UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ. M. Chiara Tamburini

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1 UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ M Chiara Tamburini Anno Accademico 2009/2010

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3 Indice I Omomorfismi fra anelli 1 1 Ideali 1 2 Anelli quoziente 3 3 Omomorfismi 7 4 Esercizi 9 II Dominii a ideali principali 11 1 Definizione ed esempi 11 2 Fattorialità dei dominii a ideali principali 12 3 Ideali massimali nei dominii a ideali principali 14 4 Il Teorema cinese del resto 15 5 La decomposizione primaria 17 6 Esercizi 18 III Matrici 21 1 Operazioni sulle matrici 21 2 Il gruppo GL 2 R e alcuni suoi sottogruppi 24 3 Il gruppo GL n R e alcuni suoi sottogruppi 26 4 Esercizi 28 IV Forme normali delle matrici 31 1 Equivalenza fra matrici 31 2 Forme normali nei dominii a ideali principali 33 3 Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari 36 V Determinanti 39 1 Definizione e proprietà 39 2 Il Teorema di Laplace 43 i

4 ii INDICE 3 Fattori invarianti 46 Elenco dei simboli 51 Indice analitico 52 Bibliografia 53

5 Capitolo I Omomorfismi fra anelli 1 Ideali Sia A un anello 11 Definizione Un sottoinsieme I di A si dice un ideale sinistro se: 1 0 A I; 2 per ogni i 1, i 2 I, anche i 1 + i 2 I; 3 per ogni a A, e per ogni i I, anche ai I Analogamente I è un ideale destro se soddisfa le condizioni 1, 2 e 3 per ogni a A, e per ogni i I, anche ia I Un ideale sinistro e destro si dice bilatero Sono utili le seguenti considerazioni a Un ideale sinistro destro I di A è, in particolare, un sottogruppo di A, +, 0 A Ciò segue dagli assiomi 1, 2 e dal fatto che, per ogni i I, anche 1 A i = i I, per l assioma 3 b Il singoletto {0 A } e A stesso sono ideali di A detti impropri c Se A è un anello commutativo, ogni ideale sinistro è anche destro e viceversa 12 Esempio L insieme 2Z dei numeri interi pari è un ideale dell anello Z In generale, dato a A, indichiamo con Aa l insieme dei suoi multipli In simboli: Aa := {xa x A} 13 Lemma Aa è il minimo ideale sinistro a cui a appartiene, ossia: 1 Aa è un ideale sinistro di A; 1

6 2 CAPITOLO I OMOMORFISMI FRA ANELLI 2 a Aa; 3 per ogni ideale sinistro I di A tale che a I, si ha Aa I 1 0 A = 0 A a Aa Per ogni xa, ya Aa, anche xa + ya = x + ya Aa Infine, per ogni y A e per ogni xa Aa, anche yxa = yxa Aa 2 a = 1 A a Aa 3 Da a I ideale sinistro segue xa I per ogni x A Pertanto Aa I 14 Definizione Se A è commutativo, Aa si dice l ideale principale generato da a Per ogni ideale sinistro destro I di A, vale il seguente fatto: 15 1 A I = A = I Infatti, se I è ideale sinistro, da 1 A I segue A1 A I Essendo A1 A = A si conclude che A = I Analoga dimsotrazione se I è ideale destro Una importante conseguenza è questa: 16 Teorema Gli unici ideali di un campo K sono {0 K } e K Sia I un ideale di K Se I {0 K }, esiste i I con i 0 K Per definizione di campo, l elemento i ha inverso i 1 in K Da i I ideale, segue i 1 i I, ossia 1 K I Per 15 si conclude K = I In virtù del seguente Lemma, dati due ideali I e J, il massimo ideale in essi contenuto è la loro intersezione I J, mentre il mininmo ideale che li contiene è la loro somma I + J := {i + j i I, j J} 17 Lemma Siano I, J due ideali sinistri di A Allora: 1 I J è un ideale sinistro di A; 2 I + J è un ideale sinistro di A; 3 I J I + J; 4 per ogni ideale sinistro X che contiene I J si ha I + J X Analoghe proprietà valgono per gli ideali destri

7 2 ANELLI QUOZIENTE 3 1 Per definizione di ideale 0 A I e 0 A J, da cui 0 A I J Siano ora x 1, x 2 I J Da x 1, x 2 I segue x 1 + x 2 I Analogamente da x 1, x 2 J segue x 1 + x 2 J Pertanto x 1 + x 2 I J Infine siano a A, x I J Da x I segue ax I Da x J segue ax J Si conclude ax I J 2 Chiaramente 0 A = 0 A + 0 A I + J Da i 1 + j 1, i 2 + j 2 I + J segue: i 1 + j 1 + i 2 + j 2 = i 1 + i 2 + j 1 + j 2 I + J Infine, se a A e i + j I + J, anche ai + j = ai + aj I + J 3 Per ogni i I si ha i = i + 0 A, quindi I I + J In modo analogo J I + J 4 Sia i + j I + J Da i I X e da j J X si deduce i, j X Pertanto, essendo X un ideale, i + j X 2 Anelli quoziente Un ideale I di un anello A dà luogo alla relazione definita ponendo, per ogni a, a A: 21 a a mod I a a I Poichè I, +, 0 A è un sottogruppo di A, +, 0 A, tale relazione è di equivalenza in A Per ogni a A, la sua classe di equivalenza è il laterale I + a := {i + a i I} Quindi: 22 a a mod I I + a = I + a Per le precedenti affermazioni si veda il Teorema 42 del Capitolo 2 di [4] 23 Lemma Sia I un ideale bilatero di A Per ogni a, a, b, b A: 24 { a a mod I b b mod I = 1 a + b a + b mod I 2 ab a b mod I 1 I è un sottogruppo normale del gruppo additivo di A, essendo questo abeliano Pertanto, per il Lemma 55 di [4], si ha a + b a + b mod I 2 Da a a = i 1 I e da b b = i 2 I segue: ab a b = a + i 1 b + i 2 a b = a i 2 + i 1 b + i 1 i 2 I Pertanto ab a b mod I

8 4 CAPITOLO I OMOMORFISMI FRA ANELLI 25 Teorema L insieme A I dei laterali di I in A è un anello rispetto alle operazioni di somma e prodotto così definite Per ogni a, b A: I + a + I + b := I + a + b I + ai + b := I + ab Esso è detto l anello quoziente di A rispetto a I A I è un gruppo rispetto alla somma per il Teorema 57 del Capitolo 2 di [4] Chiaramente è abeliano, essendolo A Il prodotto fra laterali è ben definito per il precedente Lemma Esso è associativo: I + ai + b I + c = I + abc = I + abc = I + a I + bi + c Il laterale I + 1 A è elemento neutro rispetto al prodotto: I + 1 A I + a = I + 1 A a = I + a, I + ai + 1 A = I + a1 A = I + a Valgono infine le proprietà distributive della somma rispetto al prodotto: I + a I + b + I + c = I + ai + b + c = I + ab + c = I + ab + ac = I + ab + I + ac = I + ai + b + I + ai + c In modo analogo si verifica l altra proprietà distributiva 26 Esempio L anello quoziente Z nz, n 2 Per ogni laterale nz + a, esiste un unico intero non negativo r n 1, tale che nz + a = nz + r Tale r è il resto della divisione di a per n Pertanto gli elementi dell anello Z nz sono gli n laterali nz + 0, nz + 1,, nz + n 1 La somma e il prodotto sono definite da: nz + a + nz + b := nz + a + b, nz + anz + b := nz + ab Poichè ogni laterale nz + a coincide con la classe di resti [a] n, è lo stesso scrivere: [a] n + [b] n := [a + b] n, [a] n [b] n := [ab] n

9 2 ANELLI QUOZIENTE 5 L anello Z nz si dice anche l anello delle classi di resti modulo n e si indica con Z n Dato fx K[x], indichiamo con < fx > l ideale generato da fx Ossia 27 < fx >:= K[x]fx 28 Lemma Sia fx un polinomio di grado n 1, a coefficienti in un campo K Per ogni elemento < fx > +ax dell anello quoziente rx di grado n 1 tale che < fx > +ax =< fx > +rx Esso è il resto della divisione di ax per fx K[x] <fx>, esiste un unico polinomio Siano qx e rx il quoziente e il resto della divisione di ax per fx Da ax rx = qxfx < fx > segue < fx > +ax =< fx > +rx Inoltre, per definizione, rx ha grado n 1 Supponiamo ora che sx sia un polinomio di K[x], di grado n 1, tale che < fx > +rx =< fx > +sx Ne segue che fx divide il polinomio rx sx, il cui grado è n 1 Poichè i multipli non nulli di fx hanno grado n, si conclude che rx sx è il polinomio nullo, ossia sx = rx In particolare, se K è finito e fx ha grado n: 29 K[x] < fx > = K n 210 Esempio Z 2 [x] x 2 +x+1 = 2 2 = 4 Gli elementi dell anello Z 2 [x] x 2 +x+1 sono: x 2 + x x 2 + x x x 2 + x x 2 + x x + 1 Abbreviando < fx > +rx in rx, le tavole di somma e prodotto sono: x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x x x x x 2 x x x 2 1 x 2 x 2 1 x 211 Definizione Siano A un anello commutativo e I A un suo ideale

10 6 CAPITOLO I OMOMORFISMI FRA ANELLI Si dice che: I è primo se, per ogni a, b A: ab I = a I oppure b I; I è massimale se l unico ideale che contiene propriamente I è A stesso Per esempio l ideale nullo {0} è primo se e solo se A è privo di divisori dello zero Più in generale si ha: 212 Teorema Sia I A un ideale di un anello commutativo A L anello quoziente A I è privo di divisori dello zero se e solo se I è primo Supponiamo I primo Siano I +a, I +b elementi di A I tali che I +ai +b = I +0 Ne segue I + ab = I + 0, ossia ab I Per ipotesi, a I, oppure b I Nel primo caso I + a = I + 0, nel secondo I + b = I + 0 Si conclude che A I è privo di divisori dello zero Viceversa, supposto A I privo di divisori dello zero, siano a, b A tali che ab I Ne segue I + ai + b = I + ab = I + 0 Per ipotesi, I + a = I + 0 oppure I + b = I + 0 Nel primo caso a I, nel secondo b I Si conclude che I è primo Per il Teorema 16, in un campo K l ideale nullo {0 K } è massimale Più in generale: 213 Teorema Sia I un ideale di un anello commutativo A L anello quoziente A I è un campo se e solo se I è massimale Supponiamo A I campo Poichè un campo ha almeno due elementi, I A Sia J un ideale di A tale che I < J Scelto j J \ I, il laterale I + j è diverso da I + 0 e ha quindi inverso I + j Da I + ji + j = I + 1 A si ha I + jj = I + 1 A, ossia jj 1 A I < J Notando che jj J, si ottiene che 1 A = jj jj 1 A J, da cui J = A per 15 Si conclude che I è massimale Viceversa, supposto I massimale, dimostriamo che A I è un campo, ossia che ogni laterale I + a I + 0 A ha inverso A tale scopo, consideriamo l ideale principale Aa, generato da a, e l ideale somma J := I + Aa = {i + xa i I, x A} Da I J e a J \ I si deduce I J, quindi J = A, per la massimalità di I Ne segue 1 A J Esistono pertanto i I e x A tali che 1 A = i + xa Concludiamo I + 1 A = I + xa = I + xi + a, ossia I + x = I + a 1

11 3 OMOMORFISMI 7 3 Omomorfismi Siano A, B due anelli 31 Definizione Un omomorfismo da A a B è una applicazione f : A B tale che f1 A = 1 B e, per ogni a, b A: 1 fa + b = fa + fb; 2 fab = fafb Si noti che f è un omomorfismo dal gruppo A, +, 0 A al gruppo B, +, 0 B, in virtù dell assioma 1 In particolare: f0 A = 0 B e f a = fa per ogni a A Poniamo: Ker f := {a A fa = 0 B } 32 Definizione Un omomorfimo f : A B si dice: un monomorfismo se è iniettivo; un epimorfismo se è suriettivo; un isomorfismo se è un monomorfismo e un epimorfismo Conviene definire sottoanello di un anello R ogni sottogruppo S di R, +0 R tale che 1 R S e, per ogni r 1, r 2 S, anche r 1 r 2 S 33 Teorema Sia f : A B un omomorfismo di anelli 1 Per ogni sottoanello S di A, la sua immagine fs è un sottoanello di B; 2 per ogni ideale I di B la sua preimmagine f 1 I è un ideale di A; In particolare Im f = fa è un sottoanello di B e Ker f è un ideale di A 1 0 A S, quindi f0 A = 0 B fs Siano fs 1, fs 2 fs Da s 1, s 2 S segue s 1 s 2 S, quindi fs 1 fs 2 = fs 1 s 2 fs Pertanto fs è un sottogruppo di B, +, 0 B Inoltre 1 A S implica f1 A = 1 B fs Sempre da s 1, s 2 S segue s 1 s 2 S Pertanto fs 1 fs 2 = fs 1 s 2 fs Si conclude che fs è un sottoanello 2 In particolare I è un sottogruppo di B, +, 0 B Da f0 A = 0 B I segue 0 A f 1 I Siano s 1, s 2 f 1 I Da fs 1, fs 2 I segue che fs 1 s 2 = fs 1 fs 2 I Pertanto s 1 s 2 f 1 I Abbiamo visto così che f 1 I è un sottogruppo di A, +, 0 A Per ogni a A e per ogni s f 1 I si ha fas = fafs Da fs I segue fafs I, ossia fas I Pertanto as f 1 I Analogamente si verifica che sa f 1 I Concludiamo che f 1 I è un ideale

12 8 CAPITOLO I OMOMORFISMI FRA ANELLI Infine, considerando il sottoanello S = A, si ha che Im f = fa è un sottoanello di B, e considerando l ideale I = {0 B } si ha che la sua preimmagine Ker f := f 1 {0 B } è un ideale di A 34 Definizione B si dice immagine epimorfa di A, se esiste un epimorfismo f : A B: A si dice isomorfo a B, e si scrive A B, se esiste un isomorfismo f : A B La relazione di isomorfismo fra anelli è riflessiva, simmetrica e transitiva Dal punto di vista dell algebra, anelli isomorfi sono identificati Le immagini epimorfe di un anello A sono, a meno di isomorfismi, tutti e soli i suoi anelli quoziente Vale infatti il seguente: 35 Teorema fondamentale sugli omomorfismi 1 Siano I un ideale di A e A I il corrispondente anello quoziente La proiezione canonica π : A A I definita ponendo πa := I + a è un epimorfismo di anelli Inoltre Ker π = I 2 Siano f : A B un omomorfismo di anelli e π : A A Ker f canonica Allora f induce un unico isomorfismo di anelli f : A Ker f Im f la proiezione tale che fπ = f In particolare A Ker f Im f 1 π è un epimorfismo di gruppi additivi e Ker π = I, per il Teorema 77 di [4] Inoltre π1 A = I + 1 A, unità moltiplicativa di A I e, per ogni a, b A: πab := I + ab = I + ai + b = πaπb 2 Sempre per il Teorema 77 di [4] ponendo f Ker f + a := fa si definisce un isomorfismo di gruppi additivi f : A Ker f fπ = f Inoltre tale condizione determina univocamente f Im f che soddisfa la condizione

13 4 ESERCIZI 9 Infine f Ker f + 1 A = f1 A = 1 B e f Ker f + aker f + b = f Ker f + ab = fab = fafb Si conclude che f è un isomorfismo di anelli 4 Esercizi 41 Esercizio In Q si calcoli l ideale principale generato da 7 42 Esercizio In R si calcoli l ideale principale generato da 5 43 Esercizio Sia I un ideale sinistro destro dell anello A e sia i I Si dimostri che se i è unitario, allora I = A 44 Esercizio Si dimostri che 7Z := {7z z Z} è un ideale di Z e che è proprio 45 Esercizio Posto < 7 >:= 7Z, si dimostri che la proiezione canonica π : Z Z <7> tale che πz :=< 7 > +z, è un epimorfismo di anelli, e si calcoli Ker π 46 Esercizio Verificare direttamente che: 6Z 10 = 6Z + 2, 15Z + 64 = 15Z + 4, 10Z 2 = 10Z Esercizio Si dimostri che xq[x] := {xfx fx Q[x]} è un ideale di Q[x] e che è proprio 48 Esercizio Posto < x >:= xq[x], si dimostri che la proiezione canonica π : Q[x] Q[x] < x > tale che π fx :=< x > +fx è un epimorfismo di anelli, e si calcoli Ker π 49 Esercizio Nell anello Q[x], indicando con < gx > l ideale principale generato da gx, verificare direttamente che: < x > +x 3 + 2x = < x > +x < x 4 > +x 6 + x 1 = < x 4 > +x 1 < x 1 > +x 2 1 = < x 1 >

14 10 CAPITOLO I OMOMORFISMI FRA ANELLI 410 Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto degli anelli Z 3, Z 4, Z 5, Z 6 Per ciascuno di tali anelli si dica se sono campi 411 Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto dell anello Z 2 [x] x 2 +1, abbreviando x rx in rx Si dica se tale anello è un campo 412 Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto dell anello Z 3 [x] x 2 +1 Si dica se tale anello è un campo In caso affermativo si indichi un generatore del gruppo moltiplicativo dei suoi elementi non nulli

15 Capitolo II Dominii a ideali principali 1 Definizione ed esempi Ricordiamo che, dato un anello A, l insieme A degli elementi che hanno inverso moltiplicativo in A, è un gruppo rispetto al prodotto Diciamo inoltre che A è un dominio di integrità se è commutativo e privo di divisori dello zero Un elemento b A divide a A, e si scrive b a, se esiste q A tale che a = bq Per il Lemma 14, Capitolo IV di [4], la relazione divide in A è riflessiva e transitiva D altra parte, dati a, b non nulli 11 a b e b a b = aλ, λ A Ricordiamo che, per il Lemma 13, l ideale principale Aa, generato da a, è il minimo ideale di A al quale appartiene a 12 Lemma Siano a, b due elementi non nulli di un dominio di integrità A 1 Aa Ab se e solo se b a; 2 Aa = Ab se e solo se b = λa, con λ A In particolare A = Ab se e solo se b A 1 Se Aa Ab, si ha a Ab Esiste quindi q A tale che a = qb Viceversa, se esiste q A tale che a = qb, si ha: Aa = Aqb = Aqb Ab 2 Se Aa = Ab allora, per il punto precedente, a b e b a Da 11 segue b = λa, con λ A Viceversa se b = λa, con λ A, si ha anche a = λ 1 b Da b = λa si deduce Ab Aa, da a = λ 1 b si deduce Aa Ab e si conclude Aa = Ab L ultima osservazione segue dal punto 2, con a = 1 A 11

16 12 CAPITOLO II DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 13 Definizione Un dominio a ideali principali D è un dominio di integrità in cui ogni ideale I è principale, ovvero esiste i I tale che I = Di 14 Teorema Sia I un ideale non nullo di un dominio euclideo D, rispetto ϕ : D \ {0 D } N e sia n 0 il minimo di ϕ I \ {0 D } Per ogni i 0 I \ {0 D } tale che ϕi 0 = n 0 si ha I = Di 0 In particolare ogni dominio euclideo è a ideali principali Da i 0 I segue Di 0 I per definizione di ideale Viceversa sia i I Per definizione di dominio euclideo, esistono q, r D tali che i = i 0 q+r, con ϕr < ϕi 0 oppure r = 0 D Poichè i 0 q I, anche r = i i 0 q I Ne segue r = 0 D, da cui i Di 0 In particolare abbiamo dimostrato che ogni ideale non nullo di D è principale Chiaramente anche l ideale {0 D } = D0 D è principale In quanto dominii euclidei, i seguenti anelli sono dominii a ideali principali: l anello Z dei numeri interi, ogni campo K, l anello K[x] dei polinomi a coefficienti in K 2 Fattorialità dei dominii a ideali principali Ricordiamo che, in base alla Definizione 113 del Capitolo IV di [4], un elemento p D, non nullo e non invertibile, è irriducibile se ha solo fattorizzazioni banali, ossia se, per ogni a, b D: p = ab = a D oppure b D Scopo di questo paragrafo è dimostrare che ogni elemento non nullo di un dominio a ideali principali D si scrive, in modo essenzialmente unico, come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili Ossia che D è fattoriale, secondo la definizione 118, Capitolo IV di [4] 21 Teorema Due elementi a, b di un dominio a ideali principali D hanno sempre un massimo comun divisore d D Inoltre d può essere scritto nella forma d = ax + by, per opportuni x, y D

17 2 FATTORIALITÀ DEI DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 13 Considerati gli ideali principali Da e Db, generati rispettivamente da a e da b, sappiamo che la loro somma Da + Db è un ideale Esiste quindi d Da + Db tale che Da + Db = Dd In particolare: 22 d = xa + yb con x, y D Da Da Da + Db = Dd segue Da Dd, ossia d a Analogamente d b Infine sia c D un divisore comune di a e di b Sostituendo a = ac, b = bc a, b D nella relazione 22, si ottiene d = cxa + yb, ovvero c d Si conclude che d = MCDa, b Per il Corollario 26 e il Lemma 31 del Capitolo IV di [4] si ha allora: 23 Lemma In un dominio a ideali principali, un elemento è irriducibile se e solo se è primo 24 Teorema In un dominio a ideali principali D ogni catena ascendente di ideali I 1 < I 2 < < I k < è finita Si verifica facilmente che l unione insiemistica I := j I j di tutti gli ideali della catena è un ideale Esiste quindi d I tale che I = Dd Chiaramente d appartiene a un ideale I n della catena, per qualche indice n Ne segue I I n da cui I = I n Pertanto I n è l ultimo ideale della catena 25 Corollario Ogni dominio a ideali principali D è fattoriale 1 Ogni elemento unitario è prodotto di 0 irriducibili Ogni elemento irriducibile, è prodotto di 1 irriducibile se stesso! Sia ora a un elemento riducibile, e sia a = a 1 a 2 una sua fattorizzazione non banale in D, ossia a 1 D, a 2 D In virtù del Lemma 12 si ottiene l inclusione propria di ideali: Da < Da 1 Se a 1 è riducibile, possiamo inserire un nuovo ideale nella catena Infatti, considerata una fattorizzazione non banale a 1 = b 1 b 2 in D, otteniamo Da < Da 1 < Db 1

18 14 CAPITOLO II DOMINII A IDEALI PRINCIPALI In virtù del Teorema 24, il procedimento di inserzione di ideali ha termine dopo un numero finito di iterazioni Si perviene a un fattore irriducibile p 1 di a Posto a = p 1 q 1, per il ragionamento precedente q 1 deve avere un fattore irriducibile p 2 Posto q 1 = p 2 q 2 si ha Da < Dq 1 < Dq 2 Per il Teorema 24 il procedimento ha termine, ossia a è prodotto di un numero finito, 2, di elementi irriducibili 2 L essenziale unicità della fattorizzazione di un elemento si basa sul fatto che ogni elemento irriducibile è primo Si dimostra in modo analogo a quanto fatto nel Teorema 32 Capitolo IV di [4] L induzione su ϕ va sostituita con l induzione su k = ka, dove ka rappresenta il minimo numero dei fattori di ogni fattorizzazione di a A 3 Ideali massimali nei dominii a ideali principali 31 Teorema Siano D un dominio a ideali principali e p un suo elemento non nullo 1 L ideale Dp è massimale se e solo se p è irriducibile; 2 l anello quoziente D Dp è un campo se e solo se p è irriducibile 1 Supponiamo Dp massimale Se p, per assurdo, fosse riducibile, ammetterebbe una fattorizzazione non banale p = ab, ossia a D, b D In virtù del Lemma 12 si avrebbe Dp < Da < D, in contrasto con l ipotesi Dp massimale Viceversa, supponiamo p irriducibile Per assurdo, sia I un ideale di D tale che Dp < I < D Essendo I principale, esiste i I tale che I = Di Da Dp < Di segue che i divide p Per l irriducibilità di p si ha p = λi con λ D Si conclude Dp = Di, contraddizione con l ipotesi Dp < I = Di 2 Per il Teorema 213 del Capitolo I, l anello quoziente D Dp è un campo se e solo se l ideale Dp è massimale Dal punto precedente segue l asserto Di conseguenza, indicando con < d > l ideale principale Dd: l anello Z n = l anello K[x] <fx> Z <n> è un campo se e solo se n è primo; è un campo se e solo se fx è irriducibile 32 Esempio Z 2, Z 3, Z 5, Z 7, Z 11 sono campi, di rispettivi ordini: 2, 3, 5, 7, Esempio Z 2 [x] x 2 +x+1 si veda esempio 210 del Capitolo I è un campo con 4 elementi Esso è detto campo di Galois di ordine 4 e viene indicato con F 4

19 4 IL TEOREMA CINESE DEL RESTO Teorema di Fermat Per ogni primo p e per ogni a Z, non divisibile per p: a p 1 1 mod p Z p è un campo con p elementi Il suo gruppo moltiplicativo Z p = Z p \ {[0] p } ha quindi ordine p 1 e, per il Teorema di Lagrange, ogni suo elemento ha periodo che divide p 1 Ne segue che, per ogni intero a, non divisibile per p, si ha [a] p p 1 = [1] p, ossia a p 1 1 mod p 35 Esempio mod 71, mod 97 4 Il Teorema cinese del resto Sia Dd l ideale principale generato da d D In conformità con 21 del Capitolo 1, per ogni a, a A si ha a a mod Dd a a Dd d a a D ora in poi, anzichè scrivere a a mod Dd, scriveremo più semplicemente a a mod d in analogia con le notazioni usate quando D = Z Per il Lemma 23 del Capitolo I la congruenza mod d è una relazione di equivalenza in D, compatibile con somma e prodotto Ossia: { a a mod d b b mod d = { a + b a + b mod d ab a b mod d 41 Definizione Siano a, b, d D Una soluzione della congruenza lineare 42 ax b mod d è un elemento c D tale che ac b mod d

20 16 CAPITOLO II DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 43 Teorema cinese del resto Siano d 1,, d n elementi a due a due coprimi di un dominio a ideali principali D Scelti comunque b 1,, b n D, esistono in D soluzioni del sistema di congruenze lineari 44 x b 1 mod d 1 x b n mod d n Detta c una soluzione, le altre sono tutti e soli gli elementi c D tali che c c mod n d l l=1 Per 1 i n, poniamo t i := l i d l Risulta MCDt i, d i = 1 D, 1 i n Infatti se fosse, ad esempio, MCDt 1, d 1 1 D, esisterebbe un primo p che divide sia t 1 sia d 1 Ne segue che p dovrebbe dividere uno dei fattori di t 1 = d 2 d n A meno dell ordine possiamo supporre che p d 2, in contrasto con l ipotesi MCDd 2, d 1 = 1 D Per 1 i n, esistono pertanto y i, z i D tali che t i y i + d i z i = 1 D Ne segue : 45 t i y i 1 D mod d i 1 i n t j y j 0 D mod d i 1 i j n Posto n c = t j y j b j, j=1 verifichiamo che c è soluzione di 44 Infatti, fissato un qualunque indice i, si ha : c = t i y i b i + t j y j b j b i mod d i j i Determiniamo ora le altre soluzioni, ponendo d = n 1 d l Sia c c mod d Ne segue c c mod d i per i n, quindi c è soluzione del sistema Viceversa, sia x D una soluzione di 44 Si ha x b i c mod d i per 1 i n In altre parole d i divide x c per 1 i n Si conclude che mcmd 1,, d n = d divide x c, ossia che x c mod d

21 5 LA DECOMPOSIZIONE PRIMARIA 17 5 La decomposizione primaria Dati due anelli A e B, il loro prodotto cartesiano { } a A B := a A, b B b risulta un anello rispetto alle operazioni definite ponendo: a1 a2 a1 + a 51 + := 2 a1 a2, b 1 b 2 b 1 + b 2 b 1 b 2 La verifica è lasciata per esercizio a1 a := 2 b 1 b 2 52 Definizione Il precedente anello si dice la somma diretta di A e B e si indica con A B 53 Teorema Sia D un dominio a ideali principali e siano d, d 1, d 2 D tali che d = d 1 d 2 con MCDd 1, d 2 = 1 D Allora: D Dd D D Dd 1 Dd 2 Consideriamo l applicazione f : D fa := D Dd 1 D Dd1 + a Dd 2 + a Dd1 + 1 Si ha che f1 D := D è l unità moltiplicativa di Dd D Inoltre, per ogni a, b D : Dd1 + a + b fa + b := = Dd 2 + a + b fab := Dd1 + ab Dd 2 + ab = Pertanto f è un omomorfismo di anelli Dd1 + a Dd 2 + a Dd1 + a Dd 2 + a Dd 2 definita ponendo, per ogni a D: Dd1 + b + Dd 2 + b Dd1 + b Dd 2 + b D Dd 1 D Dd 2 Verifichiamo ora che Ker f = Dd Infatti a Ker f se e solo se { Dd1 + a = Dd 1 a Dd Dd 2 + a = Dd 1 Dd 2 = Dd 2 = fa + fb = fafb Infine f è suriettiva per il Teorema cinese del resto A tale scopo, notiamo che l elemento Dd1 + b 1 Dd 2 + b 2

22 18 CAPITOLO II DOMINII A IDEALI PRINCIPALI del codominio, ha come preimmagine in D una qualunque soluzione c del sistema { x b1 mod d 1 x b 2 mod d 2 Infatti: fc = Dd1 + c Dd 2 + c Dd1 + b = 1 Dd 2 + b 2 Per il Teorema fondamentale degli omomorfismi, f induce un isomorfismo f : D Dd D D Dd 1 Dd 2 54 Corollario Sia d = p m 1 1 pn mn una fattorizzazione di d, dove p 1,, p n sono n 2 elementi irriducibili di D, a due a due coprimi non associati Allora 55 D Dd D Dp m 1 1 D Dp mn n decomposizione primaria Ragioniamo per induzione su n, ponendo d 1 = p m 1 1, d 2 = p m 2 2, p mn n Dall ipotesi che i p i sono a due a due coprimi, segue che MCDd 1, d 2 = 1 D Pertanto, per il Teorema 53, si ha D Dd D Dp m 1 1 D D p m 2 2, p mn n Per n = 2 l asserto si ottiene direttamente Per n > 2 l asserto si ottiene per induzione Conviene tener presenti gli Esercizi 615 e Esempio Z 300 Z 4 Z 3 Z Esempio Q[x] x 2 1 Q[x] x 1 Q[x] x+1 6 Esercizi 61 Esercizio Si verifichi che { a a mod d b b mod d = { a + b a + b mod d ab a b mod d

23 6 ESERCIZI Esercizio Si dimostri che le congruenze x 8 mod 5 e x 23 mod 5 sono equivalenti, ossia hanno le stesse soluzioni in Z 63 Esercizio Si dimostri che le congruenze X x + 1 mod x 2 + 4, X 3x 3 x x 3 mod x sono equivalenti, ossia hanno le stesse soluzioni in Q[x] 64 Esercizio Si determinino tutte le soluzioni intere del sistema 65 { x 3 mod 5 x 0 mod 7 66 Esercizio Si determinino tutte le soluzioni intere del sistema x 1 mod x 1 mod 15 x 4 mod Esercizio In Q[x] si determinino tutte le soluzioni del sistema 69 { X 2x mod x 2 1 X 2x mod x Esercizio In Q[x] si determinino tutte le soluzioni del sistema 611 { X 0 mod x + 2 X x + 1 mod x Esercizio Si calcoli l ordine e la decomposizione primaria di ciascuno dei seguenti anelli Z 15, Z 45, Z 15 Z 45, Z 28 Z 2 Z 2 Z Esercizio Si trovi la decomposizione primaria dei seguenti anelli C[x] x 2 + 1, C[x] x 3 1, C[x] x 4 2x Esercizio Si calcoli l ordine e la decomposizione primaria di ciascuno dei seguenti anelli Z 3 [x] x 3, Z 5 [x] x 2 + 1, Z 2 [x] x 3 + x + 1

24 20 CAPITOLO II DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 615 Esercizio Siano A, B, C anelli Si dimostri che A B C A B C 616 Esercizio Siano A, B, A, B anelli, con A A, B B Si dimostri che A B A B 617 Esercizio Siano A, B anelli Si dimostri che A B B A

25 Capitolo III Matrici In questo capitolo R indica un anello commutativo 1 Operazioni sulle matrici Per ogni m, n 1, indichiamo con Mat m,n R l insieme delle matrici m n a elementi in R Se n = m, tale insieme si indica anche con Mat n R Se C = c ij Mat m,n R, la sua trasposta C t è la matrice le cui righe sono le colonne di C Quindi C t = c ji Mat n,m R La somma e il prodotto in R inducono, in modo naturale, le seguenti operazioni componente per componente fra matrici di Mat m,n R Precisamente, per ogni: C = e per ogni r R, si pone 11 C + D := c 11 c 1n c m1 c mn, D = c 11 + d 11 c 1n + d 1n c m1 + d m1 c mn + d mn d 11 d 1n d m1 d mn, rc :=, rc 11 rc 1n rc m1 rc mn Si definisce il prodotto di un elemento di Mat 1,s R per un elemento di Mat s,1 R, ossia di un vettore riga per un vettore colonna con s componenti, mediante: 12 a1 a s b 1 b s := a 1 b a s b s = s a k b k Questo consente di definire il prodotto righe per colonne di due matrici k=1 A = a ij Mat m,s R, B = b ij Mat s,n R 21

26 22 CAPITOLO III MATRICI come la matrice AB Mat m,n R, la cui componente di posto i, j è il prodotto della riga i-esima di A per la colonna j-esima di B In simboli: s 13 AB = a ik b kj Segue facilmente che AB t = B t A t k=1 Per semplificare le notazioni converrà scrivere 0 per 0 R e 1 per 1 R In Mat s,1 R, consideriamo i vettori colonna: 14 e 1 := 1 0 0, e 2 := 0 1 0,, e s := Per ogni A Mat m,s R, la sua prima colonna coincide con Ae 1, la seconda con Ae 2, ecc Quindi, suddividendo A nelle sue colonne: A = Ae 1 Ae s Analogamente, suddividendo B nelle sue righe: B = Si noti che le colonne di AB sono combinazione lineare di quelle di A Precisamente: e t 1 B e t sb AB = b 11 Ae b s1 Ae s b 1n Ae b sn Ae s Analogamente le righe di AB sono combinazione lineare di quelle di B Precisamente: AB = a 11 e t 1 B + + a 1s e t s B a m1 e t 1 B + + a ms e t s B 15 Esempio A = , B = , AB =

27 1 OPERAZIONI SULLE MATRICI 23 A = B = = Ae Ae 2 Ae 3, infatti: A 0 3 =, A 1 1 =, A = e t 1 B e t 2 B e t 3 B, infatti: = B = 2 2, B = 3 1, B = 4 6 AB = Infine: 3 7 = 2Ae Ae 2 + 4Ae 3 2Ae 1 Ae 2 + 6Ae 3 = e t 1 B e t 2 = B + 0 e t 3 B e t 1 B + 0 e t 2 B + 2 e t 3 B B t A t = = = AB t Spesso è utile eseguire il prodotto di matrici a blocchi, con le regole fornite dal 16 Teorema Date A Mat m,s R, B Mat s,n R e fissate delle partizioni si suddividano A e B in blocchi m = m 1 + m 2, s = s 1 + s 2, n = n 1 + n 2 A1 A A = 2 A 3 A 4 B1 B, B = 2 B 3 B 4 dove A 1, A 2, A 3 e A 4 hanno rispettivamente ordini m 1 s 1, m 1 s 2, m 2 s 1, m 2 s 2 ; B 1, B 2, B 3 e B 4 hanno rispettivamente ordini s 1 n 1, s 1 n 2, s 2 n 1 e s 2 n 2 Allora: A1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 AB = A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 Tale regola è utile soprattutto quando qualcuno dei blocchi A i oppure B i è nullo 17 Esempio X 0 0 Y Z 0 0 T = XZ 0 0 Y T

28 24 CAPITOLO III MATRICI 18 Esempio X 0 U Y Z 0 V T = XZ 0 UZ + Y V Y T 19 Esempio Chiamiamo v 1 = Be 1,, v n = Be n le colonne di una matrice B Mat s,n R Per ogni A Mat m,s R si ha AB = A v 1 v n = Av 1 Av n Le proprietà delle operazioni fra matrici sono riassunte dal seguente Teorema, la cui dimostrazione è basata sul calcolo diretto 110 Teorema 1 Mat m,n R è un gruppo abeliano rispetto alla somma di matrici; 2 Mat n R è un anello rispetto alla somma e al prodotto di matrici; 3 per ogni A, A 1, A 2 Mat m,s R, B, B 1, B 2 Mat s,n R, C Mat n,l R: A 1 + A 2 B = A 1 B + A 2 B; A B 1 + B 2 = AB 1 + AB 2 ; ABC = ABC 2 Il gruppo GL 2 R e alcuni suoi sottogruppi a b 21 Definizione Data A = c d Mat 2 R, poniamo: det A := ad bc determinante di A Un calcolo diretto mostra che, per ogni A, B Mat 2 R, si ha: detab = det Adet B 22 Lemma Il gruppo Mat 2 R delle matrici che hanno inversa in Mat 2 R è costituito dalle matrici il cui determinante appartiene a R, ossia ha inverso in R a b Sia A = Mat c d 2 R Se ad bc ha inverso ρ R, allora la matrice dρ bρ Mat 2 R cρ aρ e si verifica direttamente che è inversa di A Viceversa, se A ha inversa, da AA 1 = I segue det Adet A 1 = det I = 1 R Si conclude che deta 1 è l inverso di det A

29 2 IL GRUPPO GL 2 R E ALCUNI SUOI SOTTOGRUPPI Definizione Mat 2 R si dice il gruppo generale lineare di grado 2 su R e si indica con GL 2 R Analizziamo ora alcuni sottogruppi di tale gruppo 24 Lemma L insieme delle matrici di permutazione: { } , è un sottogruppo di GL 2 R, isomorfo al gruppo simmetrico Sym2 25 Lemma Le matrici della forma { 1 0 r 1 } r R formano un sottogruppo di GL 2 R, isomorfo al gruppo additivo R, +, 0 L applicazione f : R GL 2 R tale che, per ogni r R: 1 0 r r 1 è un monomorfismo di gruppi Infatti: 1 0 fr 1 + r 2 = = r 1 + r r r 2 1 = fr 1 fr 2 26 Conviene introdurre la seguente notazione: E 11 := , E 12 := , E 21 := 1 0 In tal modo, il sottogruppo del Teorema 25 si denota mediante: {I + re 21 r R} 0 0, E 22 := 0 1 Tale sottogruppo e il suo trasposto {I + re 12 r R} è si dicono sottogruppi radicali 27 Lemma Le matrici diagonali del tipo: { } ν1 0 ν 0 ν i R 2 costituiscono un sottogruppo di GL 2 R, detto diagonale

30 26 CAPITOLO III MATRICI 3 Il gruppo GL n R e alcuni suoi sottogruppi 31 Definizione Il gruppo Mat n R delle matrici invertibili di Mat n R si dice il gruppo generale lineare di grado n su R Lo si indica abitualmente con GL n R Si noti che, per ogni A, B GL n R: 32 AB 1 = B 1 A 1 33 Lemma Sia H un sottogruppo di GL n R Allora H t := { h t h H } è un sottogruppo di GL n R, isomorfo ad H L applicazione h h 1 t è un isomorfismo Infatti: hk 1 t = k 1 h 1 t = h 1 t k 1 t Prenderemo ora in considerazione alcuni sottogruppi notevoli di GL n R A tale scopo ricordiamo che il gruppo delle applicazioni bijettive dell insieme {1,, n} in sè si indica con Symn e si chiama il gruppo simmetrico di grado n Esso ha ordine n! e i suoi elementi si dicono anche permutazioni 34 Esempio Sym2 = {id, 12} 35 Esempio Sym3 = {id, 123, 132, 23, 13, 12} Per ogni permutazione σ Symn, definiamo la matrice di permutazione π σ le cui colonne sono, ordinatamente, i vettori e σ1,, e σn Per esempio, per n = 2, le matrici in 24 sono π id e π 12 D altra parte, per n = 3: π 123 = , π 12 = Notando che e t i e j = 0 R se i j e che e t i e i = 1 R si ha che, per ogni σ: 36 π σ t = π σ 1 Chiaramente l applicazione σ π σ è un monomorfismo da Symn a GL n R Quindi:

31 3 IL GRUPPO GL N R E ALCUNI SUOI SOTTOGRUPPI Proposizione Le matrici di permutazione costituiscono un sottogruppo di GL n R, isomorfo a Symn Per ogni i, j indichiamo con E ij la matrice con 1 R nella posizione i, j e 0 R altrove 38 Proposizione Fissati i j, le matrici {I + re ij r R} formano un sottogruppo di GL n R, detto radicale, isomorfo al gruppo additivo di R L applicazione f ij : R, +, 0 GL n R tale che r I + re ij è un monomorfismo di gruppi 39 Proposizione Fissata una partizione n = h + k, le matrici della forma: 310 { } Ih 0 V Mat V k,h R costituiscono un sottogruppo di GL n R I k Ricordando il prodotto di matrici a blocchi descritto nel Teorema 16 del capitolo precedente, si verifica subito che: I 0 I 0 I 0 = V 1 I V 2 I V 1 + V 2 I 1 I 0 I 0 = V I V I Analogo risultato vale per l insieme delle matrici trasposte Per le matrici diagonali converrà usare la seguente notazione: 311 λ 1 = diag λ 1,, λ n 312 Proposizione Le matrici diagonali del tipo 313 {diag ν 1,, ν n ν i R } costituiscono un sottogruppo di GL n R, detto diagonale diag ν 1,, ν n diag µ 1,, µ n = diag µ 1 ν 1,, µ n ν n λ n

32 28 CAPITOLO III MATRICI diag ν 1,, ν n 1 = diag ν1 1,, ν 1 n Si noti infine che una matrice diagonale a blocchi è invertibile se e solo se i suoi blocchi diagonali lo sono In tal caso 314 X Y 1 X 1 = Y 1 4 Esercizi 41 Esercizio Data A = Mat 3,4 Z, eseguire i prodotti: A, A, A, Ae1, Ae 2, Ae 3, Ae 4 I risultati ottenuti come sono correlati alle righe e alle colonne di A? 42 Esercizio Posto A = eseguire il prodotto AB scrivendo, B = le righe di AB come combinazione lineare di quelle di B; 2 le colonne di AB come combinazione lineare di quelle di A 43 Esercizio Date a11 a A = 12 a 21 a 22 B = si scrivano 1 le righe di BA in funzione di quelle di A; 2 le colonne di AB in funzione di quelle di A 44 Esercizio Date a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, P = a 31 a 32 a 33 si scrivano , D = le colonne di AP e quelle di AD in funzione di quelle di A;

33 4 ESERCIZI 29 2 le righe di P A e quelle di DA in funzione di quelle di A; 45 Esercizio Effettuando i calcoli, verificare che Esercizio Nel caso R = Q si calcoli l inversa delle matrici: A =, B =, C = =, AB, ABC, CB 47 Esercizio Nel caso R = Q si calcoli l inversa delle matrici: P = 0 0 1, D = , U = Esercizio Si scriva la matrice P GL 2 Q tale che per ogni A Mat 2 Q AP = Ae 2 Ae 1 49 Esercizio Si scriva la matrice P GL 2 Q tale che AP = Ae 1 3Ae 1 + Ae 2 per ogni A Mat 2 Q X 410 Esercizio Si dimostri che una matrice diagonale a blocchi A = invertibile se e solo se i suoi blocchi X e Y sono invertibili Y è 411 Esercizio In Mat 3 R, eseguire i seguenti prodotti a blocchi: π , π

34 30 CAPITOLO III MATRICI 412 Esercizio Sia H un sottogruppo di GL n R Dimostrare che anche H t è un sottogruppo a b 413 Esercizio Date A = c d detab = det Adet B x y, B = z t si verifichi direttamente che

35 Capitolo IV Forme normali delle matrici 1 Equivalenza fra matrici 11 Definizione Date A, B Mat m,n R, diciamo che A è equivalente a B e scriviamo A B, se esistono Q GL m R e P GL n R tali che A = QBP Il fatto che GL m R e GL n R siano gruppi ha la seguente conseguenza 12 Lemma L equivalenza fra matrici è riflessiva, simmetrica e transitiva Per ogni A, B, C Mat m,n R: 1 A A Infatti A = I m AI n 2 A B = B A Infatti da A = QBP segue B = Q 1 AP 1 3 A B e B C = A C Infatti da A = Q 1 BP 1 e da B = Q 2 CP 2 segue A = Q 1 Q 2 C P 2 P 1 Resta da notare che se Q 1 e Q 2 appartengono a GL m R anche il loro prodotto Q 1 Q 2 vi appartiene Analoga considerazione per P 1 e P 2 13 Esempio Tenendo presente i paragrafi 2 e 3 del Capitolo III, per ogni matrice A = Ae 1 Ae 2 Ae 3 Mat2,3 R si ha: A Ae 2 Ae 1 Ae 3, A Ae1 Ae 2 2Ae 3 Ae 3 Infatti: a11 a A Aπ 12 = 12 a 13 a 21 a 22 a = a12 a 11 a 13 a 22 a 21 a 23

36 32 CAPITOLO IV FORME NORMALI DELLE MATRICI a11 a A A I 2E 32 = 12 a 13 a 21 a 22 a = a11 a 12 2a 13 a 13 a 21 a 22 2a 23 a 23 In generale: 14 Lemma Una matrice A Mat m,n R è equivalente a qualunque matrice ottenuta con una delle seguenti operazioni sulle sue colonne: 1 scambio delle colonne Ae i e Ae j ; 2 sostituzione della colonna Ae j con Ae j + rae i, per ogni r R, i j; 3 moltiplicazione della colonna Ae i per un elemento ν R Similmente A è equivalente a qualunque matrice da essa ottenuta con una delle analoghe operazioni sulle sue righe 1 La matrice di permutazione π ij appartiene a GL n R Ne segue A Aπ ij Notando che Aπ ij si ottiene da A scambiando fra loro Ae i e Ae j, si ha l asserto 2 La matrice elementare I +re ij appartiene a GL n R Ne segue A A I + re ij Notando che A I + re ij si ottiene da A sostituendo Ae j con Ae j +rae i, si ha l asserto 3 La matrice diagonale N = diag 1 R,, ν,, 1 R che ha ν nel posto i, i e 1 R altrove, appartiene a GL n R Quindi A AN Notando che AN si ottiene da A moltiplicando la colonna Ae i per ν si ha l asserto L affermazione riguardante le operazioni sulle righe si dimostra moltiplicando a sinistra A per le analoghe matrici e t 15 Esempio Per ogni matrice A = 1 A e t 2 A Mat 2,3 R si ha: e t A 2 A e t e t 1 A, A 1 A + 3e t 2 A 3 e t e t 2 A, A 1 A + 4 e t 2 A e t 1 A et 2 A Infatti: A π 12 A = a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a21 a = 22 a 23 a 11 a 12 a 13 ; A I + 3E 12 A = = a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a11 + 3a = 21 a a 22 a a 23 a 21 a 22 a 23 ;

37 2 FORME NORMALI NEI DOMINII A IDEALI PRINCIPALI A 1 1 A = 3 4 a11 a 12 a a 21 a 22 a 23 3a11 + 4a = 21 3a a 22 3a a 23 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a Lemma Se A 1 B 1 e A 2 B 2 allora A1 A 2 B1 B 2 Siano Q 1, Q 2, P 1, P 2 matrici invertibili tali che A 1 = Q 1 B 1 P 1, A 2 = Q 2 B 2 P 2 Allora le matrici Q = Q1 Q 2 P1, P = P 2 sono invertibili e A = QBP 2 Forme normali nei dominii a ideali principali Per il Lemma 12, l equivalenza fra matrici ripartisce Mat m,n R in classi di equivalenza Nel caso in cui R = D è un dominio a ideali principali, è possibile scegliere degli opportuni rappresentanti per tali classi, detti forme normali Allo scopo di descriverli, ricordiamo che una matrice di Mat m,n D è pseudodiagonale se gli elementi di posto i, j con i j sono tutti nulli Quindi, se m = n, le matrici pseudodiagonali sono quelle diagonali Altrimenti sono della forma: λ λ λ m 0 0 se m < n, λ 1 λ 2 λ n In generale, detto s il minimo fra m e n, indicheremo tali matrici mediante se n < m pseudodiag λ 1,, λ s

38 34 CAPITOLO IV FORME NORMALI DELLE MATRICI 21 Definizione Diciamo forma normale ogni matrice pseudodiag d 1,, d s in cui ogni elemento diagonale d i divide il successivo d i+1 22 Lemma Se d D divide tutte le componenti a ij di una matrice A Mat m,n D, allora d divide tutte le componenti di ogni matrice equivalente ad A Ogni matrice equivalente ad A è della forma QAP, con Q GL m D e P GL n D Le componenti di QA sono combinazioni lineari a coefficienti in D di quelle di A, e sono quindi tutte divisibili per d Analogamente le componenti di QAP sono combinazioni lineari di quelle di QA, e sono quindi tutte divisibili per d 23 Lemma Dati a, b D, sia d := MCD a, b Allora: a d in Mat b 0 2,1 D; a, b d, 0 in Mat 1,2 D Siano x, y D tali che d = xa + yb Posto a = da, b = db, si ha 1 = xa + yb x y Ne segue che la matrice ha determinante 1, ed appartiene quindi a GL b a 2 D pertanto: a x y a d = b b a b 0 Trasponendo: a b a b x b y a = d 0 Ricordiamo che, per il Corollario 25 del Capitolo 2, D è fattoriale Questo fatto ci consente di definire la lunghezza λa di ogni elemento non nullo a di D nel modo seguente Se a D, poniamo λa = 0 Altrimenti, considerata una fattorizzazione a = p 1 p k in fattori irriducibili non necessariamente distinti, poniamo λa = k Per esempio, nell anello Z si ha 8 = 2 2 2, quindi λ8 = 3 Notiamo che, per ogni divisore proprio d di a, si ha λd < λa Infatti l insieme dei divisori irriducibili di d è un sottoinsieme proprio di quelli di a 24 Teorema Ogni matrice A = a ij Mat m,n D è equivalente ad una forma normale

39 2 FORME NORMALI NEI DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 35 Se A è la matrice nulla, A A è lei stessa una forma normale Altrimenti scegliamo una componente a ij 0 di A tale che λ a ij sia minima fra le componenti non nulle di A Sostituendo eventualmente A con la matrice π 1k Aπ 1l, ad essa equivalente, possiamo supporre che sia a kl = a 11 Supponiamo che a 11 non divida un elemento della prima riga Dopo un eventuale scambio di colonne, possiamo supporre che a 11 non divida a 12 Ne segue che b 11 := MCDa 11, a 12 è tale che 25 λ b 11 < λ a 11 Ora, tenendo presente il Lemma 23 e ponendo x a12 b 11 = a 11 x + a 12 y, a 11 = b 11 a 11, a 12 = b 11 a 12, P = y a 11 si ottiene: P A A I n 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 x a 12 y a 11 I n 2 = b 11 Sempre per il Lemma 23 ottiene un risultato analogo se a 11 non divide un elemento della prima colonna di A In virtù di 25, questo procedimento ammette solo un numero finito di iterazioni Perveniamo quindi ad una matrice A = a ij, equivalente ad A, in cui a 11 divide tutti gli elementi della prima riga e tutti gli elementi della prima colonna Posto a j1 = a 11 a j1 1 j m, a 1j = a 11 a 1j 1 j n, w = a 21,, a m1 t, v t = a 12,, a 1n, a si ha A 11 a 11 = vt a 11 w Pertanto v t a A A 11 0 = w 0 I n 1 0 I m 1 = A Se a 11 non divide qualche componente di A, sommando alla prima riga di A la riga a cui appartiene quella componente, si ottiene una matrice equivalente ad A, in cui un elemento della prima riga non è divisibile per a 11 Iterando tutto il procedimento un numero finito di volte, si perviene una matrice equivalente ad A della forma: d1 0 0 T

40 36 CAPITOLO IV FORME NORMALI DELLE MATRICI in cui d 1 divide tutte le componenti di T Per induzione, possiamo supporre T pseudodiag d 2,, d m dove d 2 d 3 d m Dal Lemma 22 segue che d 1 divide d 2, pertanto pseudodiag d 1, d 2,, d m è una forma normale Per il Lemma 16 si ha la tesi 26 Esempio In Mat 2 Z la matrice A = Infatti A A = è equivalente a Esempio In Mat 2 Z la matrice A = 2 3 Infatti: A A = ; è equivalente a 1 0 = = 0 11 ; Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari Un sistema lineare di m equazioni in n indeterminate x 1,, x n, a coefficienti in K, si scrive nella forma o, più brevemente, a 11 a 1n a m1 a mn 31 AX = B, con A Mat m,n K, B Mat m,1 K x 1 x n 32 Definizione Ogni C Mat n,1 K tale che si dice soluzione del sistema 31 AC = B = b 1 b m

41 3 APPLICAZIONE ALLA RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI 37 Per quanto osservato sul prodotto di matrici, il vettore AX = x 1 Ae x n Ae n è combinazione lineare delle colonne di A Pertanto il sistema 31 ha almeno una soluzione C Mat n,1 := K n se e solo se B è combinazione lineare, a coefficienti in K, delle colonne di A Si confronti questa osservazione con il Teorema di Rouche Capelli, visto nel corso di Geometria 33 Lemma Per ogni matrice Q GL m K il sistema 31 e il sistema 34 QAX = QB, hanno le stesse soluzioni, ossia sono equivalenti Sia C una soluzione di 31 Da AC = B segue QAC = QB, ossia C è soluzione di 34 Viceversa, sia C una soluzione di 34 Da QAC = QB segue Q 1 QAC = Q 1 QB, ossia AC = B, ossia C è soluzione di 31 Il metodo di risoluzione di un sistema per graduale eliminazione delle indeterminate è fornito dal seguente: 35 Teorema di Gauss Jordan A meno di un riordinamento delle equazioni e delle indeterminate, il sistema 31 è equivalente a un sistema a gradini, ossia della forma: A X = B, dove A ha le seguenti proprietà : 1 è triangolare superiore; 2 per qualche k 0, i primi k elementi sulla diagonale principale sono 1, e gli eventuali rimanenti sono 0 Se A è non nulla, riordinando eventualmente le viariabili e le equazioni possiamo supporre che sia a 11 0 Posto a 21 v = 1 0, Q 1 = v a m1 il sistema 31 è equivalente al sistema: I m 1, Q 2 = diag a 1 11, 1,, 1 Q 1 Q 2 AX = Q 1 Q 2 B in cui x 1 compare soltanto nella prima equazione, e ha coefficiente 1 La tesi segue per induzione sul numero n delle indeterminate

42 38 CAPITOLO IV FORME NORMALI DELLE MATRICI 36 Esempio Sul campo razionale Q, il sistema { x1 + 3x 2 x 3 = 5 4x 1 + 7x 2 + 2x 3 = 0 è equivalente al sistema a gradini: { x1 +3x 2 x 3 = 5 x x 3 = 4 Ricavando x 2 dalla seconda equazione e sostituendolo tale valore nella prima: x 2 = 6 5 x x 1 = 13 5 x 3 7

43 Capitolo V Determinanti In questo capitolo R indica un anello commutativo 1 Definizione e proprietà Ricordiamo che una permutazione si dice pari se è prodotto di un numero pari di scambi Si dice dispari in caso contrario Non è difficile verificare la consistenza di questa definizione, nonostante non sia unico il modo di scrivere una permutazione come prodotto di scambi Chiaramente la permutazione identica è pari prodotto di 0 scambi e ogni scambio ij è dispari 11 Esempio Le permutazioni 123, sono pari Infatti 123 = 1312, = Le permutazioni 1234, sono dispari Infatti 1234 = , = Per ogni σ Symn, poniamo sg σ := 1 se σ è pari, sg σ := 1 se σ è dispari Notiamo che: 12 sg σ 1 σ 2 = sg σ 1 sg σ 2 13 sg σ = sg σ 1 Ne segue che l insieme Altn delle permutazioni pari è un sottogruppo di Symn Esso ha ordine n! 2 ed è detto il gruppo alterno di grado n 14 Lemma Per ogni matrice A = a ij Mat n R, si ha 15 n sg σ a k σk = σ Symn k=1 39 n sg σ a σk k σ Symn k=1

44 40 CAPITOLO V DETERMINANTI Fissata σ, poniamo h = σk Per la commutatività del prodotto in R risulta n n a k σk = k=1 h=1 a σ 1 h h da cui, tenendo presente 13 n sg σ a k σk = sg σ 1 n a σ 1 h h = σ Symn k=1 σ Symn h=1 sg σ 1 n a σ 1 h h = n sg σ a σk k σ 1 Symn h=1 σ Symn k=1 16 Definizione L elemento di R fornito da 15 si chiama determinante di A e si indica con det A a11 a 17 Esempio La matrice A = 12 ha determinante: a 21 a Esempio La matrice A = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ha determinante: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 Notiamo che, per ogni i, j, ciascun addendo dello sviluppo di det A ha un unico fattore il cui primo indice è i ossia che si trova nella riga i-esima di A e un unico fattore il cui secondo indice è j ossia che si trova nella colonna j-esima di A 19 Teorema Il determinante di A Mat n R ha le seguenti proprietà : 1 det A = det A t ; 2 per ρ Symn, detta A la matrice le cui colonne sono Ae ρ1,, Ae ρn, det A = sg ρ det A; 3 se A ha due colonne uguali, det A = 0 R ; 4 se A ha una colonna nulla, det A = 0 R ;

45 1 DEFINIZIONE E PROPRIETÀ 41 5 det A è lineare nelle colonne, ossia da Ae i = λb + µc con λ, µ R, b, c R n, segue : det A = λ det B + µ det C, dove B e C sono le matrici ottenute da A sostituendo Ae i rispettivamente con b e c In virtù di 1, analoghe proprietà valgono per le righe di A 1 Segue da 15 2 Notando che Symn = {σρ σ Symn} e ricordando 12 e 13: det A = n sg σ a k σρk = σ Symn k=1 n sg ρ 1 sg σρ a k σρk = sg ρ det A σ Symn k=1 3 Supponiamo Ae i = Ae j, con i j Detta A la matrice ottenuta da A scambiando la colonna i-esima con la j-esima, si ha A = A e, per il punto 2, det A = det A Quindi, se tutti gli elementi di R hanno caratteristica 2, il punto 3 segue dal precedente Tuttavia esso vale in generale A tale scopo, consideriamo lo scambio τ = i, j Possiamo ripartire Symn in Altn e Altnτ Pertanto det A = n sg σ a σk k = n n a σk k a στk k σ Symn k=1 σ Altn k=1 k=1 Notando che, per tutti gli indici k {i, j}, si ha σk = στk, risulta: det A = aσi i a σj j a σj i a σi j a σk k σ Altn k i,j Da Ae i = Ae j segue a σi i a σj j = a σi j a σj i = per la commutatività del prodotto = a σj i a σi j Pertanto, in ogni addendo di det A, il coefficiente a σi i a σj j a σj i a σi j è nullo Si conclude che det A = 0 4 Ogni addendo dello sviluppo di det A ha un fattore che appartiene a quella colonna, ed è quindi nullo 5 Possiamo supporre:

46 42 CAPITOLO V DETERMINANTI Ne segue: b = b 1 b n, c = c 1 c n det A = σ Symn sg σ n k=1 a σk k = λ σ Symn λ det B + µ det C σ Symn, Ae i = λb 1 + µc 1 λb n + µc n sg σ λb σi + µc σi a σk k = sg σ b σi a σk k + µ k i σ Symn k i sg σ c σi a σk k = k i 110 Corollario Sia A Mat n R Se una colonna riga di A è combinazione lineare delle altre colonne righe, allora deta = 0 Supponiamo, ad esempio, Ae 1 = λ 2 Ae λ n Ae n Per ogni i 2, sia B i la matrice ottenuta da A sostituendo Ae 1 mediante Ae i La matrice B i ha la prima e l i-esima colonna uguali, quindi il suo determinante è 0 Ne segue deta = λ 2 detb λ n detb n = Teorema di Binet Per ogni A, B Mat n R si ha detab = det Adet B Le colonne di AB sono combinazione lineare delle colonne di A, ie, AB = n j=1 b j1ae j n j=1 b jnae j Applicando iteratamente il punto 5 del Teorema precedente si ha: detab = b i1 1 b inn det Aei1 Ae in i 1,i n dove la sommatoria è estesa a tutte le n-ple i 1,, i n con 1 i j n per ogni j Tenendo presente che per le n-ple con almeno due indici uguali si ha det Ae i1 Ae in = 0,