Capitolo 8. - Soluzioni

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1 Capitolo 8. - Soluzioni 8. Basta applicare la formula di passaggio da un sistema di misura all altro. a) π 6 ; b) π; c) π; d) π 8 ; e) π ; f) π; g) 5 π; h) π 5 5 ; i) 8π; j) 8 π; k) 55 8 π; l) ; m) 6 ; n) 7 ; o) ; p) ; q) 5 ; r) 67 ; s) ; t) 5 ; u) 8 ; v) a) terzo; b) primo; c) terzo; d) secondo ; e) secondo ; f) primo; g) secondo; h) quarto; i) quarto; j) terzo; k) secondo; l) terzo; m) primo; n) primo. 8. Ricordare che una funzione f) è periodica di periodo T > se T è il più piccolo numero positivo tale che f + T ) = f) per ogni nel dominio della funzione. a) Il periodo è π; infatti cos + π ) = cos ). b) Il periodo π; infatti [ sin + ) π + π ] = sin + π + π ) = sin + π ) c) Il periodo è 8; infatti [ π ] 5 cos + 8) π ) π ) = 5 cos + π = 5 cos. d) Il periodo è π 6 ; infatti [ tan + π )] = tan + π ) = tan. 6 e) Il periodo è 6π; infatti la prima funzione ha periodo π, la seconda 6π, e 6π è il più piccolo multiplo intero positivo dei due periodi. f) Il periodo è π; infatti la prima funzione ha periodo π, la seconda 6π. g) Il periodo è π; infatti la prima funzione ha periodo π; la seconda 5 π h) Il periodo è π; infatti la prima funzione ha periodo ha periodo π, la seconda π. i) La funzione non è periodica; infatti la prima ha periodo π la seconda ha periodo e non esiste alcun multiplo intero di π che sia uguale ad un multiplo intero di. 8. Negli esercizi da g) fino a l) si usi l identità a sin + b cos = a + b sin + ϕ) con ϕ R da calcolare opportunamente vedi Esercizio 6 del Capitolo 8). 59

2 ESERCIZIO?? a) sin ESERCIZIO?? b) sin ) ESERCIZIO?? c) sin ESERCIZIO?? d) sin ESERCIZIO?? e) cos ESERCIZIO?? f) tan

3 ESERCIZIO?? g) sin + cos ESERCIZIO?? h) cos sin Osservare che Osservare che sin + cos = sin + π ) ; cos sin = sin + 56 ) π ESERCIZIO?? i) + sin + cos ESERCIZIO?? j) sin + cos Osservare che Osservare che + sin + cos = + sin + arctan ) sin + cos = sin + π ) ESERCIZIO?? k) sin + cos ESERCIZIO?? l) sin cos Osservare che Osservare che sin + cos = sin + π ) sin cos = sin + π ) 6

4 ESERCIZIO?? m) cos + π ) ESERCIZIO?? n) sin ESERCIZIO?? o) + cos ESERCIZIO?? p) tan π ) ESERCIZIO?? q) cos + π ) ESERCIZIO?? r) cos 6

5 ESERCIZIO?? s) tan ESERCIZIO?? t) sin 8.5 a) α = 6, b = sin = 5, a = cos = 5. b) cos β = 5, sin α = sin π β) = cos β = 5, cos α =, α = 75, β = 9, b = 6 sin β =, a = 6 cos β = 5. c) sin β = tan β + tan β = 5 π ) 5, cos β = 5 5, sin α = sin β = cos β = α = 6, β = 6 6 b =, 6 sin β =, 57, a =, 6 cos β =, 68. d) b =, sin α = cos β = 5, cos α = sin β = 5, α = 5 8, β = 6 5. e) β = 5 ; c = a sin 75 = 8, 6; b = c cos 75 =, cos α = 5 5 f) cos β = sin α =, sin β = cos α =, α = 7, β = 9 9, c = b sin β =, a = c cos β = 6. g) c =, sin α = cos β =, cos α = sin β =, α = 6 β =. h) α = 5 ; c = 7, 5 =, 7; a = c sin α = 98, 58. sin β 8.6 a) β = 5 o 7 8, γ = 96 o 5, a = 5, 6, b = 8, 56 b) α = 6 o 5, β = 7 o, γ = 69 o 5, a = 5, b = c) Innanzitutto è verificata la condizione necessaria, perché b > c sin β perché b = ), c sin β = ). Inoltre esistono due soluzioni perché b < c. Infatti applicando il teorema dei seni: sin γ = sin 5 o ) = sin γ = =, 966 = ) = γ = 75 o α = 6 o a = ) oppure γ = 5 o α = o a = ) 6

6 C C h= b 5 B c= / A d) La condizione necessaria per l esistenza del triangolo b > sin β è verifficata in quanto c sin β = <. È verificata anche la condizione di unicità di soluzione in quanto b > c. Applichiamo il teorema dei seni: sin γ = sin 5o sin γ = γ = o la soluzione γ = 5 o è da scartare). Infine α = 5 o e a = 5, 6. e) β = 9 o 8 6, h = sin β = = b; esiste dunque un unico triangolo ed è quello rettangolo. Infine γ = 9 o, a = 8 =,, α = 7 o f) β = 6 o 6 6, h = sin β = < b, quindi non esiste alcun triangolo. g) Ricaviamo cos β = 9 e quindi β = 96o 6, α = 8 o, γ = 5 o 5 5. I lati sono ottenuti dal teorema dei seni: a = sin α sin γ =, 9 b = sin β sin γ =, 7. h) α = 7 o. Mentre dal teorema di Carnot otteniamo a = cos α = 9 ovvero a = ; inoltre γ = α e β = 8 o 56. i) α = o 8 9, sin α = 5 ; dal teorema di Carnot a = 5 8 cos α = 6 cioè a = 8. Applichiamo il teorema dei seni sin β 6 = sin γ = 5 β = 6o, γ = 8 o a) Gli angoli sono uguali a quelli formati dalle rette = e = parallele alle precedenti). Essendo tan α =, tan β =, si ha tan γ = tanα β) = γ = 6 5. L altro angolo è dunque γ = b) Gli angoli sono quelli che la retta = forma con l asse. Dunque γ = arctan = , γ =. 6

7 c) Gli angoli sono quelli tra le rette = e =. Essendo tan α = e tan β =, si ha: tan γ = tanα β) = 5, γ = 57 5, γ = a) cos α = tan α = b) cos α = tan α = c) cos α = 5 tan α = d) sin α = 7 5 e) 5 sin α = 8 tan α = 7 tan α = 5 7 f) 5 sin α = 5 cos α = a) tan α = = ) b) tan α = = c) tan α = d) tan α = 7 = = a) sin α = sinα + α) = sin α cos α + cos α sin α = sin αcos α + sin α cos α sin α = = sin α cos α sin α) = = sin α sin α) = sin α sin α b) cos α = cosα + α) = cos α cos α sin α sin α = cos α sin α) cos α sin α cos α = = cos αcos α sin α) = cos α cos α ) = cos α cos α. c) sin α = sin α cos α = sin α cos αcos α sin α) d) cos α = cos α sin α = cos α sin α) sin α cos α = = cos α ) cos cos α) = 8 cos α 8 cos α +. 65

8 8. a) b) cos α sin α c) d) sin α cos α e) f) g) sin α cos α h) tan α i) sin α + cos α) tan α tan α) l) cos α m) sin α cos α cos α sin α n) sin α cos α o) sin α cos α cos α + sin α p) cos α sin α) q) + sin α sin α cos α r) s) sin α t) cos α sin α cos α + ) u) cos α) v) cos α z) cos α cos α 8. Poniamo t = tan α a) t + t t + b) t t + t + t t + ) c) t t ) t 6t + d) t + t e) t + t f) t 8. a) sin 5 α cos α b) sin α cos α cos α cos 5 α ) c) cos 5 α sin α + sin α cos α = sin α d) cos α cos β e) sin α sin β + π ) f) cos α 5 cos 5α) g) [ cos α + π ) + cos π ] 6 = cos α + β + π sin α β π ) = sin α h) sinα β) [sinα + β) sinβ α)] = sinα + β) 66

9 8. Supponiamo ad esempio siano noti a, b, γ e proviamo che l area del triangolo è data da ab sin γ. Se γ = 9 o il risultato è ovvio. Distinguiamo due casi verificando che il valore b sin γ rappresenta la misura dell altezza relativa al lato a in entrambi i casi. o caso: < γ < 9 o Indicata con AH l altezza in questione e considerato il triangolo AHC, si ottiene subito l asserto in quanto h = b sin γ vedi figura). A c α h b β γ B H a C o caso : 9 o < γ < 8 o Consideriamo nella figura sotto il triangolo AHC, si ha: AH = b sin8 o γ) = b sin γ. A c b h γ 8 o γ B a C H 8.5 a) = π 6 + kπ, k Z, oppure = 5π 6 + hπ, h Z, e dunque = π 8 + k π, k Z, oppure = 5π 8 + h π, h Z. b) π = + kπ, k Z, oppure π = π + hπ, h Z, e dunque = π + kπ, k Z, oppure = π 9 + h π, h Z. 67

10 c) π = kπ, k Z, cioè = π + kπ, k Z. d) π = + π + kπ, k Z, oppure π = π + hπ, h Z, e dunque = 5π + kπ, k Z, oppure = π + h π, h Z. e) = + kπ, k Z, oppure = + hπ, h Z, e dunque = kπ, h Z, oppure = h π, h Z. f) π 6 = π + kπ, k Z dunque = π + k π, k Z. g) sin = oppure sin = oppure = 5π + hπ, h Z. dunque = kπ, k Z oppure = π + hπ, h Z h) cos = la soluzione cos = non è accettabile ) dunque = kπ, k Z. i) tan = dunque = π + kπ, k Z j) ovvero { sin sin sin + = oppure { sin < sin sin = sin = = π + kπ, k Z. k) cos = oppure cos = 5 oppure = ± arccos 5 l) Nessuna soluzione. + hπ, h Z la soluzione cos = + 5 non è accettabile) quindi = kπ, Z m) tan = ± ovvero = π + k π, k Z. n) cos = oppure cos = da cui = π + kπ, k Z, oppure = hπ, h Z. o) Poiché i valori per cui cos = non risolvono l equazione, questa equivale a tan = e dunque = π + kπ, k Z. p) Posto X = cos, Y = sin : { Y X + = X + Y = Le soluzioni sono vedi figura): X, Y ) =, ) oppure X, Y ) =, ), da cui { cos = sin = oppure { cos = sin = = kπ, oppure = π + hπ, h, k Z. 68

11 Y X q) Equivale a cos sin + =. Posto X = cos, Y = sin : { X Y + = X + Y = { cos = sin = oppure { cos = sin = = π + kπ, oppure = π + hπ, h, k Z. r) Sostituendo il termine noto con cos + sin ), possiamo riscrivere: sin + sin cos cos = Poiché i valori che annullano il coseno non risolvono l equazione, possiamo dividere per cos : tan + tan = Questa è un equazione di secondo grado in tan che per soluzioni tan = ±, e dunque = arctan ± ) + kπ, k Z. s) L equazione equivale a sin + sin cos = ovvero, sostituendo il secondo membro con sin + cos, sin cos = cos, da cui cos = oppure tan =, che implicano = π + kπ, k Z oppure = arctan + hπ, h Z. t) Si sostituisce il termine noto con sin + cos ), l equazione equivale a sin + ) sin cos cos = Dividendo per cos i valori che annullano cos non soddisfano l equazione) si ottiene che fornisce tan + ) tan = tan = ) ± + da cui = π 6 + kπ, k Z oppure = π + hπ, h Z. = ± + ) = { 69

12 u) Il sistema equivale a = kπ + = π, k, h Z + hπ = π 6 + h + k)π = π 6 + h k)π.. Poniamo h + k = m, m Z; di conseguenza h k = h + k) k = m k, da cui = π 6 + mπ = π, m, k Z. 6 + mπ kπ v) che equivalgono a sin = sin tan tan > sin sin sin sin = sin = tan tan > oppure sin = sin tan tan > sin = sin = tan tan > sin = sin = da cui segue = π 6 + kπ = π + hπ oppure = 5π 6 + kπ = π + hπ oppure = π 6 + kπ = π + hπ oppure = 5π 6 + kπ = π + hπ h, k Z. w) I valori per cui cos =, = π + kπ, k Z) risolvono l equazione. Per trovare le altre soluzioni dividiamo per cos : tan tan + =, tan = ±, ± da cui = ± π + kπ, k Z, oppure = ± π + kπ, k Z. ) L equazione può essere riscritta nella forma sin = + cos cos, cioè cos > sin = 5 che non ha soluzioni) oppure cos < sin =. Nel secondo sistema l equazione ha come soluzioni = π 6 + kπ, k Z, oppure = 5π + hπ, h Z, 6 da cui = π 5π + kπ, k Z, oppure = + hπ, h Z. Perché sia poi soddisfatta anche la condizione 7

13 sul coseno deve essere = π 5π + k + )π, k Z, oppure = + h + )π, h Z. ) cos sin = cos ) sin = cos cos π sin sin π ) = cos + π ). Poiché l equazione non ha soluzioni. + + >, z) L equazione equivale a sin = α ed ammette soluzioni se e solo se α, 7 7 cioè α. Se α = allora = π + kπ, k Z. Se invece < α < allora α α = arcsin + kπ, k Z oppure = π ± arcsin + hπ, h Z. 7 7 Infine per α = risulta = kπ, k Z. 8.6 a) π 6 + kπ < < 5π 6 + kπ, k Z. / b) π + kπ < < π + kπ, k Z. / 7

14 c) sin < oppure sin > π + kπ < < π + kπ, k Z. da cui π + hπ < < π + hπ, h Z, oppure U d) < sin < da cui π 6 + kπ < < 7 6 π + kπ, k Z e π + kπ, k Z. / e) cos 5 cos + > da cui cos < oppure cos > ; quest ultima non ha soluzioni, mentre la prima è risolta da π + kπ < < 5 π + kπ, k Z. / f) Equivale a tan oppure tan, da cui π + kπ arctan + kπ, k Z oppure arctan + hπ π + hπ, h Z. 7

15 π/ π/ g) Posto X = cos, Y = sin { Y + X > X + Y = da cui π + kπ < < π + kπ, k Z. h) Posto X = cos, Y = sin { Y + X < X + Y = da cui π + kπ < < π + kπ, k Z. 7

16 i) sin cos )+ cos sin ) che equivale a sin +cos, a questo punto procediamo come nell esercizio precedente ed otteniamo π + kπ π + kπ. j) cos = oppure tan >, da cui π + kπ < < π + kπ, k Z. k) cos = oppure cos tan + ) > ; queste condizioni equivalgono alle seguenti cos = oppure { cos > tan > oppure { cos < tan < da cui otteniamo π + kπ < < π + kπ, k Z. l) cos cos + sin ) cos + sin ) < ovvero cos )cos + sin ) < che equivale a cos > oppure cos < cos + sin < oppure Le soluzioni sono: π + kπ < < 5 π + kπ, π + kπ, k Z. < cos < cos + sin > m) Utilizziamo la formula tan = tan tan. Poniamo t = tan tt + ) t > e sostituiamo nel testo: Le soluzioni sono < t < oppure t >. Da cui π + kπ < < kπ oppure π + kπ < < π + kπ, k Z da cui π + kπ < < kπ oppure π + kπ < < π + kπ, k Z. Queste condizioni si possono sintetizzare nella seguente π + kπ < < π + kπ, k Z. n) Utilizziamo la formula cos = cos ottenendo cos ) cot, da cui seguono cos cos oppure cot cot Le soluzioni sono 7

17 ovvero π + kπ π + kπ kπ < π + kπ π + kπ π + kπ kπ < π + kπ oppure oppure π + kπ π + kπ k Z, π + kπ < π + kπ π + kπ π + kπ k Z. π + kπ < π + kπ Dal primo sistema si ottiene kπ < π + kπ oppure = π + kπ, k Z. Dal secondo sistema si ottiene π + kπ < π + kπ oppure = π + kπ, k Z. In definitiva kπ < < π + kπ oppure = π + kπ, k Z. o) tan < oppure tan >. Le soluzioni sono dunque π + kπ < < π + kπ, π + kπ, kπ, k Z. p) Perché sia definita tan deve essere π +kπ. Utilizzando le formule parametriche, la disequazione diventa tan tan ) > cioè tan π tan > oppure tan + kπ < < π + kπ < π + kπ, k Z. q) La disequazione ha senso se { cos sin kπ, k Z. La disequazione equivale a sin cos > cos cos sin cos ) > π + kπ < < π + kπ, k Z. r) La disequazione ha senso se k π, k Z, ed equivale a sin + cos < sin cos Ponendo Y = sin, X = cos diventa 75

18 X + Y = Y + X < XY Le soluzioni sono π + kπ < < π + kπ, k Z. s) La disequazione ha senso per π + k π, ed equivale a sin cos cos sin Ponendo X = cos, Y = sin otteniamo il sistema XY X Y X + Y = Le soluzioni sono π + k π < π + k π, k Z.. t) La disequazione proposta equivale alla seguente: sin cos + ) cos < Ponendo X = cos, Y = sin ci siamo ricondotti a risolvere il sistema Y X + ) X <. X + Y = Le soluzioni sono π + kπ < < π + kπ, π + kπ, k Z. u) La disequazione proposta equivale alla seguente sin + sin ) tan sin cos + Consideriamo il numeratore: sin + sin sin oppure sin figura sotto, a sinistra). Il segno del numeratore è espresso nella figura sotto, a destra. 76

19 Consideriamo il denominatore: ponendo X = cos, Y = sin otteniamo: { Y X + X + Y. = La soluzione geometrica è indicata nella figura sotto, a sinistra. Infine le soluzioni sono + kπ < π π + kπ oppure 5 π + kπ π + kπ, k Z. 6 v) Studiamo il segno del numeratore: tan che equivale a tan oppure tan da cui π 8 + k π 8 π + k π, con π + k π. Semplifichiamo l espressione al denominatore per poterne studiare il segno: sin cos + cos sin > tan tan < tan < + Le soluzioni sono π 8 + k π < < π 8 k π, k Z. e h π, h Z. Le soluzioni della disequazione di partenza si hanno quando numeratore e denominatore hanno segno discorde, in definiva le soluzioni sono: π 8 + k π, k Z, π + k π, k Z. w) La prima disequazione del sistema ha soluzioni π + kπ < < π + kπ, k Z, mentre la seconda è risolta da π 6 + kπ < < 5 π + kπ, k Z. 6 π Il sistema ha dunque soluzioni: + kπ < < π + kπ, k Z ) Ponendo X = cos e Y = sin otteniamo il sistema { Y + )X > X + Y = 77

20 Il punto di intersezione tra la retta Y + )X = e la circonferenza X + Y = è il punto di coordinate, ), da cui segue vedi figura) kπ < < π + kπ, k Z. 8.7 a) Poniamo α =, β = con,, π ) la diseguaglianza assume la forma sin + sin sin + ) Usando la formula di duplicazione e quelle di addizione: sin cos + sin cos sin cos + sin cos sin cos cos ) sin cos cos ) ovvero sin sin )cos cos ). La diseguaglianza è vera perchè in, π ) la funzione seno è crescente mentre la funzione coseno è decrescente quindi se <, sin sin <, cos cos > ). L eguaglianza vale se e solo se = cioè α = β. b) Osserviamo che cos α = sin α + π ) = sin, con, π ). Analogamente cos β = sin β + π ) = sin, con, π ). Tenuto conto di questo e della diseguaglianza dimostrata nel punto a) otteniamo: cos α + cos β sin + sin = sin + = α + π = sin + β + π ) α + β = sin + π ) ) α + β = cos c) Poniamo α =, β =, con,, π ). La diseguaglianza proposta equivale alla seguente tan + ) tan + tan 78

21 Otteniamo una diseguaglianza equivalente applicando al primo membro le formule di addizione ed al secondo quelle di duplicazione: tan + tan tan tan tan tan + tan tan I denominatori sono maggiori di zero in quanto,, π ) ; possiamo allora scrivere tan + tan tan tan + tan tan tan tan tan ) tan tan tan ) tan tan ) tan + tan ) Questa diseguaglianza è sempre verifcata perchè,, π ) e quindi tan > e tan >. Vale il segno di eguaglianza se e solo se tan = tan ovvero =. Anche per quest ultima implicazione si tenga presente che,, π ). 8.8 Supponiamo che il triangolo sia isoscele in a, b quindi a = b, α = β), allora dalla relazione α + β + γ = 8 o ricaviamo α = 9 o γ e quindi: Sostituendo nella formula proposta, tan α = tan 9 o γ ) = tan γ tan γ a tan α + b tan β) = a tan γ tan α = a = a + b. Viceversa, supponiamo valga la relazione data. Portiamo tutto al primo membro: a tan γ ) tan α + b tan γ ) tan β = ; utilizzando il teorema dei seni: otteniamo Osserviamo che Analogamente a b = sin α sin β, sin α sin β = tan γ tan β tan γ tan α. tan γ tan α = cos γ cos α sin γ sin α cos γ cos α = cos γ + α) cos γ cos α. tan γ tan β = cos γ + β) cos γ cos β. Sostituendo nella relazione sopra e semplificando: γ ) γ ) ) tan α cos + α + tan β cos + β =. 79

22 Poichè da *) otteniamo γ γ ) γ ) γ ) + α = 8o + β cos + α = cos + β, γ ) tan α tan β = oppure cos + β =. Dalla prima equazione segue α = β, dalla seconda γ + β = 9o e quindi γ + α = 9o : anche in questo caso α = β. 8.9 Applicando due volte il teorema del coseno, si ha: BC = 6 cos o =, BC = 6 cos 6 o = 7 Il perimetro vale C A B C 8. D / C A o 9 K O H B Poniamo vedi figura) OK = sin, OH = cos, DK = cos, CH = sin, < < π. 8

23 Da cui V = πsin + cos ) e V = π. Il volume V è il tronco di cono ottenuto dalla rotazione di DC a cui si tolgono due coni ottenuti dalla rotazione di OD e di OC. Volume del tronco di cono: πkhdk + CH + DK CH) = πsin cos ) + sin cos ) Volume del cono generato da OD Volume del cono generato da OC Da cui segue πkd OK = π cos sin πch OH = π sin cos V = π sin + cos ). Possiamo quindi scrivere f) = + sin + cos = + sin + π La funzione è minima quando il denominatore è massimo. Questo accade per + π = π cioè = π. 8

24 8. Il triangolo ABD è isoscele e dunque l altezza BC è anche mediana vedi figura). D P C r A H r B Quindi AD = AC = r cos, AP = r cos, P H = r cos sin, area P AD = r cos r cos sin = r sin cos = r sin area ACB = AC BC = r sin cos = r sin. L area di P AD è massima per = π cioè = π 8. Mentre area P AD = area ACB per sin = sin. L equazione è verificata per i seguenti valori di = + kπ, k Z = = π + hπ, h Z = π 6 In definitiva la soluzione del problema è = π 6 la soluzione = ovviamente non è accettabile). 8. Osserviamo quanto segue vedi figura) P H = r sin, OH = r cos, < < π P H tan 6 o = r sin OH = P H tan 6 o = HH = OH OH = r cos r sin 8

25 B P P O H H A Da queste relazioni ricaviamo area H HP P = r sin cos r ) ) sin = r sin sin = = r sin cos = r [sin + π 6 ) ] = ) = r cos π 6 sin sin π 6 cos ) = Il termine + π 6 varia tra π 6 e 5 6 π. Il seno è massimo per + π 6 = π, cioè per = π Dimostriamo l identità applicando il principio di induzione. Per n = l eguaglianzza è banalmente verificata. Posto Pn) : n i= dimostriamo che Pn) Pn + ). A tale scopo si ha sin iα = sin n n+ α sin sin α α ; n+ i= sin iα = per la proprietà del simbolo di sommatoria) = n i= = sin n = sin n = sin iα + sinn + ) α = n+ α sin α sin α + sinn + ) α = n+ α sin α + sin α sinn + )α sin α cos α cos n+ α + sin α per l ipotesi induttiva) = per le formule di prostaferesi) cos n+ α sin n + ) α 8

26 = cos α sin ) n + sin α Tenuto conto che Pn + ) : n+ i= sin iα = otteniamo la tesi mediante le formule di prostaferesi: sin n+ α sin n+ α sin α = n+ sin α sin n+ sin α α cos α sin n + ) α sin α, 8. Campo di esistenza: deve essere sin ±, cioè limitatamente al dominio assegnato) ± π. Segno e zeri: studiamo la disequazione f), che equivale successivamente a: + sin + sin sin sin. sin Dunque: f) > per, π ) π ), π f) < per π, π ) π ), f) = per =, = ±π. Immagine: studiamo l equazione f) = α al variare del parametro α; questo equivale successivamente alle seguenti equazioni + sin sin = eα sin = eα e α + Perché l equazione ammetta soluzioni deve essere ) e α e α + < eα < e α < e α +, e questa condizione è sempre verificata; dunque Im f = R. Iniettività: la funzione non è iniettiva perchè, per ogni valore di α R l equazione ) ammette due soluzioni limitatamente all intervallo di variazione scelto). Funzione inversa: restringendo il dominio alle π, π ), la condizione su α per la risolubilità dell equazione ) non cambia e dunque anche per la restrizione vale Im f = R. Questa volta peró l equazione ) ha un unica soluzione = arcsin eα e α + Si tenga presente la proprietà del logaritmo: log. Si ricordi il legame tra esponenziale e logaritmo: log = α e α =, α R, >. 8

27 che fornisce la funzione inversa. Riassumendo f : π, π ) R, f : R π, π ), f α) = arcsin eα e α Campo di esistenza: deve essere, cioè che é verificata per. Segno, zeri: poichè l immagine della funzione arccos è [, π], anche la funzione f) è sempre positiva o nulla. In particolare è nulla se = π = π = log π = log π Poiché il valore trovato non appartiene al campo di esistenza la funzione non si annulla. ) Immagine: studiamo l equazione f) = α, al variare del parametro α: arccos = α = cos α = cos α = log cos α. Perché la soluzione trovata abbia senso, deve essere Riassumendo: f : [, + ) [, cos α > ovvero α π ) [, π ) [, f :, π ) [, + ), f α) = log cosα. 8.6 Associamo un sistema di riferimento ortogonale O in modo che il vettore B si trovi sull asse vedi figura). Quindi B = b, b ) = 7, ), A = a, a ). A a = c C 5 α 5 a H O K c B 85

28 Nel triangolo rettangolo AHO l angolo ĤOA misura 5 e quindi a = HA = 9 sin 5 = 6, 69; a = 9 cos 5 = 6, 69. Da questo otteniamo le coordinate di C e dunque C = c, c ) = a + b, a + b ) = 7 6, 69 ; 6, 69) =, 66 ; 6, 69) L angolo α può essere ricavato dalla relazione C = 6, 69) +, 66) = 6, 956 tan α = c 6, 69 = c, 66 α = Associamo un sistema di riferimento ortogonale O in modo che il vettore B si trovi sull asse vedi figura). A a = c C D a 95 5 O H c B Consideriamo il triangolo CHO : CH = 9 sin = 5, 785 = c e OH = 9 cos = 6, 98 = c Osserviamo che AD = CH, quindi a = 5, 785. Nel triangolo rettangolo ADO l angolo DOA misura 5, per cui essendo OD = DA = 5, 785 si ha a = 5, 785. Le coordinate di B si deducono dalla relazione B = C A : b = c a = 6, , 785 =, 679, mentre, ovviamente, b =. Per concludere B =, 679 mentre A = a = 8, 8 sin Associamo un sistema di riferimento ortogonale O in modo che il vettore A si trovi sull asse vedi figura). 86

29 d D C c b 75 B c 75 O b A d Calcoliamo le componenti a, a ), b, b ), c, c ) dei vettori A, B, C: a =, a =, b = cos =, 9, b = sin = 6, c = 5 cos 5 = 5 cos 75 =, 88 c = 5 sin 5 =, 88 Da cui, essendo D = A + B + C, otteniamo da cui D = 6,. d = a + b + c = +, 9, 88 = 6, 5, d = a + b + c = + 6 +, 88 =, 88, 8.9 Associamo un sistema di riferimento ortogonale O in modo che il vettore A si trovi sull asse vedi figura). B b c d b O A D d C c Calcoliamo le componenti a, a ), b, b ), c, c ) dei vettori A, B, C: a = 6, a =, b = 8 cos = 8 cos 6 =, b = 8 sin = 6, 98, c = cos 5 = 6, 7 c = sin 5 = 7, 66 87

30 Da cui, essendo D = A + B + C, otteniamo ovvero D =, 87. d = a + b + c = 6 6, 7 =, 7, d = a + b + c = + 6, 98 7, 66 =, 7, 88