Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 2

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1 Esercizi di Algebra Lineare - Foglio ES 1. Sia f : A B una funzione, siano A 1, A A due sottoinsiemi. Dimostrare che f(a 1 A ) = f(a 1 ) f(a ) e che f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ). Inoltre se f è iniettiva, provare che f(a 1 A ) = f(a 1 ) f(a ). ES. Siano f : A B e g : B C due funzioni. Se la composizione g f è iniettiva, provare che f è iniettiva e trovare un esempio in cui g f è iniettiva, ma g non lo è. Se la composizione g f è suriettiva, provare che g è suriettiva e trovare un esempio in cui g f è suriettiva, ma f non lo è. ES. Calcolare le radici seste dell unità e rappresentarle geometricamente. Una radice n-esima dell unità è detta primitiva se ha ordine n, cioé n è il minimo intero positivo a cui si deve elevare la radice per ottenere 1. Trovare le radici primitive seste dell unità. Sia ζ una radice sesta primitiva dell unità, calcolare 1 + ζ + ζ + ζ + ζ 4 + ζ 5. ES 4. Sia (C[x], +, ) l insieme dei polinomi a coefficienti numeri complessi dotato della somma e del prodotto usuali tra polinomi. Dire se è un anello e se è un campo. Sia f C[x] e sia α C, provare che f(α) = 0 se e solo se (x α) divide f. Sia f R[x] e sia α C tale che f(α) = 0, provare che anche α è radice di f; dedurre che un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale. ES 5. Siano A e B due matrici n n a coefficienti in R. Provare che, se A e B sono simmetriche, AB è simmetrica se e solo se AB = BA. Provare che se AB = BA allora A B = B A e trovare un esempio di matrici per cui non vale il viceversa. ES 6. Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan il sistema lineare non omogeneo: x + 4y + 6z = x + y + 4z = x y + z = 1 ES 7. Risolvere i seguenti sistemi lineari: x + y z = 1 x + y + z = 0 x + y + z = 1 x + y z = 1 x y + z = x + y z = 4 ES 8. Discutere la risolubilità dei seguenti sistemi lineari al variare del parametro m R: x + y + z = m x my z = 1 x + y + mz = m + 1 my + z = m y + mz = m 1

2 Soluzioni ES.1 - f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ): sia y f(a 1 A ) allora x A 1 A, tale che y = f(x). Se x A 1 allora y = f(x) f(a 1 ), se x A allora y = f(x) f(a ), quindi y f(a 1 ) f(a ). - f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ): sia z f(a 1 ) f(a ), se z f(a 1 ) allora x 1 A 1 A 1 A, tale che z = f(x 1 ), allora z f(a 1 A ); analogamente se z f(a ). - f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ): sia y f(a 1 A ), allora x A 1 A tale che y = f(x); dato che x A 1, y = f(x) f(a 1 ), dato che x A, y = f(x) f(a ), allora y f(a 1 ) f(a ). - Se f è iniettiva, allora f(a 1 A ) f(a 1 ) f(a ): se z f(a 1 ) f(a ), allora z f(a 1 ) e z f(a ) e quindi esistono x 1 A 1 e x A tali che z = f(x 1 ) = f(x ). Essendo f iniettiva, x 1 = x A 1 A quindi z f(a 1 A ). ES. - Supponiamo g f iniettiva. Siano x, y A tali che f(x) = f(y), allora g f(x) = g f(y), e per iniettivita di g f, x = y, da cui l iniettivita di f. L esempio: f : [ 1, 1] R, f(x) = x + 1 e g : R R, g(x) = x. - Supponiamo che g f sia suriettiva. Sia c C, allora esiste un elemento a A, tale che g f(a) = c. Allora b = f(a) B e tale che g(b) = c e g e suriettiva. L esempio: f : N N f(0) = 1, f(n) = n, n 0, g : N 0} N, g(n) = n 1. ES. Ricordiamo la formula di De Moivre per il calcolo delle radici di un numero complesso z = r(cos θ + i sin θ): n z = n r(cos θ + kπ n + i sin θ + kπ ), k = 0, 1,... n 1 n Calcoliamo le radici seste dell unita usando questa formula: ζ 0,6 = 1, ζ 1,6 = (cos π + i sin π ), ζ,6 = (cos π + i sin π ), ζ,6 = 1, ζ 4,6 = (cos 4π + i sin 4π ), ζ 4,6 = (cos 5π + i sin 5π ), le radici primitive sono ζ 1,6 e ζ 5,6. Calcoliamo: 1 + ζ + ζ + ζ + ζ 4 + ζ 5 = 0 ES. 4 - Proviamo che f(α) = 0 (x α) f(x). Proviamo l implicazione : Per esistenza della divisione con resto in (C[x], +, ), f(x) = q(x)(x α) + r(x), con deg r(x) < deg(x α). Quindi r(x) = r C e una costante e la calcolo da: r = r(α) = f(α) q(α)(α α) = 0. Proviamo l implicazione : Si ha f(x) = (x α)q(x), quindi f(α) = 0.

3 - Sia f(x) R[x], allora 0 = f(α) = f(α). ES.5 - Siano A e B simmetriche, quindi A = A t e B = B t. Si ha: AB simmetrica AB = (AB) t = B t A t = BA. - Supponiamo che AB = BA, allora si ha A B = AABB = ABAB = BABA = BBAA = B A, usando la proprietà associativa e l uguaglianza AB = BA. Un controesempio si ottiene con le matrici: ( ) ( ) A = B = 0 0 ES.6 Usando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan trasformiamo la matrice del sistema in una matrice a scalini: Abbiamo ottenuto il seguente sistema a gradini, equivalente al sistema di partenza: x + y z = 1 y + z = 0 z = 1 questo sistema ha una sola soluzione, perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice orlata. La soluzione è x =, y =, z = 1 ES.7 a) Applichiamo il metodo di riduzione di Gauss-Jordan alla matrice del sistema: Il sistema associato a tale matrice è: x + y z = 1 z = 0 = 0 questo sistema ha 1 soluzioni, perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice orlata. Le soluzioni sono x = 1 y, y R, z =. b) Applichiamo il metodo di riduzione di Gauss-Jordan alla matrice del sistema:

4 Il sistema associato a tale matrice è: x + y z = 4 y z = z = questo sistema ha una sola soluzione, perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice orlata. La soluzione è x = 1, y = 1, z =. ES.8 a) Con il metodo di Gauss-Jordan riduciamo la matrice del sistema a una matrice a gradini: m 1 m m 0 m + 1 m m m m 1 1 m m m m m m m m Per ogni m R, m 0 e m 1, otteniamo la matrice e il sistema a gradini: m x + y + z = m m m 1 y + ( m)z = m z = 1 che ammette un unica soluzione (perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa) data da: x = m +, y = m, z = 1 Se m = 0 otteniamo la matrice e il sistema a gradini: x + y + z = 0 y + z = 1 che ammette 1 soluzioni (dato che il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa uguale a ) date da x = 1 + z, y = 1 z, z R Se m = 1 otteniamo la matrice e il sistema a gradini: x + y + z = 1 y + z = 0 che ammette 1 soluzioni (dato che il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice estesa ed è ) date da x = 1, y = z, z R. b) Con il metodo di Gauss-Jordan riduciamo la matrice del sistema a una matrice a gradini: m 1 m m m m m 0 m 1 m Per ogni m R, m 1 e m 1, otteniamo la matrice: m m m 0 1+m m m 0 m m m. e quindi il sistema a gradini: y + mz = m z = m m+1 4

5 che ha una sola soluzione (perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice orlata) x = + m m m+1, y = m m m+1, z = m m+1. Se m = 1 si ha la matrice e il sistema: y + z = 1 che è compatibile (perché il rango della matrice del sistema è uguale al rango della matrice orlata uguale a ) ed ha 1 soluzioni x = z, y = 1 z, z R. Se m = 1 si ha la matrice e il sistema: y z = 10 = che è incompatibile (perché il rango della matrice del sistema è diverso dal rango della matrice orlata che è ). 5