Esercizi di Algebra II

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1 Esercizi di Algebra II 16 Dicembre 2016 # 11 Esercizio 1. Sia E := Q(i, 4 5). Determinare il grado su Q dei seguenti campi: 1) E 1 := E Q( 7 5); 2) E 2 := E Q( 6 5); Soluzione. La difficoltà che incontriamo nel calcolare i gradi dei campi di quest esercizio sta nel fatto che non abbiamo una descrizione concreta (campo base Q e generatori) del nostro campo poiché sia E 1 che E 2 vengono presentati come intersezioni di altri campi. In casi come questo è sempre utile conoscere la regola della catena (vista nel corso di Algebra II). 1) Utilizzando la regola della catena, sapendo che Q E 1 E, si ottiene e 7 = [Q( 7 5) : Q] = [Q( 7 5) : E 1 ] [E 1 : Q]. 8 = [E : Q] = [E : E 1 ] [E 1 : Q]. così [E 1 : Q] è un divisore di 7 e 8, quindi [E 1 : Q] m.c.d.(7, 8) = 1. Pertanto necessariamente [E 1 : Q] = 1. 2) Utilizzando la regola della catena, sapendo che Q E 2 E, si ottiene e 6 = [Q( 6 5) : Q] = [Q( 6 5) : E 2 ] [E 2 : Q]. 1

2 8 = [E : Q] = [E : E 2 ] [E 2 : Q]. così [E 2 : Q] è un divisore di 6 e 8, quindi [E 2 : Q] m.c.d.(6, 8). Pertanto [E 2 : Q] {1, 2}. A differenza di prima, non possiamo dire direttamente chi è [E 2 : Q], quindi bisogna cercare di escludere un possibile valore nell insieme {1, 2} per risolvere l esercizio. In casi come questo si cerca di guardare concretamente come è fatto qualche elemento di E 2. Poiché 5 = ( 6 5) 3 Q( 6 5) e 5 = ( 4 5) 2 E, si ottiene che 5 E 2 e, poiché 5 / Q, necessariamente [E 2 : Q] > 1 (altrimenti si avrebbe l assurdo 5 Q). Da ciò e da quanto detto in precedenza segue che [E 2 : Q] = 2. Esercizio 2. Sia α := ) Determinare il polinomio minimo di α su Q. 2) Provare che Q( 3) è un sottocampo di Q(α). 3) Determinare il grado di Q(α) su Q( 3). Soluzione. 1) x = = x 2 = = x 2 1 = 3 = x x 3 = 3 = x 4 2x 3 2 = 0. x 4 2x 3 2 Q[x] è un polinomio monico che si annulla in α ed è irriducibile per il criterio di Eisenstein (applicato con p = 2). Pertanto è il polinomio minimo di α su Q. 2) Basta verificare che 3 appartiene a Q(α). Ma questo segue dal fatto che 3 = α 2 1 Q(α). 3) Utilizzando la regola della catena si ottiene 4 = [Q(α) : Q] = [Q(α) : Q( 3)] [Q( 3) : Q]. 2

3 poiché [Q( 3) : Q] = 2 (la verifica è lasciata per esercizio), necessariamente [Q(α) : Q( 3)] = 2. Esercizio 3. Sia α := ) Determinare il polinomio minimo di α su Q. 2) Determinare il grado di Q(α) su Q(α 2 ). Soluzione. Basta procedere allo stesso modo dell esercizio precedente. Esercizio 4. Sia f(x) := x 3 x 1 Q[x] e sia ω una radice reale di f. 1) Determinare il grado di Q(ω) su Q. 2) Esprimere (1 + ω) 1 come combinazione lineare di elementi di una base di Q(ω) guardato come spazio vettoriale su Q. Soluzione. 1) Per una proposizione del corso di Algebra II, è noto che il grado di Q(ω) su Q è uguale al grado del polinomio minimo di ω su Q. Il polinomio f è monico, si annulla in ω per ipotesi e, essendo un polinomio di terzo grado che non ha radici in Q, è irriducibile. Quindi f è il polinomio minimo di ω su Q. Pertanto [Q(ω) : Q] = 3. 2) Idea di risoluzione Ogni elemento di Q(ω) (che, ricordiamo, è guardato come spazio vettoriale su Q), si scrive come combinazione lineare di elementi di una base. Inoltre, da una proposizione del corso di Algebra II e dal punto 1) si ha che {1, ω, ω 2 } è una base di Q(ω) guardato come spazio vettoriale su Q. Così, partendo da una generica combinazione lineare a + bω + cω 2, è sufficiente imporre che a + bω + cω 2 = (1 + ω) 1, cioè che (a + bω + cω 2 ) (1 + ω) = 1. Sviluppando l equazione precedente si ottiene a + bω + cω 2 + aω + bω 2 + cω 3 = 1 3

4 Il problema è riguardare cω 3 come combinazione di elementi della base {1, ω, ω 2 }. Sapendo che ω si annulla in f otteniamo 0 = f(ω) = ω 3 ω 1 cioè ω 3 = ω + 1. Sostituendo nell equazione si ottiene così a + bω + cω 2 + aω + bω 2 + cω + c = 1 che dà luogo al sistema a + c = 1 a + b + c = 0 b + c = 0 che è risolto per b = 1, c = 1 e a = 0. Così (1 + ω) 1 = ω 2 ω. Esercizio 5. Provare che 4 2 / Q( 2). Da questo dedurre che Q( 2) Q( 4 2) ma che Q( 4 2) Q( 2). Soluzione. E noto (vedi esercizio Foglio 10) che Q( 2) come spazio vettoriale su Q ha dimensione 2, e pertanto {1, 2} è una base di Q( 2). Supponiamo per assurdo che 4 2 Q( 2). Allora, per quanto detto in precedenza, esistono a, b Q tali che 4 2 = a 1 + b 2. Così 4 2 = a 1 + b 2 2 = a 4 + 4b 4 + 4a 3 b a 2 b 2 + 8ab a4 4b 4 12a 2 b 2 = 2 4a 3 b + 8ab 3 2 Q ma questo è assurdo perché 2 / Q. Così 4 2 / Q( 2) e da ciò segue subito che Q( 4 2) Q( 2). Viceversa, 2 = ( 4 2) 2, pertanto 2 Q( 4 2) e quindi Q( 2) Q( 4 2). Esercizio 6. Sia C un campo e sia E un altro campo contenente C. Sia inoltre a E tale che a / C e a 2 C. Provare che [C(a) : C] = 2. Soluzione. Da una proposizione del corso di Algebra II è noto che [C(a) : C] è uguale al grado del polinomio minimo di a in C. Quindi cerchiamo innanzitutto un polinomio che si annulla in a, poi eventualmente 4

5 proviamo che è irriducibile. Sia f(x) := x 2 a 2. Allora f C[x] poiché nell equazione ci son solo due coefficenti: 1, che banalmente appartiene a C e a 2 che per ipotesi sta in C. Inoltre f(a) = a 2 a 2 = 0. Se proviamo che f è irriducibile, esso sarà il polinomio minimo di a in C. Se per assurdo f fosse riducibile in C, allora esisterebbero b 1, b 2 C tali che f(x) = (x b 1 ) (x b 2 ). Essendo a una radice di f si avrebbe 0 = f(a) = (a b 1 ) (a b 2 ) ed essendo C un campo (e quindi un dominio di integrità), si avrebbe a b 1 = 0 o a b 2 = 0, cioè a = b 1 o a = b 2. Ciò implicherebbe l appartenenza di a al campo C, ma questo contraddice l ipotesi a / C. Quindi f è irriducibile. Da ciò segue che [C(a) : C] è uguale a 2. Esercizio 7. Calcolare il campo di spezzamento E del polinomio f(x) := x 4 5 Q[x] e determinare il grado di E su Q. Soluzione. Il campo di spezzamento del polinomio f è il più piccolo campo in cui f si fattorizza nel prodotto di polinomi di primo grado. I fattori di primo grado saranno della forma x a con a una radice del polinomio. Quindi conviene innanzitutto trovare tutte le radici del polinomio, poi vedere quali sono quelle essenziali per generare il campo di spezzamento. Dopo di ciò se ne calcola il grado su Q. Le radici di f sono { 4 5, 4 5, i 4 5, i 4 5}, pertanto E = Q( 4 5, 4 5, i 4 5, i 4 5) = Q( 4 5, i 4 5) dove nell ultima uguaglianza si è usato il fatto che, essendo (Q( 4 5, 4 5, i 4 5, i 4 5), +) un gruppo additivo, se 4 5 Q( 4 5, 4 5, i 4 5, i 4 5) allora automaticamente anche il suo inverso additivo 4 5 sta in Q( 4 5, 4 5, i 4 5, i 4 5). Discorso analogo vale per i 4 5. Per calcolare il grado di E su Q si noti che E = Q( 4 5, i 4 5) = Q( 4 5, i) (è conveniente vedere E in questa forma per calcolarne il grado): la dimostrazione di questo fatto è lasciata per esercizio. Così e questo completa l esercizio. [E : Q] = [Q( 4 5, i) : Q] = Esercizio foglio