Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Vicenza, 31 agosto 2015 TEMA 1

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1 TEMA. (i) Dato il polinomio P (z) = z 4 4z 3 + 7z 8z + 0 C[z], calcolare P (i) P (i ). A L = 3 3, rispetto alla base = (, 0, 0), (,, 0), (,, ). Determinare l antiimmagine del vettore (,, a) mediante l endomorfismo L, al variare del parametro 3. Dimostrare o confutare la seguente affermazione: Sia L : V W una funzione lineare iniettiva, F = v, v,..., v r una famiglia di vettori in V e L(F) = L(v ), L(v ),..., L(v r ). Se L(F) è una famiglia di generatori di im L, allora F è una famiglia di generatori di V. 4. Trovare una base ortogonale di R rispetto al prodotto scalare b così definito: (x, x ) (y, y ) b = 5x y x y x y + x y (x, x ), (y, y ) R.

2 TEMA. (i) Dato il polinomio P (z) = z 4 + 4z 3 + 7z + 8z + 0 C[z], calcolare P (i) P (i ). A L = 3 3, rispetto alla base = (, 0, 0), (, 0, ), (,, ). Determinare l antiimmagine del vettore (, a, ) mediante l endomorfismo L, al variare del parametro 3. Dimostrare o confutare la seguente affermazione: Sia L : V W una funzione lineare suriettiva, F = v, v,..., v r una famiglia di vettori in V e L(F) = L(v ), L(v ),..., L(v r ). Se L(F) è una famiglia di generatori di im L, allora F è una famiglia di generatori di V. 4. Trovare una base ortogonale di R rispetto al prodotto scalare b così definito: (x, x ) (y, y ) b = 3x y x y x y + x y (x, x ), (y, y ) R.

3 TEMA 3. (i) Dato il polinomio P (z) = z 4 z 3 + 7z 4z + 0 C[z], calcolare P (i) P (i ). A L = 3 3, rispetto alla base = (, 0, 0), (,, 0), (,, ). Determinare l antiimmagine del vettore (a,, ) mediante l endomorfismo L, al variare del parametro 3. Dimostrare o confutare la seguente affermazione: Sia L : V W una funzione lineare suriettiva, F = v, v,..., v r una famiglia di vettori in V e L(F) = L(v ), L(v ),..., L(v r ). Se L(F) è una famiglia di generatori di W, allora F è una famiglia di generatori di V. 4. Trovare una base ortogonale di R rispetto al prodotto scalare b così definito: (x, x ) (y, y ) b = 4x y x y x y + x y (x, x ), (y, y ) R.

4 TEMA 4. (i) Dato il polinomio P (z) = z 4 + z 3 + 7z + 4z + 0 C[z], calcolare P (i) P (i ). A L = 3 3, rispetto alla base = (, 0, 0), (, 0, ), (,, ). Determinare l antiimmagine del vettore (a,, ) mediante l endomorfismo L, al variare del parametro 3. Dimostrare o confutare la seguente affermazione: Sia L : V W una funzione lineare iniettiva, F = v, v,..., v r una famiglia di vettori in V e L(F) = L(v ), L(v ),..., L(v r ). Se L(F) è una famiglia di generatori di W, allora F è una famiglia di generatori di V. 4. Trovare una base ortogonale di R rispetto al prodotto scalare b così definito: (x, x ) (y, y ) b = x y x y x y + x y (x, x ), (y, y ) R.

5 Svolgimento del tema e di un esercizio del tema, con metodi differenti. Vale: P (i) = 6 + 3i 8 6i + 0 = + 6i; P (i ) = i 4 8 i + 0 = 0; quindi P (i) P (i ) = 48i. Siccome z = i è una radice del polinomio e il polinomio è a coefficienti reali, un altra radice è il complesso coniugato di z, z = i. Dividendo P (z) per z i e poi il quoziente per z + i si ottiene: i i i4 8 + i i 5 i i5 // i 4 + i 5 i i i5 i4 i5 4 5 // Quindi P (z) = (z i )(z + i )(z 4z + 5). Troviamo le radici dell ultimo polinomio di secondo grado, ± = ± i. Concludendo, l equazione P (z) = 0 ha le seguenti soluzioni: z = i, z = i, z 3 = + i, z 4 = i., primo svolgimento: trovando la legge. Le colonne di A L contengono le coordinate, rispetto alla base, delle immagini dei vettori della base stessa. Quindi inoltre L(, 0, 0) = (,, 0) (,, 0) + (,, ) = (0,, ); L(,, 0) = (, 0, 0) + 3(,, 0) = (, 3, 0); L(,, ) = (, 0, 0) 3(,, 0) + 3(,, ) = (, 0, 3); L(0,, 0) = L(,, 0) L(, 0, 0) = (, 4, ); L(0, 0, ) = L(,, ) L(,, 0) = (0, 3, 3). Se ne deduce L(x, y, z) = xl(, 0, 0) + yl(0,, 0) + zl(0, 0, ) = (y, x + 4y 3z, x y + 3z). Occorre pertanto risolvere il sistema lineare y = x + 4y 3z = x y + 3z = a. Risolviamo il sistema lineare trasformandone la relativa matrice completa C: C 3 a H () a H 3( /3) a ( a)/3 Il sistema lineare è compatibile se, e solo se, a = /. In tal caso le soluzioni sono { x = 4y 3z = 3z y = /.

6 Concludendo, per a / vale L (,, a) =, per a = / vale L (,, a) = {( 3z, /, z) z R} = (, /, 0) + ( 3, 0, ). ota. La legge si può calcolare anche per mezzo di sfruttando il fatto che e A L = A id A L A id, A id = A id = ( ) 0 A id = Se ne deduce A L = = 4 3, da cui 0 0 x y L(x, y, z) = 4 3 y = x + 4y 3z = (y, x + 4y 3z, x y + 3z). 3 z x y + 3z, secondo svolgimento: lavorando con le coordinate. Le coordinate di v = (,, a) rispetto alla base sono le soluzioni dell equazione v = x(, 0, 0) + y(,, 0) + z(,, ). Risolvendo il sistema si ottiene x = 0, y = a, z = a. Quindi l insieme dei vettori w tali che L(w) = v si ottiene risolvendo il sistema lineare A L x 0 y = a z a dove x, y e z sono coordinate rispetto a delle soluzioni. sistema lineare: 0 0 A L a = 3 3 a a a H ()H 3 ( ) 0 0 a a Trasformiamo la matrice completa del 0 0 a 0 a H 3( ) Il sistema lineare è compatibile se, e solo se, a = /. Per a = / si ottengono le soluzioni { x = y z = 3z y = z.

7 Ricordando che tali soluzioni sono coordinate rispetto a, otteniamo che per a = / vale L (,, a) = {( } 3z)(, 0, 0) + ( z)(,, 0) + z(,, ) z R = {( 3z, }, z) z R = mentre per a / vale L (,, a) =. (, /, 0) + ( 3, 0, ), 3. L affermazione è vera; la dimostriamo. La tesi equivale all affermazione che ogni vettore in V sia combinazione lineare di F. Consideriamo dunque un qualsiasi v V. Siccome L(v) im L e L(F) è una famiglia di generatori di im L, esistono degli scalari x, x,..., x r, tali che L(v) = x L(v ) + x L(v ) + + x r L(v r ). Sfruttando la linearità di L, se ne deduce L(v) = L(x v + x v + + x r v r ). () Siccome L è iniettiva e vale quindi l implicazione L(a) = L(b) a = b per ogni a, b V, la () implica v = x v + x v + + x r v r. L ultima equazione esprime il fatto che il vettore v è combinazione lineare di F. Esercizio 3 del tema. L affermazione è falsa e la confutiamo con un controesempio. Poniamo V = R 3 e W = R. Consideriamo la funzione L : R 3 R definita ponendo L(x, y, z) = (x, y) per ogni x, y, z R; poniamo poi v = (, 0, 0), v = (0,, 0) e F = v, v. Osserviamo che le ipotesi dell affermazione sono soddisfatte, infatti L è suriettiva e L(F) = L(, 0, 0), L(0,, 0) = (, 0), (0, ) = R = im L. Tuttavia la tesi, che equivale a F = R 3, non è soddisfatta, infatti F = (, 0, 0), (0,, 0) = {(x, y, 0) x, y R} R 3. 4, primo svolgimento: utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt. Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt, partendo dalla base naturale v = (, 0), v = (0, ) di R e utilizzando il prodotto scalare b assegnato. Otteniamo w = v = (, 0); w = v v w b w w b w = (0, ) (0, ) (, 0) b (, 0) (, 0) b (, 0) = (0, ) 5 (, 0) = ( 5, ). Una base con le proprietà richieste è dunque = (, 0), ( 5, ). 4, secondo svolgimento: per tentativi. Una base ortogonale di R è semplicemente una famiglia formata da due vettori non nulli ortogonali tra loro. Scegliamo come primo vettore v = (, 0) e cerchiamo un vettore non nullo w = (y, y ) tale che v w b = 0. In forza della definizione (ponendovi x =, x = 0) si ottiene l equazione 5y y = 0, che ha infinite soluzioni, per esempio y =, y = 5. Quindi una base con le proprietà richieste è = (, 0), (, 5).