Modelli e Metodi Matematici della Fisica. Scritto 2

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1 Modelli e Metodi Matematici della Fisica Scritto Cesi/Presilla AA 6 7 Canale 1 Cesi Presilla Nome Cognome Il voto dello scritto rimpiazza gli esoneri 1 3 penalità problema voto penalità ritardo totale coeff voto in trentesimi 1 Chi segue le lezioni indica il canale che sta seguendo Chi non segue indica Presilla se è di Fisica e Cesi se di Astrofisica

2 Avvertenza: Tutti gli esercizi, in particolare quelli a carattere teorico, verranno valutati non solo per quanto riguarda la correttezza della risposta, ma anche in base alla chiarezza dell esposizione e alla calligrafia Caratteri appartenenti ad alfabeti di galassie diverse dalla Via Lattea non verranno considerati 1 pt Dire se l applicazione è una norma sullo spazio vettoriale V ispondere semplicemente sì o no 1 V = 3 e x = x 1 + x + x 1 x 3 S N V = 3 e x = x 1 + x + x 3 S N 3 V = l f e x = k x k S N V = C 1 e f = sup x fx S N Soluzione 1 S N 3 S N 6 pt Se l affermazione è vera dire semplicemente che è vera, se è falsa esibire un controesempio esplicito Nel seguito S, T sono operatori lineari limitati sullo spazio di Hilbert V, f è una funzione appartenente a L 1, F[f] è la trasformata di Fourier di f a Se S, T sono iniettivi S + T è iniettivo b Se S T si ha S T c Se f è a supporto compatto, F[f] è C Soluzione a Falso Si prenda S = I e T = I S e T sono ovviamente iniettivi, ma S + T = non lo è b Falso Nello spazio, consideriamo le matrici 1 S = T = 1 Dato x = x 1, x si ha T x = x,, quindi T =, mentre ovviamente S = 1 Però S = S, quindi S = 1, mentre T = e dunque T = c Vero Infatti se f L 1 è a supporto compatto allora per ogni intero positivo k si ha che x k f appartiene a L 1 Quindi la trasformata di Fourier di f è infinitamente differenziabile 3 3 pt Nello spazio vettoriale P i polinomi su consideriamo il prodotto scalare f, g := fxgx px dx, in cui px := e x / π Sia W := span{1, x } Determinare la proiezione ortogonale π W x icorda: xn px dx = n 1!! = n 1, mentre xn 1 px dx = Non è necessario calcolare il nucleo integrale del proiettore ortogonale π W Soluzione Utilizzando il procedimento di Gram Schmidt trovo una base ortogonale {w 1, w } di W w 1 x = 1 w 1 = 1 px dx = 1 w x = x x, w 1 w 1 w 1x = x x px dx = x 1 w = x x + 1 px dx = 3!! + 1 =

3 A questo punto uso la formula esplicita della proiezione ortogonale su W π W u = k u, w k w k w k, che mi dà π w x = x, w 1 w 1 w 1x + x, w w w x = y py dy + 1 y y 1 py dy x 1 = 3!! + 1 5!! 3!!x 1 = 6x 3 6 pt Calcolare le seguenti distribuzioni, semplificando il più possibile il risultato a D e x x b D e x c D 5 e cos x+3 δ Soluzione a Poichè x = δ, si ha b D e x x = D e x δ = D δ δ = δ δ D e x = De x sgnx = e x + δ Nell ultima uguaglianza abbiamo tenuto conto del fatto che la funzione e x sgnx, differenziabile a tratti, ha un salto pari a + in x = c Poichè e cos x+3 δ = e cos +3 δ = e δ, otteniamo D 5 e cos x+3 δ = e δ 5 5 pt Sviluppare in serie trigonometrica di Fourier nell intervallo [ π, π] la funzione { se x [ π, fx = x se x [, π] Scrivere, oltre alla formula completa, lo sviluppo esplicito di f fino a k =, vale a dire fx a + a 1 cos x + a cosx + a 3 cos3x + a cosx + b 1 sin x + b sinx + b 3 sin3x + b sinx + Soluzione π π Quindi a = 1 π π fx dx = 1 π π x dx = π π a k = 1 fx coskx dx = 1 x coskx dx π π π = 1 [ ] x sinkx π 1 π sinkx dx π k kπ = 1 [ ] π coskx k π = 1 [ ] 1 [ coskπ 1 = 1 k k π k 1 ] π a k = a k+1 = πk + 1 3

4 Per quanto riguarda i b k Posso quindi scrivere π π b k = 1 fx sinkx dx = 1 x sinkx dx π π π = 1 [ ] x coskx π + 1 π coskx dx π k kπ = coskπ + 1 [ ] π sinkx k π = 1 1k+1 coskπ = k k fx π π k= cos[k + 1x] k k+1 k sinkx Lo sviluppo esplicito fino a k = è fx π π cos x 9π cos3x + sinx 1 sinx sin3x 1 sinx + 6 pt Sia T l operatore su l definito come T x =, x 1,, x 3,, x 5 6,, x 7 8,, a Determinare T b Determinare T T x =?,?,?,?, c Trovare gli autovalori di T d Dire se λ = 1/ appartiene o meno allo spettro continuo di T spiegare Soluzione Si trova facilmente vedi la soluzione di esercizi molto simili T = 1/ e T x x =,, x,, x 6 6,, x 8 8,, Per trovare gli autovalori di T scrivo l equazione T x = λx che diventa = λx 1 x 1 = λx = λx 3 x 3 = λx = λx n 1 x n 1 n = λx n Nel caso in cui λ sia diverso da zero, la colonna di sinistra ci dice che tutte le componenti dispari di x sono nulle Sostituendo nella colonna di destra ottengo che anche le componenti pari sono nulle, cioè x = Quindi se λ l unica soluzione dell equazione agli autovalori T x = λx è la soluzione nulla, vale a dire λ non è un autovalore di T imane da esaminare il caso λ = Si verifica immediatamente che ˆx =, 1,,,, verifica T ˆx =, quindi λ = è un autovalore di T Dunque si ha σ p T = {}

5 λ = 1/ non è un autovalore di T, quindi, per definizione, appartiene allo spettro continuo se e solo se l operatore I/ T non è suriettivo L equazione I/ T x = y ci dà x k 1 che si risolve facilmente per x x k = y k 1 x k 1 k = y k k = 1,, 3, x k 1 = y k 1 x k = y k + 8 k y k 1 Affinchè sia una buona soluzione bisogna verificare che se y l allora x l Infatti, grazie alla disuguagliaza a + b a + b, otteniamo Quindi x k x k 1 = 1 y k 1 x k 3 y k + 18 k y k 1 [ ] k yk y k 1 y k = 1 y < Dunque x l per ogni y l, per cui I/ T è suriettivo, vale a dire λ = 1/ fa parte dell insieme risolvente e non dello spettro continuo 7 3 pt Dire se lo spazio vettoriale normato l, è completo dimostrare ciò che si afferma Soluzione È completo vedi i udimenti 8 3 pt Sia f L 1 e sia g la trasformata di Fourier di f Dimostrare che g è continua Soluzione Vedi i udimenti 5