Matematica ed Elementi di Statistica. Regole di calcolo

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1 a.a. 2011/12 Laurea triennale in Scienze della Natura Matematica ed Elementi di Statistica Regole di calcolo Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata. 1 / 21

2 Obiettivi: esaminare alcune conseguenze delle proprietà relative alle operazioni e all ordinamento nell insieme R dei numeri reali; mostrare come, a partire unicamente da tali proprietà, sia possibile dedurre in modo rigoroso le regole di calcolo che tutti abbiamo imparato a memoria sin dalla scuola elementare (o media) senza chiederci perché fossero vere. Ricordiamo le proprietà... 2 / 21

3 Proprietà (assiomatiche) di addizione e moltiplicazione Proprietà commutativa: a + b = b + a, Proprietà associativa: a b = b a (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) Proprietà distributiva: a (b + c) = a b + a c raccoglimento a fattor comune Esistenza degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti, denotati con 0 e 1, tali che a + 0 = a, a 1 = a Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a esiste un unico numero reale, che si denota con a e si chiama opposto di a, tale che a + ( a) = 0; per ogni numero reale a 0 esiste un unico numero reale, che si denota con a 1 (o con 1 a ) e si chiama reciproco di a, tale che a a 1 = 1 3 / 21

4 Proprietà (assiomatiche) della relazione d ordine Compatibilità rispetto all addizione: per ogni a, b, c : a b = a + c b + c Compatibilità rispetto alla moltiplicazione: per ogni a, b, c : a b, c 0 = a c b c 4 / 21

5 Conseguenze delle proprietà relative alle operazioni Comportamento di 0, elemento neutro per l addizione, rispetto alla moltiplicazione 1 Per ogni a R : a 0 = 0. Vista a lezione Osservazione Da (1) segue che non esiste alcun numero reale che moltiplicato per 0 dia come risultato 1. Ne consegue che 0 non ammette reciproco. 2 Per ogni a, b R : a b = 0 = a = 0 oppure b = 0. Vista a lezione Osservazione Le proprietà (1) e (2) si sintetizzano nella legge di annullamento del prodotto: Per ogni a, b R : a b = 0 a = 0 oppure b = 0. Tale legge vale anche per il prodotto di tre o più fattori. 5 / 21

6 Proprietà degli opposti (regole dei segni) 3 Per ogni a R : ( a) = a. 4 Per ogni a, b R : ( a) b = (a b). 5 Per ogni a, b R : a ( b) = (a b). 6 Per ogni a, b R : ( a) ( b) = a b. 6 / 21

7 Proprietà dei reciproci 7 Per ogni a R, con a 0 : 1 1 a = a. 8 Per ogni a, b R, con a 0 e b 0 : 9 Per ogni a R, con a 0 : 1 a = 1 a. 1 a b = 1 a 1 b. Osservazione In base a (8), il reciproco del prodotto di due numeri diversi da 0 è uguale al prodotto dei reciproci. Si badi che, al contrario, il reciproco della somma non è uguale alla somma dei reciproci! 7 / 21

8 Regole di semplificazione nelle uguaglianze 10 Per ogni a, b, c R : a ± c = b ± c = a = b. Vista a lezione 11 Per ogni a, b, c R, c 0 : a c = b c = a = b. Vista a lezione 12 Per ogni a, b, c R, c 0 : a c = b = a = b. c 8 / 21

9 Manipolazione di una uguaglianza 13 Per ogni a, b, c R : a + b = c a = c b. 14 Per ogni a, b, c R, b 0 : a b = c a = c b. Osservazione (13) e (14) permettono di risolvere l equazione di primo grado ax + b = 0, con a 0 : ax + b = 0 ax = b x = b a Esempi... 9 / 21

10 Dal test di ingresso... Il triplo di x supera di 3 il doppio della somma di x e 1. Quanto vale x? 5 [62/95] 4 [8/95] 1 [11/95] 1 [13/95] (nessuna risposta) [1/95] 10 / 21

11 Dal test di ingresso... Nel triangolo ABC il lato BC è lungo il doppio del lato AB ; la lunghezza del lato AC supera di 2 cm la lunghezza del lato BC ; il perimetro è uguale a 18 cm. Determinare la lunghezza del lato AB. 16/5 cm [51/95] 16/3 cm [13/95] 20/3 cm [2/95] Nessuna delle risposte precedenti è corretta [16/95] (nessuna risposta) [13/95] 11 / 21

12 Conseguenze delle proprietà relative alla relazione d ordine Manipolazione di disuguaglianze 15 Per ogni a, b, c R : a + b c a c b. 16 Per ogni a, b, c R : a b + c a c b. Osservazione Le proprietà (15) e (16) forniscono il noto principio in base al quale è possibile trasportare un addendo da un membro all altro di una disuguaglianza cambiandolo di segno. 12 / 21

13 Passaggio all opposto 17 Per ogni a, b R : a b b a. 18 Per ogni a R : 0 a a Per ogni a R : a 0 0 a. Osservazioni Attenzione a non pensare che la presenza del segno implichi sempre che il numero considerato sia negativo. Come è noto, a denota l opposto di a; in base a (18) e (19), l opposto di un numero positivo è negativo, mentre l opposto di un numero negativo è positivo. Le proprietà da (15) a (19) valgono anche se si sostituisce ovunque con <. 13 / 21

14 Somma termine a termine di disuguaglianze 20 Per ogni a, b, c, d R : a b e c d = a + c b + d. 21 Per ogni a, b R : 0 a e 0 b = 0 a + b. 22 Per ogni a, b R : 0 < a e 0 b = 0 < a + b. 23 Per ogni a, b R : 0 a, 0 b e a + b = 0 = a = b = 0. Osservazione La proprietà (20) vale anche per tre o più addendi. Inoltre, se almeno una delle disuguaglianze a sinistra del segno di implicazione è stretta, anche la disuguaglianza a destra lo è. 14 / 21

15 Moltiplicazione di una disuguaglianza per un numero 24 Per ogni a, b, c R : a < b e c > 0 = a c < b c. 25 Per ogni a, b, c R : a b e c 0 = a c b c. 26 Per ogni a, b, c R : a < b e c < 0 = a c > b c Osservazione Dalla proprietà di compatibilità della relazione d ordine e le sue conseguenze (24)-(26) otteniamo la nota regola: Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso se il numero è positivo, di verso opposto se il numero è negativo. 15 / 21

16 Regola dei segni 27 Per ogni a, b R : a 0 e b 0 = a b Per ogni a, b R : a 0 e b 0 = a b Per ogni a, b R : a 0 e b 0 = a b 0. Osservazioni Le proprietà precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque con < e con >. Esse possono essere sintetizzate nella Regola dei segni : Il prodotto di due numeri è positivo se i numeri hanno lo stesso segno, negativo se i numeri hanno segno opposto. 16 / 21

17 Quadrato di un numero reale 30 Per ogni a R : (confrontare con le proprietà del valore assoluto) a 2 0; a 2 = 0 a = 0; a 2 > 0 a Per ogni a, b R : a 2 + b 2 = 0 a = b = 0. Osservazioni Da (30), da 1 0 e dal fatto che 1 = 1 1 = 1 2 segue 1 > 0. La proprietà (31) vale anche per la somma di tre o più addendi. 17 / 21

18 Reciproci e relazione d ordine 32 Per ogni a R : a > 0 = 1 a > 0; a < 0 = 1 a < Per ogni a, b, c R : a b e c > 0 = a c b c. 34 Per ogni a, b, c R : a b e c < 0 = a c b c. Osservazione (33) e (34) forniscono la nota regola: Dividendo ambo i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso se il numero è positivo, di verso opposto se il numero è negativo. 18 / 21

19 Passaggio al reciproco 35 Per ogni a, b R : 0 < a b = 0 < 1 b 1 a. 36 Per ogni a, b R : a b < 0 = 1 b 1 a < Per ogni a, b R : a < 0 < b = 1 a < 0 < 1 b. Osservazioni Le proprietà (35) e (36) continuano a valere se si sostituisce con <. 19 / 21

20 Regole di semplificazione nelle disuguaglianze 38 Per ogni a, b, c R : a ± c b ± c = a b. 39 Per ogni a, b, c R : a c b c e c > 0 = a b. 40 Per ogni a, b, c R : a c b c e c < 0 = a b. 41 Per ogni a, b, c R : 42 Per ogni a, b, c R : a c b c a c b c e c > 0 = a b. e c < 0 = a b. Osservazione Queste regole, assieme alle regole del trasporto per disuguaglianze, permettono di risolvere le disequazioni di primo grado Esempi... ax + b > 0, ax + b < 0 (a 0) 20 / 21

21 Dal test di ingresso... La disequazione 3x x > 1 è verificata se e solo se 0 < x < 1 [14/95] se e solo se 0 < x < 1/2 [5/95] se e solo se 2/5 < x < 3/2 [56/95] se e solo se x > 2/5 [8/95] (nessuna risposta) [12/95] 21 / 21