Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

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1 Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 06/7 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli foglio di esercizi - 6 settembre 06 numeri complessi. Esercizio - Esprimete in forma algebrica i seguenti numeri complessi : i) 5 i) i) ii) + i iii) i iv) + i i. i) 5 i) i) = 5 ) + i 5 6) = i; ii) + i iii) i = = + i; = i + i + i = 6 + i 9 + = i; iv) + i i = + i i i i = + + i ) + = i.. Esercizio - Determinate i numeri complessi tali che: i) z = + i ii) Rez = z i iii) Rez + Imz =. i) z = + i z = + i i i = i = i z = + i. x ii) Poniamo z = x+iy dove x = Rez e y = Imz. Occorre quindi risolvere l equazione x + iy = i che equivale a x = x + iy) i) = x + iy ix + y = x + y + i x + y); ossia y x + iy x) = 0. Pertanto l insieme delle soluzioni dell equazione è S = z C Rez = Imz,Rez 0} = z C z = x + ix,x R \ 0}}. iii) Per quanto osservato nel punto precedente, risolviamo l equazione x + y =. Pertanto l insieme delle soluzioni dell equazione è S = z C z = x + x)i, al variare di x R}.. Esercizio - Determinate le soluzioni delle equazioni: i) zimz + Rez) = z ii) z + i + z = i + iii) z z = + i.

2 i) Poniamo come nell esercizio precedente z = x + iy. Pertanto possiamo scrivere x iy)y + x) = x + iy xy + x iyy + x) = x + iy xy + x x iy + yx + y) = 0 x + xy x = 0 xx + y ) = 0 y + yx + y = 0 yy + x + ) = 0 Pertanto le soluzioni dell equazione saranno z = 0, z = 0 i = i, z = + i0 =. ii) Pertanto la soluzione è data da z = i. z z i) + z = i + + z = i + + i z i) + z = i + x + iy) i) + x iy) = i + x + y + iy x) + x yi = + i x + y + i y x) = + i x + y = y x = y = x = iii) Considerando il sia a destra che a sinistra si ottiene z z = + i ; poiché z = z si ha z = + = e quindi z =. Dunque z = + i da cui z = + i. Infine z = i.. Esercizio - Determinate le soluzioni delle equazioni: i) zz + Rez) = + i ii) 8 z z = + i iii) z + z =. i) Ponendo z = x + iy si ha Le soluzioni sono x + iy)x iy + x) = + i x + y + i xy + xy) = + i x + y = xy = y = x x + x = 0 y = x x x + = 0 y = x x = ± z = i z = + i z = + i z = i.

3 8 ii) Osserviamo che prendendo il modulo da entrambe le parti dell equazione si ottiene z = + i =. Pertanto z 8 = e l equazione di partenza si può riscrivere z = + i. Da questa si ottiene e la soluzione ricercata è z = i. z = i = i) = i + i i iii) Poniamo z = x + iy e riscriviamo l equazione nella forma x + iy) + x iy) =. Abbiamo poi le successive equivalenze: x + iy) + x iy) = x y + xyi) + x iy + = 0 x y ) + x + + ixy y) = 0 x y + x + = 0 yx ) = 0 y = 0 x = x oppure + x + = 0 6 y + 5 = 0 x = y = ± Ci sono quindi due soluzioni dell equazione: z = i z = + i..5 Esercizio - Rappresentate nel piano complesso l insieme dei numeri complessi z che soddisfano le relazioni: z + i > z + i z + i = z + i i) ii) z + < z + <

4 Per cominciare osserviamo che, dati due numeri complessi z = x + iy e z 0 = x 0 + iy 0, il modulo della loro differenza z z 0 è la distanza fra i punti del piano che rappresentano z e z 0 : z z 0 = x x 0 ) + y y 0 ) Studiamo il sistema di disequazioni i). Cominciamo con la prima disequazione in alto. quanto osservato all inizio: z + i = z i) è la distanza di z da i; Per z + i = z + i) è la distanza di z da + i. Per comodità poniamo z = i e z = + i. Abbiamo allora che i numeri complessi z per i quali vale l uguaglianza z+i = z+ i si possono rappresentare come i punti del piano che stanno sull asse del segmento di estremi z e z, ossia la retta r perpendicolare a tale segmento e passante per il suo punto medio. La retta r divide il piano in due semipiani; quello dei due che non contiene il punto z, cioè quello che si vede ombreggiato nella figura in alto, è l insieme degli z per i quali è verificata la disequazione z + i > z + i. Chiamiamo A questo semipiano. Vediamo ora la seconda disequazione. Procedendo in modo analogo a quanto abbiamo appena fatto, poniamo z = e rappresentiamo i numeri complessi z per i quali vale la disuguaglianza z + = z z < come i punti del piano che appartengono al cerchio di centro z = e raggio, bordo escluso. Chiamiamo B questo cerchio. In conclusione l insieme degli z C che verificano il sistema di disequazioni i) è l intersezione A B dei due insiemi visti sopra, ossia il semicerchio senza bordo rappresentato nell ultima figura in basso. Studiamo ora il sistema ii). Come già osservato in precedenza, i numeri complessi z per i quali vale l uguaglianza z+i = z+ i si possono rappresentare come i punti del piano che stanno sull asse del segmento di estremi z e z, ossia la retta r in figura. D altra parte i numeri complessi z per i quali vale z + < corrispondono ai punti del cerchio di raggio e centro, bordo escluso, che si vede ombreggiato in figura. In conclusione l insieme delle soluzioni del sistema ii) è l intersezione della retta r col cerchio, ossia il segmento, che non comprende gli estremi, evidenziato in rosso.

5 .6 Esercizio - Rappresentate nel piano complesso l insieme dei numeri complessi z che soddisfano le relazioni: Rez + Imz Im z i) ii) z + i < z = z Per cominciare osserviamo che, se z = x + iy è un numero complesso allora Rez = x e Imz = y. Studiamo il sistema i). Per quanto appena osservato, la prima disequazione in alto si scrive x + y ossia y x+. Pertanto i numeri complessi z che verificano questa prima disequazione corrispondono ai punti del piano che stanno sopra la retta r di equazione y = x +. La seconda disequazione del sistema i) si scrive anche z z 0 < dove z 0 = i. I numeri complessi che verificano questa disequazione corrispondono quindi ai punti del cerchio di centro z 0 e raggio, bordo escluso. L insieme delle soluzioni del sistema i) si rappresenta quindi col semicerchio ombreggiato in figura, dove il diametro appartiene al semicerchio ma la semicirconferenza è esclusa. Studiamo ora il sistema ii). Per quanto osservato sopra, la prima disequazione si scrive y ossia y. Quindi i numeri complessi z che verificano la prima disequazione corrispondono ai punti del piano compresi tra la retta r di equazione y = e la retta s di equazione y =, rette incluse.tale regione di piano si vede ombreggiata in figura. Infine i numeri complessi z che verificano l uguaglianza z = z, come già osservato nell esercizio precedente, si possono rappresentare come i punti del piano che stanno sull asse del segmento di estremi z = 0 e z =, cioè i punti del piano appartenenti alla retta di equazione x =. Pertanto concludiamo dicendo che l insieme delle soluzioni del sistema ii) è l intersezione della regione fra le rette r e s rette comprese) con la retta x =, ossia il segmento, estremi inclusi, che si vede evidenziato in figura..7 Esercizio - Rappresentate nel piano complesso le potenze qui sotto riportate: i) + i) 5 ii) i) iii) ) 9 + i. 5

6 i) Ricordiamo che ogni numero complesso z = x + iy si può scrivere nella forma x + iy = z θ + isinθ) dove θ R si dice argomento di z. Ricordiamo anche che il prodotto di due numeri complessi z = z α + isinα), w = w β + isinβ) ) è il numero z w α + β) + isinα + β) che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti. Calcoliamo le potenze del numero complesso z = + i. Osserviamo che z = e argz = π. Abbiamo quindi + i) = ) π + isin ) ) π e + i) 5 = ) 5 5 π ) + isin 5 π ) ) Le potenze +i) k per k =,...,5 sono rappresentate nella figura, dalla quale si vede anche come le successive potenze si ottengono graficamente con una successione di triangoli rettangoli equilateri. ii) In modo simile a quanto fatto per il caso precedente, calcoliamo le potenze del numero complesso z = i. Osserviamo che z = e argz = π. Abbiamo quindi i) = π ) + isin π ) ) e i) = π ) + isin π ) ) Le potenze rappresentate nella figura. i) k per k =,..., sono 6

7 iii) Calcoliamo le potenze del numero complesso z = + i. Osserviamo che z = e argz = π. Abbiamo quindi ) 9 + i = 9 π ) + isin 9 π ) ) = π) + isinπ)..8 Esercizio - Rappresentate nel piano complesso le radici qui sotto riportate: i) i ) ii) z, essendo z = + i iii) i + 0. i) Per cominciare poniamo z 0 = + i, dunque si ha che z 0 = 8 = e α = arg z 0 = π. Abbiamo quindi ) ) ) + i = ) α + kπ α + kπ + isin = π + ) π kπ + isin + ) ) kπ Vediamo evidenziate in figura le soluzioni. ii) Ricordiamo che se z = x+iy allora z = x iy. Pertanto se z 0 = + i si ha che z 0 = i. Osserviamo che z 0 = e α = arg z0 = π. Abbiamo quindi ) ) ) i = ) α + kπ α + kπ + isin = 8 π 6 + k π ) + isin π 6 + k π ) ) Le soluzioni si vedono evidenziate in figura. 7

8 iii) Posto z 0 = 0 + i, si ha che z 0 = 0 e α = arg z 0 = arctan 0. Pertanto 0 + i = 0) 8 α + k π ) α + isin + k π ) ) Per la rappresentazione grafica conviene osservare che 0 8. e α = arctan , da cui α 0 e una delle radici, per k = 0, è 0 + i. 8