RISOLUZIONE ESERCIZI su INSIEMI NUMERICI. = 5 2 ; π = 9 2 ; ) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0):

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1 RISOLUZIONE ESERCIZI su INSIEMI NUMERICI 1) In ordine crescente: 1/7 < 5/8 < 10 1 < 0,13 < 0,1 3 = /15 < 5/8 = 10/16 < 1/7 < < 0, < 3,1 = 157/50 < π. ) In ordine crescente: 0/9 < 16/17 = 3/3 < 1 < 16/17 < 1,1 = 707/500 < 0,01 10 < < < 1, = 13/9 < 0/9. 3) Punti medi: ) = 11 ; + 11 = 9 ; 1 (3) = α α = 9 = 5 ; π + 8 ( 3 ) = β β = 6 ; c = a + b. e quindi a β. Pertanto non deve essere utilizzata la scrittura 3 oppure se ne deve stabilire il significato. 5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 3 7 = 6, 7 = 3 9, 80 = 3 5, 3 80 = 10, a 5 b 7 c 6 = a b 3 c 3 ab, 3 a 5 b 7 c 6 = ab c 3 a b, a 7 b 15 c = ab 3 c 5 a 3 b 3 c. Se c fosse negativo avremmo: a 5 b 7 c 6 = a b 3 ( c) 3 ab, 3 a 5 b 7 c 6 = ab c 3 a b, a 7 b 15 c = ab 3 ( c) 5 a 3 b 3 c. 6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): = 1 3, 7 3 = 3 3 = 3, 1 3 = = 3, 1 3 = = , (a 5 b 7 c 6 ) 3 = a 3 b 5 c a 3 b c, (a 5 b 7 c 6 ) 3 = a 6 b 9 c 8 3 a b, (a 7 b 15 c ) 5 = a b 6 c 8 5 a c. 1

2 ( a 3 b c ) = a 6 b 8 c = a6 c b 8 ; ( a 5 3 b 3 c ) 3 = a 10 9 b 1 c 3 = c 3 c a 9 a b. 7) ],π] [,3[=],3[; [ 3,+ [ IZ = IN \ {0, 1} = {, 3,,...}; ] 5, 5] ]3,+ [ (scrittura non semplificabile); ] 5, 5] ]3,+ [= ; [ 8,8] \ [,π] = [ 8, [ ]π,8]. 8) Consideriamo la proprietà dei reali: (P) a, b, c IR, se a b e c 0 a c b c. Dimostriamo le seguenti implicazioni: (i) Se 1 a a a. Dimostrazione: Per ipotesi 1 a. Allora, moltiplicando per a 1 > 0 entrambi i membri della diseguaglianza, dalla proprietà (P) si ottiene: a a a = a, c.v.d. (come volevasi dimostrare). (ii) Se 0 a 1 a a. Dimostrazione: Per ipotesi 0 a 1. Allora, moltiplicando per a 0 i membri della diseguaglianza precedente, dalla proprietà (P) si ottiene: 0 a a, c.v.d.. 9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se è vera o falsa (giustificare la risposta utilizzando eventualmente la proprietà dei reali enunciata nell esercizio precedente): a < b a < b, a, b IR: falsa ad esempio sea =, b = 1; a < b a < b, a, b 0: falsa ad esempio se a =, b = 1; Vale invece il seguente risultato: a, b 0, se a < b a < b. Dimostrazione: se 0 a < b, moltiplicando tali diseguaglianze per a e per b, dalla proprietà (P) dell esercizio precedente otteniamo: a ab e ab < b a < b (nell ultima implicazione si è utilizzata la proprietà transitiva dell ordinamento, inoltre, poichè a 0, moltiplicando per a le diseguaglianze strette possono diventare delle uguaglianze se a = 0, mentre moltiplicando per b > 0 le diseguaglianze rimangono strette).

3 Osserviamo che nel caso di numeri negativi vale l implicazione opposta: a < b 0 a > b. 10) (i) x 6 = 0 ha come radice x = 3 naturale; (ii) x + 6 = 0 ha come radice x = 3 intero ma non naturale; (iii) 6x + = 0 ha come radice x = 1/3 razionale ma non intero; (iv) x + = 0 ha come radice x = irrazionale. 11) (i) 3x 10x+3 = 0 ha come radici x = 3 naturale e x = 1/3 razionale ma non naturale né intera; (ii) 3x + 10x + 3 = 0 ha come radici x = 3 intero ma non naturale e x = 1/3 razionale ma non naturale né intera; (iii) 6x + x 1 = 0 ha come radici x = 1/3 e x = 1/ entrambe razionali ma non intere; (iv) x x = 0 ha come radici x = 1 ± 3 entrambe irrazionali. 1) Il passaggio c) è scorretto, perché se è x = 1, risulta x+1 = 0 e quindi non posso dividere per la quantità x + 1 = 0. Devo allora distinguere: se è x = 1 l uguaglianza è verificata come già sapevamo. Se suppongo che sia x 1, risulta x e quindi posso effettuare il passaggio c) e trovare l altra soluzione x = 0. 13) 1 = = 0, 3 + 0, 6 = 0, 9. Se ne deduce che 1 = 0, 9, quindi ci sono due modi per scrivere il numero reale 1. 1) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprietà: (i) Esiste l elemento neutro rispetto alla somma 0 ( a+0 = a, a IR ), (ii) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ( (a + b) c = a c + b c, a, b, c IR ), dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprietà: a 0 = 0, a IR Dimostrazione: utilizzando (i) si ottiene che a, b IR, a (b + 0) = a b e utilizzando (ii) si ottiene anche che a (b + 0) = a b + a 0. Allora, essendo uguali i primi membri delle uguaglianze, lo sono anche i secondi, quindi si ottiene: a b = a b + a 0. Aggiungendo a entrambi i membri a b e usando la proprietà commutativa si ottiene: a b a b = a b + a 0 a b 0 = a 0, c.v.d.. 3

4 RISOLUZIONE ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI 1) p(x) = a(x 1)(x + 1)(x )(x + ) = a(x 1)(x ) = a(x 17x +), ( a IR, a 0). I polinomi che abbiano, oltre alle radici semplici del polinomio precedente, la radice semplice x = 0 sono: x p(x) = a(x 5 17x 3 + x). Un polinomio con radice x = 1 semplice, con radice x = +1 di molteplicità e con radice x = 0 di molteplicità 3 è: (x + 1)(x 1) x 3 = (x 1)(x 1)x 3 = x 6 x 5 x + x 3. ) Se V = (x V,y V ) è il vertice della parabola, allora: l asse di simmetria è x = x V ; se il coefficiente del termine di o grado è positivo, l insieme {y = p(x) : x IR} ha un minimo dato da y V, se è negativo ha un massimo anch esso dato da y V. x x : V = ( 1/,9/), radici x = 1 e x =, massimo 9/. 5x x + 1: V = (1/5,/5), non esistono radici reali, minimo /5. 3x + x 1: V = ( 1/3, /3), radici x = 1 e x = 1/3, minimo /3. 3x x : V = (3/, 7/), non esistono radici reali, massimo 7/. 3) p a (x) = a(x )(5x 1) = a(5x 11x + ), ( a IR, a 0): V = (11/10, a 81/0), radici indipendenti da a per costruzione e il punto medio tra le radici è quindi indipendente da a (ed è l ascissa del vertice e individua l asse di simmetria), a81/0 è minimo se a > 0, massimo se a < 0. ) Polinomio ax + bx + c: il suo grafico passa per il punto (1,3) 3 = a + b + c il suo grafico passa per il punto (, 8) 8 = a + b + c ha come asse di simmetria l asse x = b/(a) =. Devo mettere a sistema le uguaglianze ottenute e ricavare i valori dei parametri a, b, c: b = 8a, a + b + c = 3, (1) a + b + c = 8. Risolvendo il sistema si ottiene a = 1, b = 8, c =. Quindi il polinomio cercato è: x + 8x. 5) A = (x,y) se x e y risolvono il sistema { y = x, () y = x,

5 quindi A = (,). La parabola per A, per B = (,10) e per l origine ha equazione y = ax + bx + c se a, b, c verificano: 16a + b + c =, a b + c = 10, c = 0. Otteniamo quindi la parabola y = x 3x di vertice V = (3/, 9/). Possiamo ora determinare la retta passante per A e V, ottenendo y = 5 x 6. (3) 6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espressioni: x 1 = (x 1)(x + 1)(x + 1), 8x = (x + 1)(x x + 1), x = (x )(x + )(x + ), x 3 5 = (x 3 5)(x + 3 5x ), x = ( 5 x + 5 3)( 5 x x x x ). 7) 99 3 = (100 1) 3 = = ) x 3 x 7x + 6 = (x 1)(x + )(x 3), 9) x 3 + x + = (x + 1)(x x + ), x 3 + 3x 11x 6 = (x )(x + 1)(x + 3), 1x 3 + x 3x 1 = (x 1)(x + 1)(3x + 1), x 3 x + x = x(x x + 1), x 3x = (x + 1)(x )(x + ), x 6 15x 3 8 = ( 3 x + 1)( 3 x 3 x + 1)(x )(x + x + ). x 3 + x 3x + 1 x x 3x 3 x + x 1 x + x 1 5x 3 3x 1 x x = x + 5x , (x ). x = 1 x 7 x x + 3 8(x, (x 1, x 1/). + x 1) = 5x x + 8 x x, (x 1 ± 3) 5

6 x + 1 x x + 1 = x + x + 1, x 3 1 3x + x = x x 9 9(3x, (x 1/3, x 0). + x) 10) Scomponendo il polinomio denominatore ottengo: x +x = (x+)(x 1). Poiché x = e x = 1 sono anche radici del polinomio a numeratore, fattorizzando anche il numeratore posso semplificare i fattori comuni, quindi ottengo un polinomio, cioè il resto della divisione è nullo. Invece il polinomio x 3 3x x + 3 non ha la radice x =, quindi non è divisibile per x + x = (x + )(x 1). x 3 x x non è divisibile per x = (x )(x + ), poiché x = non è radice del primo polinomio; x 3 + 3x x 1 è divisibile per x + x 6, poichè le radici x = 3 e x = del secondo polinomio sono anche radici del primo. 11) x 3 + x + x + 1 = (x + 1)(x + x + 1); x 5x 3 + 5x = (x + 1)(x 1)(x 1)(x ); x 3 x + x 1 = (x 1)(x x + 1); 1x 5 13x 5x 3 +5x +13x 1 = (x+1) (x 1)(x 3)(3x ). 1) 6x 13x x 6 = (x + 1)(x 1)(x 3)(3x ), x + 17x 3 17x = (x + 1)(x 1)(x + 1)(x + ). 6

7 Esercizi sulle funzioni Soluzioni 1) a) x 1; b) f([, 3]) = [ 3, ]. ) a) R; b) f([, 1]) = [0, ]. 3) a) [ 3, ] [ 1, ] [3, ]; b) [ 1, ]. ) a) x 0; b) [0, + ). 5) a) f(x) = f(y) se e solo se x+3 = y+3, se e solo se x+ 3 = y+ 3, se e solo se x = y, se e solo se x = y, se e solo se x = y; b) f([0, 1]) = [3, ]; c) y = x + 3 se e solo se y 3 = x, se e solo se y 3 = x, e quindi f 1 (y) = y 3. 6) a) f(0) = ( 1) = 1 = (1) = f(); b) [1, ] (ad esempio); c) f([1, ]) = [0, 1]; f 1 (y) = 1 + y. 7) a) x+1 x 1 = 1 + x 1, da cui...; b) f([, ]) = [ 5 3, ]; c) f 1 (y) = y+1 y 1. 8) Il grafico dell inversa è uguale al grafico della funzione data. 9) a) Ogni retta y = a, con 0 < a < 1, taglia il grafico in due punti; b) ogni retta y = a, con a > 0, taglia il grafico in un solo punto per x < 0, e in al più un punto per x > 0 c) 10) 1

8 11) a) blu; b) rosso. 1) a) (x 1) 3 (y 1) 3 se e solo se 3 (x 1) 3 3 (y 1) 3, se e solo se x 1 y 1, se e solo se x y. 13) f(0) = 1 > 0 = f(1) e f(1) = 0 < 1 = f(); b) [1, + ) (ad esempio). 1) a) se x > y > 1 si ha x + 1 y + 1 se e solo se x +1, se e x y y solo se x y (x y) x y se e solo se x y 1 (che è vero perché sia x che y sono maggiori di 1); b) no: f( 1) = > f( 1/) = 5/ e f( 1) = < f(1) =. 15) a) f( x) = ( x) 3( x) = x 3x = f(x); b) f( x) =... 16) f( x) = x + 1 = x 1 = (x + 1) = f(x). x x x 17) α = 1, β = 1/. 18) Se x = n.abcdefgh..., con n intero, allora f(x) = 0.abcdefgh...; essendo x + 1 = (n + 1).abcdefgh..., si ha f(x + 1) = 0.abcdefgh... = f(x). 19) x = 3. 0) x = 0 e x =. 1) Nessuna soluzione. ) a) log ( x ) = x log () = x log ( ) = x; b) x (1 + log 3 ()); c) x/. x y +1 3) log (x) = ( ) log (x) = log (x) = log (x = x ; b) x log 3 (x) ; c) x.

9 Precorsi di Matematica A.A Esercizi di trigonometria: Risposte Esercizio 1. Perché rapporto di grandezze omogenee. Esercizio. Positivo Esercizio 3. Positivo Esercizio. 1.8 m Esercizio 5. (1.8) m Esercizio 6. ± 15 Esercizio 7. ± 15 Esercizio 8. tan(π/6) m Esercizio tan(π/3) m Esercizio cos(π/5) m Esercizio 11. arcsin(3/0) Non dipende dalla massa. Esercizio cos(π/5) m Esercizio (1.5) 1.5 cos(3π/) Km Esercizio 1. ± /5 Esercizio 15. ± 1/5 Esercizio Esercizio 17. π 6 + kπ, 5π 6 + kπ Esercizio 18. π + kπ

10 Esercizio 19. Nessuna soluzione Esercizio 0. kπ, π + kπ Esercizio 1. 3π + kπ Esercizio. π + kπ Esercizio. 1 sin(π/6) cm

11 Disequazioni: soluzioni λ 7 3. Studio della funzione y = f(x) ax +bx+c. Relazioni fra coefficienti e radici < x < 1, x >. x < x > 3 6. x <, x < x < 0, x > 1 8. x 5, < x 1, x > 3 9. x <, 0 x 1, x < x, 1 < x < 3, 5 < x 7 1

12 11. x 5, 3 x <, x > < x 1, < x < 3, x x < 5/, 1 < x < 1, x > 1. x < 1/, 1/ < x < 1/, x > 1/ 15. 1/ < x < 1/ 16. a) > 0 af(λ) < 0 b) > 0 af(λ) > 0 λ > x 1 + x b a 17. k > 5/ 18. k < 1/9, 1 < k < 37/ /3 < k 7/ Per k = 7/ f(1) = k < 1. x 1 17, x

13 . 3 < x < x > < x < 0, 5 1 < x < a b a b x x < 1/, 1/ < x 5/ 7. x <, x > 10/3 8. x 8/7 9. x < Non ci sono soluzioni x < 1/6 3. 1/3 < x < 3/ < x < 1/3 3

14 3. 1/16 < x < 1, x > x < 6, x > < x <, 1 < x < < x < π/3 + kπ < x < π π/3 + kπ 39. ( π π/3) + kπ < x < π/3 + kπ 0. π/ + kπ < x < π/6 + kπ 1. 3 π + kπ < x < 3 π + kπ. π/6 + kπ < x < π/3 + kπ