TEMA 1. Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

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1 TEMA 1 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouché-Capelli (condizione di compatibilità di un sistema lineare). x + y + mz = m x + my z = A = Sono dati i punti P (1, 0, 1), Q(1, 1, 0) e la retta r di equazioni parametriche x = 2 + t y = 3t z = 1 + 2t.

2 TEMA 2 1. Dimostrare che l insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile è la varietà lineare X 0 + W, dove X 0 è una soluzione particolare e W è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. x + y + mz = m mx + y z = A = Sono dati i punti P (0, 1, 1), Q(1, 1, 0) e la retta r di equazioni parametriche x = 3t + 3 y = 3 + t z = 1 + 2t.

3 TEMA 3 1. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo. x + y mz = m x my z = A = Sono dati i punti P ( 1, 0, 1), Q( 1, 1, 0) e la retta r di equazioni parametriche x = 2 + t y = 3t z = 1 2t.

4 TEMA 4 1. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza triangolare in uno spazio vettoriale euclideo. x + y mz = m mx y + z = A = Sono dati i punti P (0, 1, 1), Q( 1, 1, 0) e la retta r di equazioni parametriche x = 3t 3 y = 3 t z = 1 2t.

5 Svolgimento del tema n.3 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. 1. Per questo esercizio si rimanda al testo o agli appunti. 2. Trasformiamo la matrice completa del sistema in matrice a scala: 1 1 m m 1 1 m m 1 m 1 1 H 21( 1) 0 m 1 m 1 m + 1. (1) H ( 1) 0 0 m 1 m + 1 Se m = 1, allora tale matrice è , di rango 2, il sistema lineare è compatibile con 1 soluzioni, in forma semplificata { x + y + z = 1 z = 0 { x = 1 y z = 0. L insieme delle soluzioni è {(1 y, y, 0) y R} = (1, 0, 0) + ( 1, 1, 0). Se m = 1 si ottiene la matrice cha ha un pivot in ultima colonna e quindi il sistema lineare è incompatibile. Se m ±1, allora, siccome la matrice ottenuta in (1) è a scala, il sistema è compatibile con soluzione unica. Essa si ottiene come segue: z = m + 1 m 1, y = m 1 m + 1 z 1 = 0, x = mz m = 2m m 1.

6 3. Vale p A (t) = t 3 6t 2 9t = t(t + 3) 2. Gli autospazi sono E A (0) = (1, 1, 1) e E A ( 3) = ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Applicando il procedimento di Gram-Schmidt alla base di E A ( 3) si ottengono i vettori w 1 = ( 1, 1, 0) e w 2 = ( 1, 0, 1) ( 1 0 1)( 1 1 0)T ( 1 1 0)( 1 1 0) T ( 1, 1, 0) = 1 ( 1, 1, 2). 2 Una base ortogonale di autovettori è (1, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 1, 2), che hanno moduli, rispettivamente, 3, 2, 6. Normalizzando tali autovettori e disponendoli in colonne si ottiene la matrice 2 H = La retta r ha equazioni cartesiane x = y 3 = z { 3x + y + 6 = 0 2y 3z 3 = 0. L equazione del piano generico per r è 3λx + (λ + 2µ)y 3µz + 6λ 3µ = 0, (λ, µ) (0, 0). (2) (a) Imponendo il passaggio per P si ottiene λ 2µ = 0 e siccome λ e µ sono definiti a meno di un fattore non nullo possiamo prendere λ = 2, µ = 1. Sostituendo in (2) otteniamo π 1 : 6x + 4y 3z + 9 = 0. (b) Sono parametri direttori della retta P Q le coordinate del vettore P Q(0, 1, 1). Applicando la condizione al +bm+cn = 0 al piano (2) si ottiene λ+5µ = 0, da cui per es. λ = 5, µ = 1, e risostituendo in (2): π 2 : 5x + y + z + 11 = 0.