NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

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1 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 1 1. Definire la nozione di famiglia (finita, non vuota) di vettori linearmente dipendente. 2. Dimostrare che l insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile è la varietà lineare X 0 + W, dove X 0 è una soluzione particolare e W è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. 3. Si consideri l affermazione: Se H è una matrice reale ortogonale e simmetrica d ordine due, allora det H = 1. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 2 1. Definire la nozione di sottospazio generato da una famiglia (finita, non vuota) di vettori. 2. Definire la nozione di somma e di somma diretta di due sottospazi di uno spazio vettoriale. Dimostrare che se W 1 e W 2 sono sottospazi di uno spazio vettoriale V K, allora la somma W 1 +W 2 è diretta se, e solo se, W 1 W 2 = {0}. 3. Si consideri l affermazione: Se H è una matrice reale ortogonale, allora det H = 1. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

3 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 3 1. Definire la nozione di base di uno spazio vettoriale. 2. Definire la nozione di endomorfismo diagonalizzabile in uno spazio vettoriale V K di dimensione finita n. Dimostrare che un endomorfismo L di V K è diagonalizzabile se, e solo se, esiste una base B di V K i cui elementi sono tutti autovettori di L. 3. Si consideri l affermazione: Se H è una matrice reale ortogonale, allora H è diagonalizzabile su R. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

4 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica TEMA 4 1. Definire le coordinate di un vettore rispetto ad una base finita di uno spazio vettoriale. 2. Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale V K di dimensione finita n, B una base di V K e λ K. Dimostrare che λ è un autovalore se, e solo se, vale det(a L B B λi n ) = Si consideri l affermazione: Se H è una matrice reale ortogonale e λ è un autovalore reale di H, allora λ = 1. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

5 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 1 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Risolvere la seguente equazione nell incognita complessa z, esprimendone le soluzioni in forma algebrica: z 6 6z 4 + 9z = Discutere il seguente sistema lineare, dipendente dal parametro reale m: mx + 2y + z = 3 x + 2my + z = 2 x + 2y + mz = 1. Relativamente ai valori del parametro per cui l insieme delle soluzioni è infinito, esprimerlo come varietà lineare. 3. È data la matrice A = (a) Trovare, nella forma preferita, gli autovalori complessi di A. (b) Stabilire se A è diagonalizzabile su R. (c) Stabilire se A è diagonalizzabile su C. 4. Sono dati i punti P (1, 1, 0), Q(1, 0, 1) e la retta r di equazioni cartesiane { x + 2y + 3z = 0 x + y z 2 = 0. Trovare delle equazioni cartesiane (a) del piano π 1 contenente r e P, (b) del piano π 2 contenente r e parallelo alla retta P Q.

6 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 2 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Risolvere la seguente equazione nell incognita complessa z, esprimendone le soluzioni in forma algebrica: z z z = Discutere il seguente sistema lineare, dipendente dal parametro reale m: mx + 2y + z = 1 x + 2my + z = 2m + 2 x + 2y + mz = 3. Relativamente ai valori del parametro per cui l insieme delle soluzioni è infinito, esprimerlo come varietà lineare. 3. È data la matrice A = (a) Trovare, nella forma preferita, gli autovalori complessi di A. (b) Stabilire se A è diagonalizzabile su R. (c) Stabilire se A è diagonalizzabile su C. 4. Sono dati i punti P (0, 2, 1), Q(1, 1, 1) e la retta r di equazioni cartesiane { x y z + 3 = 0 3x + 2y + z 2 = 0. Trovare delle equazioni cartesiane (a) del piano π 1 contenente r e P, (b) del piano π 2 contenente r e parallelo alla retta P Q.

7 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 3 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Risolvere la seguente equazione nell incognita complessa z, esprimendone le soluzioni in forma algebrica: z 6 4z z = Discutere il seguente sistema lineare, dipendente dal parametro reale m: 2x + my + z = 3 2mx + y + z = 2 2x + y + mz = 1. Relativamente ai valori del parametro per cui l insieme delle soluzioni è infinito, esprimerlo come varietà lineare. 3. È data la matrice A = (a) Trovare, nella forma preferita, gli autovalori complessi di A. (b) Stabilire se A è diagonalizzabile su R. (c) Stabilire se A è diagonalizzabile su C. 4. Sono dati i punti P (1, 1, 0), Q(0, 1, 1) e la retta r di equazioni cartesiane { 2x + y + 3z = 0 x + y z 2 = 0. Trovare delle equazioni cartesiane (a) del piano π 1 contenente r e P, (b) del piano π 2 contenente r e parallelo alla retta P Q.

8 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, dell Innovazione del Prodotto, Meccatronica Proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 4 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Risolvere la seguente equazione nell incognita complessa z, esprimendone le soluzioni in forma algebrica: z 6 3z 4 + 7z = Discutere il seguente sistema lineare, dipendente dal parametro reale m: 2x + my + z = 1 2mx + y + z = 2m + 2 2x + y + mz = 3. Relativamente ai valori del parametro per cui l insieme delle soluzioni è infinito, esprimerlo come varietà lineare. 3. È data la matrice A = (a) Trovare, nella forma preferita, gli autovalori complessi di A. (b) Stabilire se A è diagonalizzabile su R. (c) Stabilire se A è diagonalizzabile su C. 4. Sono dati i punti P (2, 0, 1), Q(1, 1, 1) e la retta r di equazioni cartesiane { x y + z 3 = 0 2x + 3y + z 2 = 0. Trovare delle equazioni cartesiane (a) del piano π 1 contenente r e P, (b) del piano π 2 contenente r e parallelo alla retta P Q.

9 Svolgimento del tema n.4 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. 1. (a) Sostituiamo w = z 2 e cerchiamo una radice intera del polinomio P (w) = w 3 3w 2 + 7w + 75 tra i divisori di 75: ±1, ±3,... Vale P ( 3) = 0. Calcoliamo il quoziente della divisione di P (w) per w + 3: // Quindi l equazione assegnata equivale a (z 2 +3)(z 4 6z 2 +25) = 0. L equazione z 2 +3 ha per soluzioni ±i 3. Dall equazione biquadratica z 4 6z = 0 si ottiene z 2 = 3±4i. Risolviamo z 2 = 3+4i sostituendo z = x+iy (x, y R): { x 2 y 2 = 3 2xy = 4 { x 2 4 x 2 = 3 y = 2 x { x 4 3x 2 4 = 0 y = 2 x. Dalla prima equazione si ottiene x 2 = 4 per cui x = ±2, y = ±1 e le soluzioni dell equazione z 2 = 3+4i sono ±(2+i). Le soluzioni di z 2 = 3 4i sono le coniugate delle precedenti. Concludendo, le soluzioni dell equazione assegnata sono z 1 = i 3, z 2 = i 3, z 3 = 2 + i, z 4 = 2 i, z 5 = 2 i, z 6 = 2 + i. 2. Trasformiamo la matrice completa del sistema lineare: 2 m m 1 1 2m 1 1 2m + 2 H 21( m) 0 1 m 2 1 m 3m + 2. H 2 1 m 3 31 ( 1) 0 1 m m 1 4 Se m = 1 si ottiene un pivot in ultima colonna e il sistema non è compatibile. Se m = 1 si ottiene, con l ulteriore operazione H 23, che è una matrice a scala di rango tre senza pivot in ultima colonna e quindi il sistema ha soluzione unica.

10 Per m ±1 proseguiamo nella trasformazione con un ulteriore operazione elementare: 2 m 1 1 H 32 ( 1 1+m ) 0 1 m 2 1 m 3m + 2. m m 2 m+2 1+m 1+m Risolvendo l equazione m 2 + m 2 = 0 si ottiene m = 1 e m = 2. La prima soluzione è da escludere e restano da discutere due sottocasi. Se m = 2, allora la matrice ottenuta è uguale a Essa è di rango due e non ha pivot in ultima colonna. Corrispondentemente, il sistema è compatibile con 1 soluzioni che si ricavano come segue: { x = 1 2 (2y z 1) y = 1 3 ( 3z 4) { x = z y = z La varietà lineare corrispondente è ( 5 6, 4 ) 3, 0 + ( ) 1 2, 1, 1. Infine per m ±1, 2 il sistema ha soluzione unica. 3. (a) Calcoliamo p A (t) = det(a ti 4 ) sviluppando il determinante secondo la prima riga, ottenendo t 1 0 t 0 t t t t = t4 1. Gli autovalori sono dunque le soluzioni dell equazione t 4 = 1 e quindi λ 1 = 1, λ 2 = i, λ 3 = 1, λ 4 = i. (b) Il polinomio caratteristico ha due radici non reali, quindi non è completamente riducibile su R e pertanto A non è diagonalizzabile su R. (c) La matrice A ha quattro autovalori complessi distinti e quindi è diagonalizzabile su C.

11 4. Il piano generico contenente r ha equazione (λ + 2µ)x + ( λ + 3µ)y + (λ + µ)z 3λ 2µ = 0, ((λ, µ) (0, 0)). (1) (a) Imponendo il passaggio per P si ottiene µ = 0 e quindi π 1 : x y+z 3 = 0. (b) La retta P Q ha come parametri direttori le coordinate di P Q( 1, 1, 0). Imponendo il parallelismo con il piano (1) si ottiene 2λ + µ = 0. È sufficiente prendere la soluzione λ = 1, µ = 2 e sostituirla in (1), ottenendo π 2 : 5x + 5y + 3z 7 = 0.

12 Svolgimenti degli esercizi n.3 della parte teorica Tema 1. L affermazione è falsa. La matrice I 2 è ortogonale, simmetrica ed ha determinante uguale a 1. Tema 2. L affermazione è falsa. La matrice H = ( ) è una matrice ortogonale d ordine due e il suo determinante vale 1. Tema 3. L affermazione è falsa. La matrice ( ) 0 1 H = 1 0 è una matrice ortogonale d ordine due. Il suo polinomio caratteristico è p H (t) = t e non è completamente riducibile su R; quindi H non è diagonalizzabile su R. Tema 4. L affermazione è falsa. La matrice H = ( ) è una matrice ortogonale d ordine due. I suoi autovalori sono ±1.