, inoltre z z (cos π + i sin π) z k con k 0, 1,. + i sin 0 + kπ ( cos π + kπ + i sin π + kπ ) 7

8 Esercizi proposti Risolvere i seguenti esercizi 5. a) Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi. 1. (4 + i)(1 i). 7 6i + i. i ( + i) 4. (1 + i) 7 5. (1 + i) 0 6. ( )(1 + i ) n (1 i ) n b) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi i i. + i. + i 4. c) Disegnare nel piano di Gauss l insieme degli z C che soddisfano alle condizioni date. 1. z + i 1 + i z 1. Re(z ) >. Sia { A z : 1 < z <, π 6 < Arg(z) < π }. Dopo aver disegnato nel piano complesso l insieme A disegnare, sempre nel piano complesso l insieme B definito da B {iz : z A}. d) Calcolo di radici n esime. 5 Gli esercizi segnalati con * sono piú complessi. 8

9 1. z i. (z ) i. Calcolare le seguenti radici n esime nel campo complesso: i i 4 i e) Risolvere le seguenti equazioni. 1. z + iim(z) + z 0. z + iz i 0. z + iz 0 4. iz + (1 + i)z ire(z) + z z z + i + (Re(z))(i + (Im(z)) ) 0 7. (z) 4 z 8. z z z + z 10. (z + z) f) Miscellanei. 1. Sapendo che z i é radice del polinomio P (z) z iz + λz 4i + 18 trovare λ e le rimanenti radici di P (z) in forma algebrica.. Si consideri la funzione 9(z + z + 4) f(z) z dove z C {0}. Calcolare il valore della funzione assunto in z i e le soluzioni in forma algebrica dell equazione z f(z 0 ) dandone una rappresentazione nel piano di Gauss. 9

10 . Sapendo che z 0 1 i é soluzione dell equazione z 5 z 4 + z + z 6z calcolare tutte le altre radici. 4. Sapendo che z 0 i é soluzione dell equazione z iz + (1 + 5i)z 4i calcolare tutte le altre radici. 5. (*) Utilizzando la formula di De Moivre calcolare cos 5φ e sin 5φ. (sugg: si noti che cos(nφ) + i sin(nφ) (cos φ + i sin φ) n n ( ) n (cos φ) n k (i sin φ) k k k0 e per ottenere il risultato voluto basta uguagliare le due espressioni). 6. (*) Consideriamo le radici n esime dell unitá ovvero le soluzioni di z n 1. Siano esse e 0, e 1,..., e n 1. Dimostrare che e 0 + e e n