1. Rappresentate il grafico delle funzioni. 1 2 x + 1. (i) 3x + 1 (ii) 3x 2 (iii) 2x + 1 (iv) delle rette in questione.

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1 Università di Trento - Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e in Ingegneria Ambientale Esercizi di Analisi Matematica 1 - Primo Foglio - 16 settembre 2015 Soluzioni 1. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) 3x + 1 (ii) 3x 2 (iii) 2x + 1 (iv) 1 2 x + 1. Soluzione. Nella figura sotto a sinistra sono rappresentati i grafici (i) e (ii). Osserviamo che sono due rette parallele e che il grafico (i) si ottiene traslando verso l alto di una unità la retta y = 3x, che si vede tratteggiata nella figura, mentre il grafico (ii) si ottiene traslando verso il basso di due unità la stessa retta y = 3x. Nella figura a destra sono rappresentati i grafici (iii) e (iv). Osserviamo che si tratta di due rette perpendicolari. La perpendicolarità si vede algebricamente nella relazione m 1 m 2 = 1 che vale fra i coefficienti angolari m 1 = 2, m 2 = 1 2 delle rette in questione. 2. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) x 2 1 (ii) (x 1) 2 (iii) x (iv) (x + 2) 3. Soluzione. Nella figura sotto a sinistra sono rappresentati i grafici (i) e (ii). Osserviamo che il grafico (i) si ottiene traslando verso il basso di una unità il grafico di y = x 2, che si vede tratteggiato nella figura. Il grafico (ii) si ottiene traslando a destra di una unità lo stesso grafico y = x 2. Potrebbe venire in mente di disegnare il grafico della funzione (ii) scrivendola nella forma equivalente x 2 2x + 1; questo approccio è però più laborioso e non coglie lo spirito dell esercizio ossia la manipolazione di grafici elementari. Nella figura a destra sono rappresentati i grafici (iii) e (iv). Entrambi si ottengono con una trasformazione opportuna del grafico y = x 3, che si vede tratteggiato nella figura. Precisamente, il grafico (iii) si ottiene prima riflettendo rispetto all asse x e poi traslando verso l alto di tre unità il grafico di y = x 3. Il grafico (iv) si ottiene traslando a sinistra di due unità lo stesso grafico y = x 3. 1

2 3. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) x + 1 (ii) x + 1 (iii) (x + 1) 2. Soluzione. Nella figura sotto sono rappresentati, da sinistra a destra, i grafici (i), (ii) e (iii). Osserviamo che il grafico (i) si ottiene traslando a sinistra di una unità il grafico di y = x, che si vede tratteggiato nella figura; il grafico (ii) si ottiene traslando in alto di una unità lo stesso grafico y = x che si vede sempre tratteggiato. Osserviamo infine che il grafico di (iii) altro non è che il grafico di y = x + 1, come si vede nella figura a destra. 4. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) x 2 (ii) x 3 1 (iii) sinx. Soluzione. Nella figura sotto sono rappresentati da sinistra a destra i grafici (i), (ii) e (iii). In ognuno dei tre casi si vede tratteggiato il grafico della funzione che si trova dentro il modulo. Ad esempio nella figura centrale si vede tratteggiato il grafico della funzione y = x 3 1. Per ottenere da questo il grafico della funzione y = x 3 1 occorre riflettere rispetto all asse x la parte del grafico che sta sotto l asse. In modo analogo si ottengono gli altri due grafici. 2

3 5. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) 3 x + 1 (ii) 2 x+2 (iii) log 2 (x + 3) (iv) (log 10 x) 1. Soluzione. (i) Il grafico di y = 3 x + 1 si può ottenere attraverso due successive trasformazioni a partire dal grafico di y = 3 x, che si vede nella figura sotto a sinistra: per prima cosa si riflette rispetto all asse y e si ottiene il grafico di y = 3 x, poi si trasla quest ultimo grafico verso l alto di una unità. (ii) Il grafico di y = 2 x+2 si può ottenere traslando verso sinistra di due unità il grafico di y = 2 x. 3

4 In alternativa si può scrivere 2 x+2 = 2 x 2 2 = 4 2 x e si può quindi ottenere il grafico di y = 2 x+2 dilatando di un fattore 4 il grafico nella direzione y. Nella figura sotto sono rappresentati i grafici di (iii) e (iv). Nella figura a sinistra il grafico desiderato di y = log 2 (x+3) si ottiene traslando a sinistra di tre unità il grafico di y = log 2 x che si vede tratteggiato in figura. Nella figura sulla destra il grafico di (iv) si ottiene traslando verso il basso di una unità il grafico di y = log 10 x che si vede tratteggiato in figura. 6. Rappresentate il grafico delle funzioni (i) sin(x + π) (ii) arccos(x 3) (iii) arctan(2x) 2 (iv) tan x + 2. Soluzione. Nella figura sotto a sinistra si vede tratteggiato il grafico della funzione sinx. Traslandolo verso sinistra di π si ottiene il grafico della funzione (i). In alternativa, avendo in mente la definizione della funzione sinx, si può osservare che sin(x + π) = sinx e si vede immediatamente che il grafico cercato si ottiene riflettendo il grafico di sinx rispetto all asse y. Nella figura sotto a destra si vede tratteggiato il grafico della funzione arccos x. Da esso, mediante una traslazione verso destra di tre unità, si ottiene il grafico di y = arccos(x 3). Nella figura sotto vediamo rappresentati i grafici di (iii) e (iv). Per quanto riguarda la figura a sinistra vediamo tratteggiato il grafico di y = arctan x ; da questo disegnamo il grafico di y = arctan(2x) che trasliamo in basso di due unità. Otteniamo in questo modo il grafico desiderato di y = arctan(2x) 2. Per quanto riguarda la figura sulla destra, si vede tratteggiato il grafico della funzione y = tan x. Da questo grafico otteniamo quello desiderato della funzione y = tan x+2 attraverso una traslazione verso l alto di due unità. 4

5 7. Rappresentate il grafico delle funzioni Soluzione. (i) 1 3 x + 1 (ii) 2x 2 + 4x + 1 (iii) 2 x 2. i) Il grafico della funzione f (x) = 1 3 x + 1 si può ottenere attraverso una sequenza di trasformazioni a partire dal grafico ben noto della funzione y = g(x) = 3 x, che si vede nella figura sotto a sinistra. Da questo primo grafico si passa a quello della funzione g(x+1) = 3 x + 1 con una traslazione di una unità verso sinistra. Da questo secondo grafico si passa a quello della funzione g(x +1) = 3 x + 1 mediante una riflessione rispetto all asse x. Infine, con una traslazione verso l alto di una unità, si ottiene il grafico desiderato della funzione 1 g(x + 1) = 1 3 x + 1. ii) Osserviamo che la funzione f (x) = 2x 2 + 4x + 1 si può ricondurre ad una forma più espressiva del tipo α(x β) 2 + γ. 1 Per fare questa trasformazione si può procedere ad esempio come segue: 2x 2 + 4x + 1 = 2(x 2 + 2x) + 1 = [2(x 2 + 2x + 1) 2] + 1 = 2(x + 1) 2 1 che è del tipo voluto con α = 2, β = 1, γ = 1. Pertanto f (x) = 2(x+1) 2 1. Come abbiamo visto in precedenza, pensiamo alla funzione f (x) come risultato di operazioni tra funzioni come mostrato in figura sotto 1 Questo procedimento si chiama completamento del quadrato. 5

6 iii) Il grafico della funzione f (x) = 2 x 2 si può ottenere attraverso una sequenza di trasformazioni a partire dal grafico ben noto della funzione 2 x. Il procedimento si vede nella figura sotto. 8. Indicate quale di queste funzioni è un polinomio, quale è una funzione razionale, quale è un esponenziale: x 2 3 (i) (ii) 2x x + 1 (iii) x 1 2 x 1 (iv) Soluzione. (i) è una funzione razionale; (iv) è un esponenziale; (vi) è un polinomio. 1 2 x (v) x + 2 x (vi) 2x 2 + 4x