Esercizi su estremi vincolati e assoluti

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1 Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizio 1. di sul quadrato Determinare i punti di minimo e di massimo (e i relativi valori di minimo e massimo) assoluto f(x, y) = x cos(πy) Q = [0, 1] [0, 1]. Svolgimento. Ricerco i punti di estremo assoluto nel quadrato aperto (0, 1) (0, 1) fra i punti di annullamento del gradiente di f. Le soluzioni in Q del sistema x = 0 π sin(πy) = 0 sono i punti O = (0, 0) e P = (0, 1), che non appartengono a (0, 1) (0, 1). Quindi f non ha punti stazionari (e quindi neppure di estremo) nell interno di Q. I punti di estremo relativo andranno cercati fra i punti sul bordo Q del quadrato, dato dall unione dei quattro segmenti: Q = [A, B] [B, C] [C, D] [D, A] con A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1). Ora osserviamo che il segmento [A, B] è parametrizzato da 0 x 1 e y = 0, quindi la restrizione di f ad [A, B] è f(x, 0) = x 1 for x [0, 1]. Essendo tale funzione strettamente crescente su [0, 1], concludiamo che essa ha un punto di minimo assoluto per x = 0 (da cui il punto (0, 0)) e un punto di massimo assoluto per x = 1 (da cui il punto (1, 0)). Il segmento [B, C] è parametrizzato da 0 y 1 e x = 1, quindi la restrizione di f ad [A, B] è f(1, y) = 1 cos(πy) for y [0, 1]. Essendo tale funzione strettamente crescente su [0, 1], concludiamo che essa ha un punto di minimo assoluto per y = 0 (da cui il punto (1, 0)) e un punto di massimo assoluto per y = 1 (da cui il punto (1, 1)). Il segmento [C, D] è parametrizzato da 0 x 1 e y = 1, quindi la restrizione di f ad [A, B] è f(x, 1) = x + 1 for x [0, 1]. Essendo tale funzione strettamente crescente su [0, 1], concludiamo che essa ha un punto di minimo assoluto per x = 0 (da cui il punto (0, 1)) e un punto di massimo assoluto per x = 1 (da cui il punto (1, 1)). Il segmento [D, A] è parametrizzato da 0 y 1 e x = 0, quindi la restrizione di f ad [D, A] è f(0, y) = cos(πy) for y [0, 1]. Essendo tale funzione strettamente crescente su [0, 1], concludiamo che essa ha un punto di minimo assoluto per y = 0 (da cui il punto (0, 0)) e un punto di massimo assoluto per y = 1 (da cui il punto (0, 1)). Confrontando i valori assunti da f nei punti A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1), concludiamo che A = (0, 0) è il punto di minimo assoluto di f, con f(0, 0) = 1, B = (1, 1) è il punto di massimo assoluto di f, con f(1, 1) =. 1

2 Osservazione: se nel testo dell esercizio fossero solo stati richiesti i valori di minimo e massimo assoluto, sarebbe stato sufficiente osservare che f(x, y) = x cos(πy) x ( 1) = f(1, 1) (x, y) [0, 1] [0, 1], f(x, y) = x cos(πy) cos(πy) 1 = f(0, 0) (x, y) [0, 1] [0, 1]. Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f(x, y) = x y xy + xy sul triangolo T = (x, y) R : x 0, y 0, x y 1 }. Svolgimento. Ricerco i punti di estremo libero nell interno di T (cioè nell insieme T \ T ), determinando i punti di annullamento di f(x, y) = (xy y + y, x xy + x) y(x y + 1) = 0 y = 0 o x y + 1 = 0 x(x y + 1) = 0 x = 0 o x y + 1 = 0 da cui si ottengono i punti stazionari O = (0, 0), P 1 = (0, 1), P = ( 1, 0) e P = ( 1, 1 ). Si noti che P è l unico punto stazionario in T \ T. Lo classifico calcolando la matrice hessiana [ ] y x y + 1 H (x, y) =, x y + 1 x e quindi ( H 1, 1 ) = [ 1 il cui determinante è strettamente positivo. Ne concludiamo che ( 1, 1 ) è un punto di minimo relativo interno a T. Ricerco i punti di estremo relativo di f(x, y) sul vincolo con Osserviamo che e che 1 T = L 1 L L, L 1 = [ 1, 0] 0}, L = 0} [0, 1], L = (x, y) R : y = x + 1, x [ 1, 0] }. f(x, y) = 0 f(x, y) < 0 (x, y) T ], (x, y) T \ T Ne concludiamo che tutti i punti di T sono di massimo assoluto per f, e che il valore di massimo assoluto per f su T è 0. Il punto P = ( 1, 1 ) è di minimo assoluto per f, e il valore di minimo assoluto è f(p ) = 1 7. Osservazione. vincolati Si noti che negli Esercizi 1 e non sarebbe possibile risolvere il problema degli estremi né con il metodo delle curve di livello, in quanto non sarebbe facile capire il luogo geometrico rappresentato dalle curve di livello x cos(πy) = k e x y xy + xy = k, né con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, in quanto in entrambi i casi non esiste alcuna funzione g di classe C 1 tramite la quale si possa rappresentare il vincolo.

3 Esercizio. Determinare i punti di minimo e massimo assoluto di f(x, y) = x + y x + nell insieme D = (x, y) R : x + y 4 }. Svolgimento. Si noti che D è il disco di centro (0, 0) e raggio. Uso il metodo delle curve di livello, cioè le curve x + y x + = k (x 1) + y = k 1 al variare di k 1 (per k < 1 il luogo geometrico summenzionato è dato dall insieme vuoto). Si noti che (x 1) + y = k 1 è la circonferenza di centro (1, 0) e raggio r = k 1. Ricerco il minimo valore k min tale che la circonferenza (x 1) + y = k min 1 intersechi D e il massimo valore k max tale che la circonferenza (x 1) + y = k max 1 intersechi D Chiaramente, k min e k max saranno, rispettivamente, il minimo e il massimo valore assunti da f in D. Si ha che k min = 1, in corrispondenza alla circonferenza degenere di centro (1, 0) e raggio 0. Tale circonferenza si riduce ovviamente al solo punto (1, 0). Quindi 1 è il valore di minimo assoluto, e (1, 0) il punto di minimo assoluto. Si trova k max ricercando il massimo valore di k per il quale il sistema (x 1) + y = k max 1 x + y = 4 ha una soluzione ( x, ȳ). Mettendo a sistema le due equazioni, si trova da cui k max = 4 x + = k, max (4 x + ) = 4 ( ) + = 10 x [,] Quindi il valore di massimo assoluto è k max = 10, assunto nel punto le cui coordinate si trovano risolvendo il sistema x + y x + = 10 x + y = 4 da cui si ottiene il punto di massimo assoluto (, 0). Esercizio assegnato. Ritrovare lo stesso risultato nel seguente modo: 1. ricerco i punti di estremo liberi in D \ D = (x, y) R : x + y < 4} fra i punti stazionari di f. Trovo che (1, 0) è l unico punto stazionario di f in D \ D. Lo classifico con il test della matrice hessiana.. Studio i punti di estremo relativo per f vincolati alla cinrconferenza x + y = 4 con i seguenti metodi (provare a sviluppare tutti e tre i metodi!!): (a) moltiplicatori di Lagrange: la Lagrangiana è L(x, y, λ) = x + y x + λ(x + y 4) si noti che in questo modo si troveranno i due punti (, 0), (, 0) che poi si dovrà confrontare

4 (b) esplicitando nel vincolo y in funzione di x: conviene esplicitare y in funzione di x perché y appare nell espressione di f solo come y e quindi mi riduco a studiare la funzione y = 4 x, x [, ] h(x) = f(x, y(x)) = 4 x +, x [, ] (c) usando l equazione parametrica di x + y = 4... Esercizio 4. Al variare di β [0, + ), determinare i punti di estremo assoluto di f(x, y) = x + y x + 1 nel dominio R β = [0, ] [0, 7β]. Svolgimento. Esaminiamo dapprima il caso β = 0. R 0 degenera nel segmento [0, ] 0} sull asse x. Allora è sufficiente studiare i punti di estremo della funzione h(x) = f(x, 0) = x x + 1 = (x 1) x [0, ]. Si vede immediatamente che x = 1 (e quindi il punto (1, 0)) è il punto di minimo assoluto di h, e che x = 0 e x = sono i punti di massimo assoluti per h. I valori di minimo e di massimo assoluto sono m 0 = 0 e M 0 = 1. Esaminiamo ora il caso β > 0. Utilizziamo il metodo delle curve di livello x + y x + 1 = k (x 1) + y = k cioè le circonferenze di centro (1, 0) e raggio k. Ricerchiamo il minimo valore k min tale che la circonferenza (x 1) + y = k min intersechi R β e il massimo valore k max tale che la circonferenza (x 1) + y = k max intersechi R β. Si ha che k min = 0, in corrispondenza alla circonferenza degenere di centro (1, 0) e raggio 0. Tale circonferenza si riduce ovviamente al solo punto (1, 0). Quindi 0 è il valore di minimo assoluto, e (1, 0) il punto di minimo assoluto. Graficamente si vede che k max corrisponde alla circonferenza passante per i punti (0, 7β) e (, 7β). Imponendo che tali punti appartengano alla circonferenza (x 1) + y = k max, si trova la condizione k max = β, che individua il valore di massimo assoluto assunto da f su R β. I corrispondenti punti di massimo assoluto sono (0, 7β) e (, 7β). Esercizio assegnato. Ritrovare lo stesso risultato nel seguente modo: 1. ricerco i punti di estremo liberi nell interno di R β, cioè in (0, ) (0, 7β), fra i punti stazionari di f. Trovo che non esistono punti stazionari interni.. Studio i punti di estremo relativo per f vincolati al bordo di R β, studiando le restrizioni di f a ciascuno dei quattro lati di R β. Si noti che anche in questo caso non è possibile usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange in quanto non esiste alcuna funzione g di classe C 1 tramite la quale si possa rappresentare il vincolo. 4

5 Esercizio 5. Al variare di α R determinare i punti di estremo relativo di f(x, y) = sin(y αx) nell insieme A = (x, y) R : x < 0, 0 y 1x } ex. Svolgimento. Si osservi che lim x 0 ( 1x ex ) = +, lim ( 1x ) x ex = 0. Quindi l insieme A non è limitato (e non è neppure chiuso). L esistenza di punti di estremo assoluto per f in A non è più garantita dal teorema di Weierstrass, che non si applica in questo caso. Tuttavia, osserviamo che 1 f(x, y) = sin(y αx) 1 (x, y) A e che sin(y αx) = 1 y αx = π + kπ, k Z Quindi per ogni α R esistono infiniti punti di sin(y αx) = 1 y αx = π + kπ, k Z. minimo assoluto per f in A: i punti di A sulle rette y = αx π + kπ, al variare di k Z, massimo assoluto per f in A: i punti di A sulle rette y = αx + π + kπ, al variare di k Z. Esercizio 6. Determinare i punti di estremo assoluto di f(x, y) = y x + y sul quadrato Q = [ 1, 1] [ 1, 1]. Svolgimento. Passo 1: elimino il modulo. Considero i due triangoli Q + = (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1] : y x}, Q = (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1] : y x}, e osservo che Q = Q + Q, che (x, y) Q + ( x, y) Q (cioè i due insiemi sono simmetrici rispetto a (0, 0)), e, denotando con f Q + e f Q le restrizioni di f a Q + e a Q, si ha che (1) f Q +(x, y) = f Q ( x, y) (x, y) Q +. Allora è sufficiente studiare i punti di estremo assoluto per f Q + e poi, tenendo conto di (1), dedurre risultati su tutto Q. Ora si noti che f Q +(x, y) = y(x + y) = yx + y (x, y) Q +. 5

6 Ricerco i punti stazionari interni a Q + risolvendo il sistema y = 0 6y = 0 da cui trovo che tutti i punti dell asse x sono stazionari per la funzione (x, y) yx + y. Quindi i punti stazionari interni a Q + sono i punti di S = (0, 1) 0}. Osservando che f(x, 0) = 0 per ogni (x, 0) S, per classificare i punti di S è sufficiente studiare il segno di (x, y) yx + y. Da questo si vede che f(x, y) = 0 (x, y) L 1 = (x, y) Q + : y = x}, f(x, y) 0 (x, y) Q + tali che y 0, f(x, y) 0 (x, y) Q + tali che y 0, e che quindi i punti di S sono tutti punti di sella per f. Ricerco i punti di estremo assoluto per f su Q + = L 1 L L, con L = (x, y) Q + : x = 1}, L = (x, y) Q + : y = 1}. Essendo f identicamente nulla su L 1 e strettamente positiva/strettamente negativa altrove, escludo di trovare dei punti di estremo assoluto su L 1. Considerazioni di segno mi portano a ricercare i punti di minimo assoluto su L = L = (x, y) Q + : x = 1, y [ 1, 0]}. Osserviamo che la restrizione di f a L è h(y) = f(1, y) = y(1 + y) = y + y, y [ 1, 1] il cui punto di minimo assoluto è y = 1 L. Il corrispondente valore di minimo assoluto è m = 4 ; il punto di massimo assoluto è y = 1, e il corrispondente valore è M = 6. la restrizione di f a L è j(x) = f(x, 1) = (x + 1) = x +, x [ 1, 1] il cui punto di minimo assoluto è x = 1, in cui la j si annulla (f( 1, 1) = 0), mentre il punto di massimo assoluto è x = 1, e il corrispondente valore è M = 6. Concludiamo che (1, 1) è il punto di massimo assoluto per f su Q + e che (1, 1 ) è il punto di minimo assoluto per f su Q +. Poiché, a causa di (1), f( 1, 1) = f(1, 1) = 6, concludiamo che il punto di minimo assoluto di f su Q è ( 1, 1), mentre (1, 1) è il punto di massimo assoluto di f su Q. Esercizio 7. Si consideri la funzione f(x, y) = x + y + (x, y) R. Calcolare i valori di minimo e di massimo assoluto di f sul quadrato } Q = (x, y) R : x, y 6

7 Svolgimento. Uso le curve di livello: x + y + = k x + y = k k sono cioè le circonferenze di centro (0, 0) e raggio (quindi k ). Considero tutti i valori di k [, + ) tali che la circonferenza x + y = k abbia almeno un punto in Q. Si ha k min in corrispondenza della circonferenza degenere x + y = 0 (che degenera nel punto (0, 0)), quindi k min = min f = Q e trovo che (0, 0) è il punto di minimo assoluto. Trovo k max imponendo che Q sia inscritto nella circonferenza x + y = k max : quindi la condizione è che il punto ( ) appartenga alla circonferenza, da cui da cui, k max k max = 5 ( ) ( = + max Q f = 5 I quattro punti di massimo assoluto sono i punti di intersezione fra il quadrato e la circonferenza ( ) ( ),,,, ( ) ( ),,, (si noti che questo è un risultato prevedibile per simmetria, in quanto f(x, y) = f( x, y) e f(x, y) = f(x, y)). ) Esercizio assegnato. Si consideri la funzione f(x, y) = y e x (x, y) R. Calcolare i valori di minimo e di massimo assoluto di f sul triangolo T = (x, y) R : x y 1 } Suggerimenti. procedere con la ricerca di punti di estremo interni usando il metodo differenziale per lo studio dei punti di estremo vincolati a T, non conviene usare le curve di livello y e x = k?? Conviene osservare che T = S 1 S S con S 1 : y = x, x [0, ] S : y = x, x [, 0] S : y = 1, x [, ] e studiare le restrizioni di f a S 1, S, e S. 7

8 Metodo alternativo: (per la ricerca di estremi su T ) Osservo che è prodotto di due funzioni non negative. Allora f(x, y) = y e x (x, y) R (x 0, y 0 ) è punto di massimo per (x, y) y e x x 0 è un punto di massimo per x e x, y 0 è un punto di massimo per y y, I punti di T hanno: ascisse x, ordinate y 1, Quindi i punti di massimo sono... Il valore di massimo è... Idem per la ricerca dei punti di minimo. N.B.: fondamentale che f sia data dal prodotto di due funzioni non negative!! Altrimenti questo metodo non funziona!! 8