Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 7

2 Capitolo 2 - Numeri complessi C: il campo dei numeri complessi (i) C = {(a, b) : a, b R} piano di Gauss (ii) Forma algebrica (FA): a + bi con i 2 = 1

3 Capitolo 2 - Numeri complessi C: il campo dei numeri complessi (i) C = {(a, b) : a, b R} piano di Gauss (ii) Forma algebrica (FA): a + bi con i 2 = 1 θ a + bi = ρ(cos θ + i sin θ) ρ a b (a, b) = a + bi (iii) Forma trigonometrica (FT) (α 0) α = a + bi = ρ(cos θ + i sin θ)

4 Capitolo 2 - Numeri complessi C: il campo dei numeri complessi (i) C = {(a, b) : a, b R} piano di Gauss (ii) Forma algebrica (FA): a + bi con i 2 = 1 θ a + bi = ρ(cos θ + i sin θ) ρ a b (a, b) = a + bi (iii) Forma trigonometrica (FT) (α 0) α = a + bi = ρ(cos θ + i sin θ) (iv) Forma esponenziale (FE) α = ρe iθ

5 Proprietà del modulo Il modulo ha le seguenti proprietà algebrica: α, β C αβ = α β α β = α (β 0) β α β α + β α + β

6 Il coniugato Il coniugato di α = a + bi è il numero complesso Proposizione (i) αβ = αβ (ii) α + β = α + β (iii) (α n ) = α n (iv) α + α = 2a = 2R(α) R (v) αα = α 2 R (vi) α = α α R α = a bi

7 Radici n-esime di un numero complesso Proposizione Le soluzioni di z n = α, α 0 sono (per k = 0, 1, 2,..., n 1) z k = n ρ e i( θ n + 2kπ n ) [ ( = n θ ρ cos n + 2kπ ) ( θ + i sin n n + 2kπ )] n dove ρ = α e θ è l argomento di α.

8 Su polinomi P(X ) R[X ] Un polinomio P(X ) su un campo K è un espressione della forma a n X n + a n 1 X n a n X + a 0, con a n, a n 1,..., a 1, a 0 K. Se a n 0 si dice che n è il grado di P(X ) e si scrive P(X ) K[X ].

9 Su polinomi P(X ) R[X ] Un polinomio P(X ) su un campo K è un espressione della forma a n X n + a n 1 X n a n X + a 0, con a n, a n 1,..., a 1, a 0 K. Se a n 0 si dice che n è il grado di P(X ) e si scrive P(X ) K[X ]. Quindi K[X ] è l insieme dei polinomi in X a coefficienti in K.

10 Teorema fondamentale dell Algebra Teorema (I) Data l equazione di grado n nell incognito complessa z: a n z n + a n 1 z n a n z + a 0 = 0 dove a n, a n 1,..., a 1, a 0 C, a n 0 e n > 0, essa ha almeno una soluzione nel campo complesso.

11 Teorema fondamentale dell Algebra Formulazioni alternative Teorema (I) Ogni polinomio in C[X ] di grado almeno 1, ha almeno una radice (in C).

12 Teorema fondamentale dell Algebra Formulazioni alternative Teorema (I) Ogni polinomio in C[X ] di grado almeno 1, ha almeno una radice (in C). Teorema (I) Ogni equazione algebrica su C di grado almeno 1, ha almeno una soluzione (in C).

13 Teorema di Ruffini Teorema (II) Sia K un campo e P(X ) K[X ]. Se α K tale che P(α) = 0, allora esiste un polinomio Q(X ) K[X ] tale che P(X ) = (X α)q(x ). Quindi se P(α) = 0 allora (X α) divide P(X ).

14 Scomposizione di un polinomio in C[X ] Corollario (i) Ogni polinomio P(X ) C[X ] di grado n, si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi.

15 Scomposizione di un polinomio in C[X ] Corollario (i) Ogni polinomio P(X ) C[X ] di grado n, si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi. (ii) Ogni equazione algebrica su C di grado n > 0 ammette precisamente n soluzioni, purché ciascuna sia contata con la propria molteplicità.

16 Scomposizione di un polinomio in C[X ] Corollario (i) Ogni polinomio P(X ) C[X ] di grado n, si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi. (ii) Ogni equazione algebrica su C di grado n > 0 ammette precisamente n soluzioni, purché ciascuna sia contata con la propria molteplicità. (ii) Ogni polinomio P(X ) C[X ] di grado n > 0 è riducibile.

17 Il coniugato di una radice di un polinomio in R[X ] Proposizione (III) Se P(X ) R[X ], α C e P(α) = 0, allora P(α) = 0.

18 Scomposizione di un polinomio in R[X ] Teorema (IV) Se P(X ) R[X ] di grado n > 0 no è divisibile per un polinomio R[X ] di primo grado, allora esso è divisibile per un polinomio R[X ] di secondo grado.

19 Scomposizione di un polinomio in R[X ] Corollario Ogni P(X ) R[X ] si può esprimere come prodotto di polinomi di R[X ] ciascuno di grado non superiore a due.

20 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali?

21 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali? Soluzione (i) Se P(z) = 0, allora z 4 = 1 = e iπ. Ci sono 4 soluzioni: z 0 = e iπ/4 ; z 1 = e i3π/4 ; z 2 = e i5π/4 ; z 3 = e i7π/4. Ne segue che (se P(α) = 0 allora (X α) divide P(X )) X = (X e iπ/4 )(X e i3π/4 )(X e i5π/4 )(X e i7π/4 ).

22 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali?

23 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali? Soluzione (ii) Considera (X α)(x α). Abbiamo (X α)(x α) = X 2 (α + α)x + αα R[X ] Quindi, usando e iπ/4 = e i7π/4 e e i3π/4 = e i5π/4, si ha { (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) R[X ] (X e i3π/4 )(X e i5π/4 ) R[X ]

24 Abbiamo (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 (e iπ/4 + e i7π/4 )X + e iπ/4 e i7π/4.

25 Abbiamo (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 (e iπ/4 + e i7π/4 )X + e iπ/4 e i7π/4. Usiamo la formula di Eulero: e iπ/4 + e i7π/4 = e iπ/4 + e iπ/4 = 2 cos π/4 = 2

26 Abbiamo (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 (e iπ/4 + e i7π/4 )X + e iπ/4 e i7π/4. Usiamo la formula di Eulero: e iπ/4 + e i7π/4 = e iπ/4 + e iπ/4 = 2 cos π/4 = 2 e la regola e x e y = e x+y : e iπ/4 e i7π/4 = e iπ/4+i7π/4 = e i8π/4 = e i2π = 1.

27 Abbiamo (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 (e iπ/4 + e i7π/4 )X + e iπ/4 e i7π/4. Usiamo la formula di Eulero: e iπ/4 + e i7π/4 = e iπ/4 + e iπ/4 = 2 cos π/4 = 2 e la regola e x e y = e x+y : e iπ/4 e i7π/4 = e iπ/4+i7π/4 = e i8π/4 = e i2π = 1. Quindi (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 2X + 1

28 Abbiamo (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 (e iπ/4 + e i7π/4 )X + e iπ/4 e i7π/4. Usiamo la formula di Eulero: e iπ/4 + e i7π/4 = e iπ/4 + e iπ/4 = 2 cos π/4 = 2 e la regola e x e y = e x+y : e iπ/4 e i7π/4 = e iπ/4+i7π/4 = e i8π/4 = e i2π = 1. Quindi (X e iπ/4 )(X e i7π/4 ) = X 2 2X + 1 Analogamente si verifica che (X e i3π/4 )(X e i5π/4 ) = X 2 + 2X + 1.

29 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali?

30 Esercizio Come si può scomporre il polinomio P(X ) = X nel prodotto di polinomi irriducibile (i) a coefficienti complessi? (ii) a coefficienti reali? Conclusione (i) X = (X e iπ/4 )(X e i3π/4 )(X e i5π/4 )(X e i7π/4 ). (ii) X = (X 2 2X + 1)(X 2 + 2X + 1).

31 Esercizi 1. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( 1 + 2i)( 1 2i). 2. Esprimere in forma trigonometrica α = 1 + i Esprimere in forma algebrica α = (1 i) Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = i 1 + 2i. 5. Esprimere in forma trigonometrica α = (1 i) 5 ( 1 + i 3). 6. Esprimere in forma algebrica il numero complesso ( [ ( ) ( )]) 2π 2π 3 [ ( π ) ( π )] α = 2 cos + i sin 3 cos + i sin Esprimere in forma algebrica ( ) 1 + i 3 α =. 1 i 8. Risolvere l equazione complessa iz = 0.

32 Esercizi 9. Esprimere in forma esponenziale ρe iθ le x, y soluzioni del seguente sistema ad incognite complesse: { x + y = cos θ ix iy = sin θ dove θ è un parametro reale. 10. Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle due soluzioni della seguente equazione algebrica: (2 i)z 2 + z i = Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = e log2+i 3π Risolvere l equazione complessa ( ) 1 + i 3 z 3 = i

33 Esercizi 13. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 2 (2 + 4i)z + 4i 12 = Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz 2 + 2z Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 2 2z + 6(1 2i) = Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 4 = (3 + 4i) 4.

34 Esercizi 17. Scomporre in fattori irriducibile complessi il polinomio P(X ) = X 4 + X Scomporre in fattori irriducibile reali il polinomio P(X ) = X 4 + X Scomporre in fattori irriducibile reali il polinomio P(X ) = X

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