Cenni di teoria dei campi finiti

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1 Cenni di teoria dei campi finiti Luca Giuzzi 31 ottobre 2011 In queste note vengono richiamati alcuni risultati di algebra relativi la teoria dei campi finiti. 1 Anelli Definizione 1. Un anello (R, +, ) è un insieme R con due operazioni binarie tali che 1. R è un gruppo abeliano rispetto +; 2. è associativa; 3. valgono le leggi distributive, ovvero, per ogni a, b, c R, Definizione 2. Un anello è detto: a (b + c) = a b + a c; (b + c) a = b a + c a. 1. con identità se esiste e R tale che per ogni a R, 2. commutativo se l operazione è commutativa; 3. dominio di integrità se 1. è commutativo con identità e ed inoltre 2. ab = 0 implica a = 0 oppure b = 0. a e = e a = a; 4. corpo se gli elementi di R = R \ {0} con l operazione formano gruppo; 5. campo se è un corpo e il gruppo R è commutativo. Esempio Sia R un gruppo abeliano con operazione +, e sia inoltre ab = 0 per ogni a, b R. Allora (R, +, ) è un anello. 2. L insieme Z pq degli interi ridotti modulo pq ove p, q > 1 con le operazioni di prodotto e somma modulo pq è un anello commutativo con identità 1, ma non un dominio di integrità. 1

2 2 3. L insieme degli interi Z con le usuali operazioni di prodotto e somma è un dominio di integrità ma non è un campo. 4. L insieme Z p degli interi ridotti modulo un primo p è un campo. 5. Gli insiemi Q, R, C, con le usuali operazioni di prodotto e somma, sono tutti campi. Definizione 3. Sia R un anello commutativo con identità un elemento a R si dice 1. divisore di b R se esiste c R tale che ac = b; 2. unitario se a è un divisore dell identità (e dunque invertibile rispetto il prodotto); 3. associato a b R se esiste un unità ɛ R tale che a = ɛb; 4. primo se a non è un unità e i suoi unici divisori sono le unità di R e gli associati di a. Esempio 2. In un campo tutti gli elementi tranne lo 0 sono unitari; nell anello Z gli unici elementi unitari sono +1 e 1. L intero 4 Z è associato a 2, ma 2 non è associato a 4. Teorema 1. Ogni dominio di integrità finito è un campo. Dimostrazione. Sia R un dominio di integrità finito e supponiamo, in particolare, R = {a 1, a 2,..., a n }. Fissato a R con a = 0, consideriamo tutti i prodotti aa 1, aa 2,..., aa n. Essi risultano tutti distinti, in quanto se fosse aa i = aa j, allora a(a i a j ) = 0, con a = 0 e a i a j = 0. Ne segue che ogni elemento di R può scriversi come aa i per qualche i. In particolare, e = aa i e, siccome R è commutativo, abbiamo anche e = a i a. Ne segue che a i è l inverso moltiplicativo di a e dunque R \ {0} è un gruppo. Un sottoanello S di un anello R è un sottoinsieme di R che è a sua volta un anello rispetto le operazioni di somma e prodotto di R. Definizione 4. Un sottoinsieme J di un anello R è un ideale se 1. J è un sottoanello di R e 2. per ogni a J e r R si ha ar J e ra J. Se R è un anello commutativo ed a R, allora il più piccolo ideale di R che contiene a viene denotato con (a) e corrisponde a (a) = {ra + na : r R, n Z}. Se R contiene un identità, allora (a) = {ra : r R}. Definizione 5. Un ideale J = R di un anello commutativo R si dice: 1. principale se esiste a R tale che R = (a); 2. primo se, comunque dati a, b R la condizione ab R implica a R oppure b R;

3 1. ANELLI 3 3. massimale se per ogni ideale M tale che J M si ha M = R oppure M = J. Un ideale J di R è sempre un sottogruppo normale del gruppo additivo dell anello e induce, dunque, una partizione di R in classi di residui. L insieme R/J delle classi di residui risulta a sua volta un anello rispetto le operazioni (a + J) + (b + J) = (a + b) + J; (a + J)(b + J) = ab + J. Teorema 2 (Teorema d omomorfismo). Dati due anelli R, S, sia φ : R S un omomorfismo. Allora, 1. ker φ = {r R : φ(r) = 0 S } è un ideale di R; 2. IR S risulta isomorfo all anello quoziente R/ ker φ. Viceversa, se J è un qualsiasi ideale di R, la mappa ψ : R R/J definita da ψ(a) = a + J è un omomorfismo di R su R/J con nucleo J. Un anello commutativo R con unità si dice dominio ad ideali principali se ogni suo ideale è principale. Teorema 3. Sia R un anello commutativo con identità. Allora, 1. Un ideale P di R è primo se, e soltanto se, R/M è un dominio di integrità. 2. Un ideale M di R è massimale se, e soltanto se, R/M è un campo. 3. Ogni ideale massimale di R è primo. Dimostrazione. 1. Sia P un ideale primo di R. Allora R/P è un anello commutativo con identià 1 + P = 0 + P. Se (a + P)(b + P) = (0 + P) abbiamo ab P. Siccome P è primo, si ottiene a P oppure b P, cioè a + P = 0 + P oppure b + P = 0 + P. Ne segue che R/P è un dominio di integrità. L implicazione inversa si deduce semplicemente invertendo l ordine dei passaggi. 2. Sia M un ideale massimale di R. Se a M ma a R, allora l insieme J = {ar + m : r R, m M} è un ideale di R contenente propriamente M, per cui J = R. In particolare esistono r R e m M tali che ar + m = 1. Se ne deduce che (a + M)(r + M) = (ar + M) = (1 m) + M = 1 + M, per cui R/M è un campo. Viceversa, se R/M è un campo, sia J un ideale tale che M J e J = M. Allora, per ogni a J \ M la classe (a + M) deve avere un inverso moltiplicativo (r + M) di modo che (a + M)(r + M) = (1 + M) ove r R. Ne segue ar + m = 1 per qualche m M e, in particolare ar, m J. Ne consegue che 1 J, da cui J = R e dunque M è massimale. 3. Questo punto è conseguenza diretta dei due precedenti. Gli unici ideali di un campo K sono K stesso e l ideale nullo (0).

4 4 2 Domini euclidei Definizione 6. Sia R un dominio di integrità. Una funzione φ : R \ {0} N è detta valutazione euclidea se per ogni a, b R 1. supposto b = 0, esistono q, r R con e φ(r) < φ(b). a = bq + r 2. supposti a, b = 0, φ(a) φ(ab). Un dominio dominio di integrità che ammette almeno una valutazione euclidea è detto dominio euclideo. Esempio 3. Ogni campo F dotato della funzione φ(x) = 1 per ogni x F è un dominio euclideo. L anello degli interi Z con la funzione φ(x) = x è altresì un dominio euclideo. Siano R un anello commutativo e a, x R. Diremo che x divide a, in simboli x a, quando a (x). Definizione 7. Sia R un anello commutativo e consideriamo a, b R. Si dice massimo comun divisore fra a e b ogni elemento d R tale che d a e d b e tale che per ogni x R con x a e x b si abbia x d. È chiaro che x a se, e solamente se, esiste a R tale che a = xa. Si osservi due elementi di un anello commutativo generico possono non ammettere alcun comun divisore. Teorema 4. Ogni dominio euclideo R è un dominio ad ideali principali. Inoltre, dati a, b R non entrambi nulli con massimo comun divisore d, si ha (a, b) = (d). Teorema 5. Se a = 0, oppure b = 0, allora (a, b) = (a) ovvero (a, b) = (b) e non vi è nulla da dimostrare. Supponiamo dunque φ(b) φ(a). Poiché R è un dominio euclideo, esistono q, r R tali che a = bq 0 + r 0 con φ(r 0 ) < φ(b). Poiché r 0 = a bq 0 è immediato verificare che r J e che (b, r 0 ) = (a, b) = J. Iterando la procedura si ottiene con (a, b) = (b, r 0 ) = (r 0, r 1 ) =... = (r t 1, r t ) φ(r t ) < φ(r t 1 ) <... < φ(r 0 ) < φ(b) < φ(a). Poichè poichè la sequenza dei valori φ ri è positiva e strettamente decrescente, essa deve contenere un numero finito di termini. In altre parole, nella scrittura r t = r t 1 q t + r t+1 si deve avere r t+1 = 0. Pertanto r t (r t 1 ) da cui segue (r t 1, r t ) = (r t 1 ), ovvero che l ideale considerato è principale e (r t 1 ) = J. In particolare, l insieme dei divisori comuni fra a e b è non vuoto. Sia ora x R tale che x a e x b. Allora, a = xa e b = xb ; pertanto, xa = xb q 0 + r 0, da cui r 0 = x(a b q 0 ) cioè x r 0. Ripetendo la procedura si puo mostrare che x r i per ogni i. In particolare x r t 1. Pertanto, r t 1 è un massimo comun divisore fra a e b. Viceversa, se d è un massimo comun divisore fra a e b, allora d a e d b, e quindi d r t 1. Ne segue che (r t 1 ) (d). D altro canto, per definizione di massimo comun divisore d (r t 1 ), da cui (d) (r t 1 ).

5 3. CAMPI 5 Corollario 6 (Algoritmo euclideo esteso). Siano a, b, c R. L equazione ax + by = c (1) ammette soluzione se, e solamente se, un massimo comun divisore d fra a e b divide c. Dimostrazione. Abbiamo verificato l uguaglianza fra ideali (a, b) = (d). In particolare (a, b) = {αa + βb : α, β R} e d (a, b). Ne segue che l equazione ax + by = d ammette una soluzione (α, β). Se d c, allora esiste c R tale che c = c d. Pertanto c (aα + bβ) = c d = c e la coppia (c α, c β) è soluzione della (??). Viceversa, se la (??) ammette soluzione, allora c (a, b) = (d). Dunque d c. 3 Campi Definizione 8. Sia R un anello. Il minimo intero (se esiste) n > 0 tale che nr = 0 per ogni r R è detto caratteristica di R. Se tale n non esiste, allora si dice che R ha caratteristica 0. Esempio 4. Il campo R ha caratteristica 0. Teorema 7. La caratteristica di un anello R = {0} con identità e privo di divisori dello zero è 0 oppure un numero primo. Dimostrazione. Supponiamo che la caratteristica n di R sia ab, con a, b > 1. Allora, fissato r R e indicato con e l elemento identico di R si ha che una contraddizione. 0 = ne = (ae)(be), Segue dal precedente teorema che ogni campo finito deve avere per caratteristica un numero primo. Teorema 8. Per ogni primo p, l anello Z p = Z/(p) degli interi modulo p è un campo, detto campo primo di ordine p. Dimostrazione. Per il teorema fondamentale dell aritmetica, l ideale (p) è primo. Il risultato segue ora dal Teorema 3. Esempio 5. Denotiamo con [a] il residuo modulo 3 dell elemento a. Il prodotto e la somma in Z 3 sono descritti nella Tabella 1. Definizione 9. Dato un primo p, denotiamo con F p l insieme {0, 1,..., p 1}. Sia inoltre φ : Z/(p) F p l applicazione definita da φ([a] p ) = a, ove a è un rappresentante positivo minimo per la classe [a] p. L insieme F p con la struttura indotta da φ è un campo detto il campo di Galois di ordine p. Esempio 6. Consideriamo a titolo di esempio il campo F 5 di ordine 5 La somma e il prodotto in questo campo sono descritti in tabella 2.

6 6 + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] Tabella 1: Somma e prodotto in Z Tabella 2: Somma e prodotto in F 5 Teorema 9. Sia R un campo finito di caratteristica un numero primo p. Per ogni a, b R e per ogni n N si ha (a + b) pn = a pn + b pn ; (a b) pn = a pn b pn. Dimostrazione. In generale, ( ) p = i p(p 1) (p i + 1) 1 2 i 0 (mod p). Segue dunque dal teorema del binomio che in caratteristica p, (a + b) p = a 2 + ( ) ( ) p p a p 1 b + + ab p 1 + b p = a p + b p. 1 p 1 A questo punto è possibile usare l induzione su n per dimostrare la prima identità. Per quanto concerne la seconda, osserviamo che a pn = ((a b) + b) pn = (a b) pn + b pn. 4 Anelli di polinomi Sia R un anello. Un polinomio su R è una espressione formale del tipo a(x) = n a i x i = a 0 + a 1 x + + a n x n, i=0 ove n è un intero non negativo, per ogni i si ha a i R e x è un simbolo non appartenente ad R, detto indeterminata. Adottiamo la convenzione che un termine con a i = 0 non venga scritto.

7 4. ANELLI DI POLINOMI 7 Si definiscono la somma e il prodotto di due polinomi come, rispettivamente, a(x) = n a i x i n, b(x) = b i x i i=0 i=0 a(x) + b(x) = a(x)b(x) = n+m k=0 n i=0 (a i + b i )x i ; i+j=k; 0 i,j n a i b j xk. Definizione 10. L insieme di tutti i polinomi su R nell indeterminata x con le operazioni sopra definite forma un anello, detto anello dei polinomi su R e denotato con R[x]. Teorema 10. Sia R un anello. Allora, 1. R[x] è commutativo se, e soltanto se, R è commutativo; 2. R[x] ha identità se, e soltanto se, R ha identità; 3. R[x] è un dominio di integrità se, e soltanto se, R è un dominio di integrità. Definizione 11. Sia f (x) = n i=0 a ix i un polinomio in R diverso dal polinomio nullo, sicché si può supporre a n = 0. In questo caso, 1. a n è detto coefficiente direttore di f ; 2. a 0 è detto termine costante; 3. n è detto grado di f ; 4. f (x) è detto monico se a n = 1. Per convenzione poniamo deg(0) =. Teorema 11. Siano f, g R[x]. Allora, Se R è un dominio di integrità allora, deg( f + g) max(deg f, deg g); deg( f g) deg f + deg g. deg( f g) = deg f + deg g. Nel seguito ci occuperemo essenzialmente di polinomi su di un campo F. Gli unici elementi invertibili di F[x] sono i polinomi costanti. Teorema 12 (Algoritmo della divisione). Sia g = 0 un polinomio in F[x]. Allora, per ogni f F[x] esistono q, r F[x] tali che f = qr + g, ove deg r < deg g. In altre parole, l anello F[x] con la funzione deg : F[x] N è un dominio euclideo.

8 8 Una conseguenza dell algoritmo di divisione è il seguente fondamentale teorema. Teorema 13. L anello F[x] è un dominio ad ideali principali. In effetti, per ogni ideale J = (0) di F[x] esiste un unico polinomio monico g F[x] con J = (g). Dimostrazione. Per il Teorema 10, F[x] è un dominio di integrità. Dato un suo ideale J = (0), sia h(x) un polinomio non nullo di grado minimo in J e sia b il suo coefficiente direttore. Fissiamo g(x) = b 1 h(x). Chiaramente, g J e g è monico. A questo punto, per ogni f J, l algoritmo della divisione consente di calcolare q, r F[x] tali che f = qg + r, deg r < deg g. Siccome J è un ideale, abbiamo f qg = r J. Ne segue, per definizione di g, che r = 0 e, dunque, J = (g). Per quanto concerne l unicità del generatore di J, supponiamo che J = (g) = (g 1 ), ove g 1 è un altro polinomio monico. Allora, g = c 1 g 1, g 1 = c 2 g, con c 1, c 2 F[x]. Se ne deduce g = c 1 c 2 g e, dunque, c 1 c 2 = 1, cioè c 1 e c 2 sono entrambi polinomi costanti. Dato che sia g che g 1 sono monici, se ne deduce che g = g 1. Teorema 14. Siano f 1,..., f n F[x] dei polinomi non tutti nulli. Esiste un unico polinomio monico d F[x] tale che 1. d divide ogni f i ; 2. ogni c F[x] che divide tutti i f i divide d. Inoltre, d può scriversi nella forma con b 1,..., b n F[x]. d = b 1 f b n f n, Definizione 12. Un polinomio p F[x] è detto irriducibile su F se il grado di p è positivo e p = bc con b, c F[x] implica che b o c sono polinomi costanti. Teorema 15 (Fattorizzazione unica in F[x]). Ogni polinomio f F[x] di grado positivo può scriversi nella forma f = ap e 1 1 pe k k, ove a F, i polinomi p 1,..., p k sono monici ed irriducibili in F[x] e e 1,..., e k sono interi positivi. Inoltre, tale fattorizzazione è unica a meno dell ordine dei fattori. Si osservi che i polinomi irriducibili su di un campo F coincidono con gli elementi primi di F[x], per cui vale il seguente teorema. Teorema 16. Dato f F[x], l anello F[x]/( f ) è un campo se, e soltanto se, f è irriducibile su F. Esempio 7. Sia f (x) = x 2 + x + 1 F 2 [x]. Allora, F 2 [x]/( f ) contiene esattamente 4 elementi: [0], [1], [x], [x + 1]. Le operazioni di somma e prodotto in questo anello risultano definite come in Tabella 3. Definizione 13. Un elemento b F è detto radice di un polinomio f F[x] se f (b) = 0.

9 4. ANELLI DI POLINOMI 9 + [0] [1] [x] [x + 1] [0] [0] [1] [x] [x + 1] [1] [1] [0] [x + 1] [x] [x] [x] [x + 1] [0] [1] [x + 1] [x + 1] [x] [1] [0] [0] [1] [x] [x + 1] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [x] [x + 1] [x] [0] [x] [x + 1] [1] [x + 1] [0] [x + 1] [1] [x] Tabella 3: Somma e prodotto in F 2 /( f ) Teorema 17. Un elemento b F è radice del polinomio f F[x] se, e soltanto se, x b divide f (x). Dimostrazione. Usando l algoritmo di divisione si scrive f (x) = q(x)(x b) + c con c F. Sostituendo b ad x si ottiene c = 0. Definizione 14. Sia b una radice del polinomio f F[x]. Supponiamo che f (x) sia divisibile per (x b) k ma non per (x b) k+1, per qualche k 1. Si dice che k è la molteplicità di b. Se k = 1, la radice b si dice semplice; se k 2, allora b è detta radice multipla. Teorema 18. Sia f F[x] con deg f = n 0. Se b 1,..., b m F sono radici distinte di f con molteplicità rispettivamente k 1,..., k n, allora (x b 1 ) k 1(x b 2 ) k 2 (x b m ) k m divide f (x). Di conseguenza, k k m n e f ha al più n radici distinte in F. Definizione 15. Sia f (x) = n i=0 a ix i un qualsiasi polinomio in F[x]. Si dice derivata formale o, più semplicemente derivata di f il polinomio f (x) = n ia i x i 1. i=1 Teorema 19. Sia f F[x]. Allora b F è radice multipla di f se, e soltanto se, esso è contemporaneamente radice sia di f (x) che di f (x). In caratteristica p, la p esima derivata (formale) di un qualsiasi polinomio è identicamente nulla. Al fine di ovviare a questo inconveniente si fornisce la seguente definizione. Definizione 16. Si dice derivata k esima secondo Hasse o iperderivata del polinomio f F[x] il polinomio f [k] (x) = 1 k! f (k) (x). Teorema 20. Un elemento b F è radice di f F[x] con molteplicità k se, e soltanto se, b è uno zero di f [i] (x) per ogni 0 i < k e non è uno zero di f [k] (x). Esempio 8. La derivata k esima secondo Hasse di x n è ( ) n x n k. k Il seguente teorema fornisce un metodo per costruire dei polinomi in F[x] che assumano dei valori prescritti per valori assegnati dell indeterminata.

10 10 Teorema 21 (Formula di interpolazione di Lagrange). Per n 0 siano a 0,..., a n esattamente n + 1 elementi distinti di F e siano altresì b 0,..., b n F elementi arbitrari (non necessariamente distinti). Allora, esiste esattamente un polinomio f F[x] di grado d n tale che f (a i ) = b i per ogni i. Tale polinomio è dato da 5 Estensioni di campo f (x) = n i=0 b i n k = 0 k = i (a i a k ) 1 (x a k ). Definizione 17. Sia F un campo; un sottoinsieme K di F che sia a sua volta un campo è detto sottocampo di F; in questo contesto F viene detto estensione di K. Un campo F, come visto in precedenza, possiede solamente i due ideali banali: F stesso e (0). In particolare, un sottocampo proprio non banale di F non è mai un ideale dello stesso. Definizione 18. Un campo che non contenga sottocampi propri è detto campo primo. Esempio 9. Esempi di campi primi sono l insieme dei numeri razionali Q e i campi finiti F p di ordine primo. In effetti, i casi presentati nell Esempio 9 sono i soli possibili di campi primi. sottocampo primo di un campo F l intersezione di tutti i sottocampi contenuti in F. Chiamiamo Teorema 22. Il sottocampo primo di un qualsiasi campo F è isomorfo a F p oppure a Q. Il primo caso si verifica quando la caratteristica di F è p; il secondo se essa è 0. Definizione 19. Sia K un sottocampo di F ed M un qualsiasi sottoinsieme di F stesso. Il campo K(M) è definito come l intersezione di tutti i sottocampi di F contenenti sia K che M ed è detto il campo estensione di K mediante gli elementi di M. Se M è formato da un singolo elemento θ si dice che L = K(θ) è una estensione semplice di K e θ viene chiamato elemento di definizione di L su K. Un tipo importante di estensione è quella algebrica. Definizione 20. Sia K un sottocampo di F e sia θ F. Se θ soddisfa un equazione polinomiale non banale a coefficienti in K, ovvero esistono a n,... a 0 K, non tutti nulli, tali che a n θ n + a n 1 θ n a 0 = 0, allora θ è detto algebrico su K. Una estensione L di K è detta algebrica se ogni suo elemento è algebrico su K. Definizione 21. Il più piccolo campo K contenente tutti gli elementi algebrici su K è detto la chiusura algebrica di K. Esempio 10. Il campo complesso C è un estensione algebrica del campo reale R mediante l aggiunta dell unità immaginaria i che soddisfa l equazione x = 0. Il campo reale non è un estensione algebrica del campo razionale Q.

11 5. ESTENSIONI DI CAMPO 11 Definizione 22. Sia θ F un elemento algebrico su K. Allora, l unico polinomio monico g K[x] che genera l ideale J = { f K[x] : f (θ) = 0} è detto polinomio minimo di θ su K. Diciamo grado di θ il grado del suo polinomio minimo. Teorema 23. Sia θ F un elemento algebrico su K; allora il polinomio minimo g di θ soddisfa le seguenti proprietà: 1. g è irriducibile su K; 2. per ogni f K[x], si ha f (θ) = 0 se, e soltanto se, g divide f ; 3. g è il polinomio monico in K[x] di più basso grado avente θ come radice. Chiaramente, sia il polinomio minimo che il grado di un elemento algebrico θ dipendono dal campo K su cui θ è assegnato. Se L è un campo estensione di K, allora L può essere visto in modo naturale come spazio vettoriale su K, in quanto K agisce in modo naturale sul gruppo additivo di L. Definizione 23. Sia L un campo estensione di K. Se L, visto come spazio vettoriale su K, ha dimensione finita, allora L viene detto estensione finita di K. La dimensione di L come K spazio vettoriale è detta grado di L su K e denotata come [L : K]. Teorema 24. Se L è un estensione finita di K e M è un estensione finita di L, allora M è un estensione finita di K con [M : K] = [M : L][L : K]. Il seguente teorema mostra il legame fra estensioni algebriche e estensioni finite. Teorema 25. Ogni estensione finita di K è algebrica su K. Dimostrazione. Sia L un estensione finita di K; si assuma m = [L : K]. Per ogni θ L, l insieme di m + 1 elementi {1, θ, θ 2,..., θ m } è necessariamente legato, per cui abbiamo una relazione del tipo a 0 + a 1 θ + + a m θ m = 0, con a i K non tutti nulli. Ne segue che θ è algebrico su K. Il viceversa del teorema precedente non è vero. Ad esempio, la chiusura algebrica di Q è, per definizione, un estensione algebrica di Q ma non è finita. Il campo R non è un estensione algebrica di Q. Abbiamo già visto che il polinomio minimo g su K di un elemento algebrico θ è irriducibile in K e che dunque K/(g) è un campo. Nel seguente teorema si mostra il legame fra tale campo e l estensione K(θ). Teorema 26. Sia θ F un elemento algebrico di grado n su K, e sia g il suo polinomio minimo su K. Allora, 1. K(θ) è isomorfo a K[x]/(g); 2. [K(θ) : K] = n e (1, θ,..., θ n 1 ) è una base di K(θ) su K; 3. ogni α K(θ) è algebrico su K e il suo grado su K divide n. Dimostrazione.

12 12 1. Consideriamo l applicazione τ : K[x] K(θ) definita da τ( f ) = f (θ). È immediato vedere che τ è un omomorfismo di anelli. Per definizione di polinomio minimo, ker τ = (g). Sia ora S l immagine di τ in K(θ). Chiaramente S K[x]/(g), e dunque S è un campo che contiene θ e K. Ne segue, per la minimalità di K(θ) che S = K(θ). 2. Siccome S = K(θ), ogni α K(θ) può scriversi come α = f (θ) per qualche f K[x]. Per l algoritmo della divisione, f = qg + r con q, r K[x] e deg r < deg g = n. Ne segue α = f (θ) = q(θ)g(θ) + r(θ) = r(θ), e dunque α è combinazione lineare di 1, θ,..., θ n 1. Viceversa, se a 0 + a 1 θ + + a n 1 θ n 1 = 0, per degli a i K, allora h(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 ha come radice θ e dunque è un multiplo di g. Siccome deg h < deg g, abbiamo h = 0, il che implica la lineare indipendenza di 1,..., θ n K(θ) è un estensione finita di K, per cui α è algebrico su K. Inoltre K(α) è un sottocampo di K(θ), per cui n = [K(θ) : K] = [K(θ) : K(α)][K(α) : K], da cui segue la tesi. È bene osservare che il precedente teorema presuppone che sia K che θ appartengano ad un campo più grande F. Procediamo ora a definire una nozione di estensione algebrica che prescinda dall esistenza a priori di un sovracampo. Teorema 27. Sia f K[x] un polinomio irriducibile su K. Allora, esiste un estensione algebrica semplice di K che ha una radice α di f come elemento di definizione. Dimostrazione. L anello L = K/( f ) è un campo i cui elementi sono classi di residui della forma [h] = h + ( f ) con h K[x]. Per ogni a K, consideriamo la classe di residui [a] costituita dal polinomio costante ax 0. L applicazione K L data da a [a] è iniettiva e dunque si tratta di un isomorfismo di K su di un sottocampo K di L. In questo modo possiamo vedere L come estensione di K. In altre parole, per ogni h(x) K[x], possiamo scrivere [h] = [a 0 + a 1 x + + a m x m ] = [a 0 ] + [a 1 ][x] + + [a m ][x] m. Identificando [a] con a, l ultima espressione diviene [h] = a 0 + a 1 [x] + + a m [x] m, per cui ogni elemento di L può essere visto come polinomio in [x] a coefficienti in K. Ne segue che L è un estensione semplice di K ottenuta aggiungendo [x]. Infine, se f = b 0 + b 1 x + + b n x n, allora per cui [x] è radice di f. f ([x]) = b 0 + b 1 [x] + + b n [x] n = [b 0 + b 1 x + + b n x n ] = [ f ] = [0], Teorema 28. Siano α, β due radici del polinomio f K[x] irriducibile su K. isomorfismo ψ : K(α) K(β) che trasforma α in β. Allora esiste un

13 5. ESTENSIONI DI CAMPO 13 Definizione 24. Sia f K[x] un polinomio di grado positivo. Data un estensione F di K, si dice che f si spezza in F se f può scriversi come prodotto di fattori lineari in F[x], ovvero esistono elementi α 1,..., α n F tali che f (x) = a(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ). Il campo F è il campo di spezzamento di f su K se f si spezza in F e inoltre F = K(α 1, α 2,..., α n ). Il campo di spezzamento di un polinomio f su K è, in particolare, il più piccolo campo F che contiene tutte le radici di f e K. Il seguente teorema è conseguenza del Teorema 27. Teorema 29 (Esistenza ed unicità del campo di spezzamento). Dato un campo K e un polinomio f K[x] di grado positivo, esiste un campo di spezzamento di f su K. Inoltre due qualsivoglia campi di spezzamento di f su K sono isomorfi fra loro secondo un isomorfismo che mantiene fissi gli elementi di K e trasforma le radici di f le une nelle altre. È importante riuscire a decidere se un polinomio possiede radici multiple sul proprio campo di spezzamento su K. Definizione 25. Sia f K[x] un polinomio di grado n 2 e supponiamo che f (x) = a 0 (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) nel suo campo di spezzamento su K. Il discriminante D( f ) di f è definito come D( f ) = a 2n 2 0 (α i α j ) 2. 1 i<j n Chiaramente D( f ) = 0 se, e soltanto se, f (x) ha una radice multipla. D altro canto è possibile dimostrare che D( f ) K. A tal fine, introduciamo la nozione di risultante di due polinomi. Definizione 26. Siano f (x) = a 0 x n + a 1 x n a n e g(x) = b 0 x m + b 1 x m b m due polinomi in K[x] di grado formale rispettivamente n ed m. Il risultante R( f, g) di f e g è il determinante di ordine m + n a 0 a 1 a n a 0 a 1 a n 0 0 R( f, g) =. 0 0 a 0 a 1 a n b 0 b 1 b m b 0 b 1 b m b 0 b 1 b m ove vi sono esattamente m righe negli a i e n righe nei b i. Chiaramente, R( f, g) K. D altro canto, se f (x) = a 0 (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) nel suo campo di spezzamento su K, allora R( f, g) può calcolarsi come R( f, g) = a m 0 n g(α i ), i=1 per cui R( f, g) = 0 se, e soltanto se, f e g hanno un divisore in comune in K[x]. In particolare, si può calcolare il discriminante di f in termini di risultante come D( f ) = ( 1) n(n 1)/2 a 1 0 R( f, f ), ove f è considerato come polinomio di grado formale n 1...,

14 14 6 Struttura dei campi finiti Teorema 30. Sia F un campo finito. Allora F contiene p n elementi, ove p è un numero primo pari alla caratteristica di F e n è il grado di F sul suo sottocampo primo. Dimostrazione. Siccome F è finito, la sua caratteristica è un primo p e il suo sottocampo primo K è F p. D altro canto F è uno spazio vettoriale di dimensione [F : K] = n su K e dunque F contiene esattamente p n elementi. Teorema 31. Se F è un campo finito con q elementi, allora ogni a F soddisfa l equazione a q = a. Dimostrazione. Se a = 0, la relazione è banalmente soddisfatta. D altro canto gli elementi non nulli di F formano un gruppo di ordine q 1. Il teorema segue. In particolare, il polinomio x q x è identicamente nullo in F q. Conseguenza immediata dell osservazione precedente e del fatto che un polinomio di grado q ha al più q radici è il risultato che segue. Teorema 32. Se F è un campo finito con q elementi e K è un sottocampo di F, allora il polinomio x q x K[x] si fattorizza su F[x] come ed F è il campo di spezzamento di x q x su K. Corollario 33. In ogni campo finito F si ha x q x = (x a), (2) a F x F x = 1. (3) Se F > 2, allora vale anche a = 0. (4) x F Dimostrazione. Svolgendo il prodotto a destra nella Equazione (2) si vede che il coefficiente del termine di primo grado del polinomio x q x si scrive come 1 = ( 1) q 1 a F a. Se q è dispari, q 1 è pari e l uguaglianza è immediata. Se q è pari, allora la caratteristica del campo è 2 e +1 = 1, per cui vale ancora la Relazione (3). Il valore della somma nella Relazione (4) corrisponde al coefficiente del termine di grado q 1 in (2). Tale valore quando q > 2 risulta essere sempre nullo. La tesi segue. Teorema 34 (Esistenza ed unicità (a meno di isomorfismo) dei campi finiti). Per ogni primo p e per ogni intero positivo n esiste un campo finito contenente p n elementi. Ogni campo finito con q = p n elementi è isomorfo al campo di spezzamento di x q x su F p. Dimostrazione.

15 6. STRUTTURA DEI CAMPI FINITI 15 F p 30 F p 6 F p 10 F p 15 F p 2 F p 3 F p 5 F p Figura 1: Struttura dei sottocampi di F p 30. Esistenza: dato q = p n, consideriamo il polinomio x q x in F p [x] e sia F il suo campo di spezzamento su F p. Questo polinomio ha q radici distinte in F, in quanto la sua derivata è qx q 1 1 in F p [x] e dunque costantemente uguale a 1. Sia ora S = { a F : a q a = 0}. Chiaramente, S è un sottocampo di F e S contiene tutte le radici di x q x. Dunque x q x si spezza su S e, per conseguenza S = F. Unicità: Sia F un campo finito con q = p n elementi. Allora, la caratteristica di F è p e dunque F contiene F p come sottocampo. Ne segue che F è un campo di spezzamento di x q x su F p, da cui segue l unicità di F a meno di isomorfismi. L unico (a meno di isomorfismo) campo finito di ordine q = p n costruito come nel teorema precedente è detto Campo di Galois di ordine q e sarà denotato col simbolo F q. Nessun campo finito è algebricamente chiuso; in particolare la chiusura algebrica F q di F q è sempre un campo infinito. Teorema 35 (Criterio per sottocampi). Sia F q un campo finito con q = p n elementi. Allora ogni sottocampo di F q ha ordine p m ove m è un divisore positivo di n. Viceversa, se m divide n, allora esiste esattamente un sottocampo di F q con p m elementi. Esempio 11. Consideriamo a titolo di esempio il campo F p 30 contenente p 30 elementi, ove p è un primo. I divisori positivi di 30 sono 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Le relazioni fra i sottocampi F p i contenuti in F p 30 sono mostrate in Figura 1. Denotiamo con F q il sottogruppo moltiplicativo di un campo finito F q. Teorema 36. Il sottogruppo moltiplicativo F q di F q è un gruppo ciclico di ordine q 1. Dimostrazione. Chiaramente, l ordine di F q è q 1, in quanto ogni elemento diverso da 0 F q è un unità. Il teorema è banale per q = 2. Supponiamo ora q 3 e sia h = p r 1 1 pr 2 2 pr m la decomposizione in fattori primi di h = q 1. Per ogni 1 i m, il polinomio f i (x) = x h/p i 1 possiede al più h/p i radici in F q. Siccome h/p i < h, abbiamo che esistono elementi di F q diversi da 0 che non sono radici di f i. Sia dunque a i un tale elemento e definiamo b i = a h/pr i i i. Un calcolo diretto mostra come b pr i D altronde, i = 1 e dunque l ordine di b i divide p r i i b pr i 1 i i = a h/p i i = 1, ed è dunque della forma p s i i con 0 s i r i.

16 16 per cui l ordine di b i è esattamente p r i i. Asseriamo ora che l ordine di b = b 1 b 2 b m è h. Infatti, se questo non fosse, l ordine di b dovrebbe essere un divisore proprio di h e dunque un divisore di almeno uno degli m interi h/p i, diciamo h/p 1. In tal caso avremmo 1 = b h/p 1 = b h/p 1 1 b h/p 1 2 b h/p m m. D altro canto, se 2 i m, allora p r i i divide h/p 1 e dunque b h/p 1 i = 1. Ne segue b h/p 1 1 = 1, ovvero che l ordine di b 1 divide h/p 1, una contraddizione in quanto l ordine di b 1 è p r 1 1. Ne segue la tesi e b è un generatore di F q. Definizione 27. Un generatore del gruppo ciclico F q è detto elemento primitivo di F q. Il numero di elementi primitivi contenuti in un campo finito F q è esattamente ϕ(q 1), ove ϕ è la funzione di Eulero. Teorema 37. Sia F q un campo finito e F r una sua estensione finita. Allora F r è un estensione algebrica semplice di F q e ogni suo elemento primitivo può essere usato come suo elemento di definizione. Una conseguenza diretta del Teorema 37 è il seguente risultato di esistenza di polinomi irriducibili. Teorema 38. Per ogni campo finito F q e per ogni intero n esiste almeno un polinomio irriducibile in F q [x] avente grado n. Dimostrazione. Sia F r il campo estensione di F q di ordine q n, di modo che [F r : F q ] = n. Per il Teorema 37 esiste ζ F r tale che F r = F q (ζ). Ne segue che il polinomio minimo di ζ è irriducibile di grado n in F q. Osserviamo che il teorema precedente non è costruttivo. Esempio 12. A titolo di esempio, consideriamo il campo F 9. Sia z un suo elemento primitivo. Si noti che z 4 F 3 è un generatore del gruppo F3 e possiamo dunque identificarlo con 2; similmente si vede che z 8 = 1. Le operazioni di F 9 sono descritte nella Tabella 4. Si osservi, in particolare, che, rappresentando gli elementi di F 9 mediante il generatore z del gruppo moltiplicativo, la tabella del prodotto risulta estremamente semplice, mentre risulta più difficile descrivere la somma z z 2 z 3 2 z 5 z 6 z z z 2 z 3 2 z 5 z 6 z z 2 z 7 z 6 0 z 3 z 5 z z z z 2 z 5 z 3 1 z z 6 z 2 z 2 z 7 z 3 z 6 2 z 1 0 z 5 z 3 z 3 z z 7 z 5 z 2 z z 7 z z 5 1 z 6 z 3 z 2 z 5 z 5 z z 2 z 6 z z 7 2 z 6 z 6 z z z 3 z 7 z 2 1 z 7 z 7 z z 6 z 5 0 z z z z 2 z 3 2 z 5 z 6 z z z 2 z 3 2 z 5 z 6 z 7 z 0 z z 2 z 3 2 z 5 z 6 z 7 1 z 2 0 z 2 z 3 2 z 5 z 6 z 7 1 z z 3 0 z 3 2 z 5 z 6 z 7 1 z z z 5 z 6 z 7 1 z z 2 z 3 z 5 0 z 5 z 6 z 7 1 z z 2 z 3 2 z 6 0 z 6 z 7 1 z z 2 z 3 2 z 5 z 7 0 z 7 1 z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 Tabella 4: Somma e prodotto in F 9

17 7. POLINOMI IRRIDUCIBILI SU CAMPI FINITI 17 7 Polinomi irriducibili su campi finiti Si è visto che, dato un campo finito F q e un polinomio irriducibile f F q [x], l insieme F = F q [x]/( f ) è a sua volta un campo finito. In questo paragrafo vogliamo studiare meglio i campi di spezzamento dei polinomi irriducibili. Il risultato principale è che se deg f = m, allora F F q m. Teorema 39. Sia f F q [x] un polinomio irriducibile di grado m. Allora: 1. f ha una radice α in F q m; 2. tutte le radici di f sono semplici e sono date dagli elementi di F q m α, α q, α q2,..., α qm 1. Lemma 40. Sia f F q [x] un polinomio irriducibile sul campo F q e α una sua radice in una qualche estensione di F q. Allora, f divide ogni h F q [x] tale che h(α) = 0. Dimostrazione. Sia a il coefficiente direttore di f. Allora, g(x) = a 1 f (x) è il polinomio minimo di α su F q. Il risultato segue dunque dal Teorema 23. Lemma 41. Sia f F q [x] un polinomio irriducibile su F q di grado m. Allora f (x) divide x qn x se, e soltanto se, m divide n. Dimostrazione. Supponiamo che f (x) divida x qn x e sia α una sua radice, nel suo campo di spezzamento su F q. Chiaramente, α qn = α e dunque α F q n. Ne segue che F q (α) è un sottocampo di F q n. A questo punto, dal Teorema 24 segue che [F q (α) : F q ] = m deve dividere n. Viceversa, se m divide n, allora F q n contiene F q m come sottocampo. Sia dunque α una radice di f nel suo campo di spezzamento su F q. Allora, [F q (α) : F q ] = m e dunque α F q m. Per conseguenza abbiamo α F q n e dunque α qn = α e quindi α è radice di x qn x. Ora il lemma precedente consente di concludere che f (x) divide x qn x. Teorema 39. Sia α una radice di f nel suo campo di spezzamento sopra F q. Abbiamo [F q (α) : F q ] = m, da cui segue, per l unicità dei campi finiti di ordine assegnato che F q (α) = F q m e dunque α F q m. Mostriamo ora che se f (β) = 0, allora anche f (β q ) = 0. Sia f (x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 con a i F q per ogni 0 i m. Allora, f (β q ) = a m β m + a m 1 β m a 1 β + a 0 = a q mβ qm + + a q 1 βq + a q 0 = (a m β m + + a 1 β + a 0 ) q = f (β) q = 0. Ne segue che α, α q,..., α qm 1 sono tutte radici di f. Per concludere il teorema rimane solamente da mostrare che esse sono tutte distinte fra loro. Supponiamo, per assurdo, che sia vero il contrario, ovvero che α qj = α qk per qualche j, k con 0 j < k m 1. Allora, elevando il tutto alla potenza q m k otteniamo α qm k+j = α qm = α. Per il Lemma 40, f (x) dovrebbe dividere x qm k+j 1 e dunque m divide m k + j. D altro canto m k + j < m, per cui si giunge ad una contraddizione. Corollario 42. Sia f un polinomio irriducibile in F q [x] di grado m. Allora il campo di spezzamento di f è F q m. Corollario 43. Ogni due polinomi irriducibili in F q [x] del medesimo grado hanno campi di spezzamento isomorfi.

18 18 8 Automorfismi di un campo finito Definizione 28. Sia F q m un estensione di F q. Un automorfismo σ di F q m su F q è un automorfismo di F q m che fissa tutti gli elementi di F q. Chiaramente, l insieme di tutti gli automorfismi di F q m su F q forma un gruppo, il gruppo di Galois Gal(F q m : F q ) di F q m su F q. In questo paragrafo studieremo la struttura di tale gruppo. Definizione 29. Sia F q m un estensione di F q. Per ogni elemento α F q m i coniugati di α rispetto F q sono gli elementi α, α q, α q2,..., α qm 1. È conseguenza del Teorema 9 che le applicazioni { Fq m F q m σ j : α α qj sono monomorfismi di F q n in se stesso; la finitezza di F q n garantisce automaticamente la suriettività. Inoltre, per ogni β F q, σ i (β) = β qi = β, per cui le σ i sono elementi di Gal(F q m : F q ). Tali automorfismi sono detti automorfismi di Frobenius dell estensione [F q m : F q ]. Se α è un elemento primitivo di F q m su F q, allora 0 i < j m 1 implica σ i (α) = σ j (α), per cui gli automorfismi σ i con 0 i m sono tutti distinti fra di loro. Inoltre, σ i σ j = σ i+j ; σ i 1 = σ i, per cui l insieme delle σ i è un sottogruppo ciclico. Teorema 44. Il gruppo di Galois di un estensione F q m : F q è ciclico di ordine m e consiste in tutti e soli gli automorfismi di Frobenius σ 0, σ 1,..., σ m 1. Dimostrazione. Sia σ un qualsiasi automorfismo di F q m su F q e sia altresì β un elemento primitivo di F q m con polinomio minimo f (x) = x m + a m 1 x m a 0 F q [x] su F q. Chiaramente, 0 = σ(β m + a m 1 β m a 0 ) = σ(β) m + a m 1 σ(β) m a 0, per cui σ(β) è una radice di f in F q m. Segue ora dal Teorema 39 che σ(β) = β qj per qualche j con 0 j m 1. Siccome σ è un automorfismo questo implica σ(α) = α qj per ogni α F q m e dunque σ = σ j. Per concludere il teorema osserviamo che σ 1 è un generatore per Gal(F q m : F q ). 9 Traccia e norma Siano K = F q e F = F q m. In questo paragrafo considereremo essenzialmente F come spazio vettoriale di dimensione m su K. In particolare, gli automorfismi di campo del gruppo di Galois di F su K sono trasformazioni lineari di F. Quando α F è un elemento di definizione per F su K, gli elementi {1, α, α 2,..., α m 1 } sono tutti linearmente indipendenti su K e dunque formano una base di F.

19 9. TRACCIA E NORMA 19 Definizione 30. Sia α F un elemento di definizione di F su K. {1, α, α 2,..., α m 1 } è detta base polinomiale di F su K. Definizione 31. Sia α F. Si dice traccia di α su K l elemento di K dato da Tr F/K (α) = α + α q + + α qm 1. Se K è il sottocampo primo di F, allora Tr F/K (α) è detta traccia assoluta. Teorema 45. La funzione traccia Tr F/K : F K soddisfa le seguenti proprietà: 1. Tr F/K (α + β) = Tr F/K (α) + Tr F/K (β) per ogni α, β F. 2. Tr F/K (cα) = c Tr F/K (α) per ogni c K, α F; La base di F su K data da 3. Tr F/K è una trasformazione lineare da F a K, qualora sia F che K siano visti come K spazi vettoriali; 4. Tr F/K (a) = ma, per ogni a K; 5. Tr F/K (α q ) = Tr F/K (α), per ogni α F. La traccia può essere usata per descrivere ogni trasformazione lineare da F in K ed è indipendente dalla scelta delle basi. Teorema 46. Sia F un estensione finita di un campo finito K, entrambi considerati come K spazi vettoriali. Le trasformazioni lineari da F in K sono esattamente le applicazioni lineari L β con β F date da L β (α) = Tr F/K (βα) per ogni α F. Inoltre se β = γ, allora L β = L γ. Teorema 47 (Transitività della traccia). Sia K un campo finito, F un estensione finita di K e E una estensione finita di F. Allora, Tr E/K (α) = Tr F/K (Tr E/F (α)). Definizione 32. Sia α F. Si dice norma N F/K (α) di α su K il numero N F/K = α α q α qm 1 = α (qm 1)/(q 1). Se g(x) = x m + a m 1 x m a 0 è il polinomio minimo di α su K, allora Tr F/K (α) = a m 1 ; N F/K (α) = ( 1) m a 0. Teorema 48. La funzione norma N F/K : F K soddisfa le seguenti proprietà: 1. N F/K (αβ) = N F/K (α)n F/K (β) per ogni α, β F; 2. N F/K mappa F in K e F in K ; 3. N F/K (a) = a m per ogni a K; 4. N F/K (a q ) = N F/K (a) per ogni a F. Teorema 49 (Transitività della norma). Sia K un campo finito, F un estensione finita di K ed E un estensione finita di F. Allora, per ogni α E N E/K (α) = N F/K (N E/F (α)). Definizione 33. Siano A = {α 1,..., α m } e B = {β 1,..., β m } due basi di F su K. Si dice che A e B sono duali o complementari se per 1 i, j m si ha { 0 se i = j Tr F/K (α i β j ) = 1 se i = j Lemma 50 (Lemma di Artin). Siano ψ 1,..., ψ m omomorfismi distinti di un gruppo G nel gruppo moltiplicativo F di un qualsiasi campo F. Allora, fissati a 1,..., a m F non tutti nulli, esiste almeno un g G tale che a 1 ψ 1 (g) + a 2 ψ 2 (g) + + a m ψ m (g) = 0.

20 20 Rammentiamo alcune definizioni relative un operatore lineare T su di uno spazio vettoriale qualsiasi: 1. un polinomio f (x) = a n x n + + a 1 x + a 0 annulla T se a n T n + + a 1 T + a 0 I = 0, ove I è l operatore identico e 0 l operatore nullo; 2. l unico annullatore monico di grado minimo di T è detto polinomio minimo di T; 3. il polinomio caratteristico g(x) di T è dato da g(x) = det(xi T); 4. il polinomio minimo di un operatore T divide il polinomio caratteristico dello stesso; 5. un vettore α è detto vettore ciclico per T se i vettori T k α con k = 0, 1,... generano V; 6. un operatore lineare T su di uno spazio vettoriale V di dimensione finita ammette vettori ciclici se, e soltanto se, il polinomio caratteristico e il polinomio minimo di T coincidono. Definizione 34. Sia K = F q e F = F q m. Una base di F su K della forma {α, α q,..., α qm 1 }, data da un elemento α F e da tutti i suoi coniugati è detta base normale di F su K. È possibile dimostrare che esistono sempre delle basi normali. Teorema 51 (Esistenza di basi normali). Dati un qualsivoglia campo finito K ed una sua estensione F, esiste una base normale di F su K. Dimostrazione. Siano K = F q e F = F q m. Abbiamo già osservato come gli elementi 1 = σ 0, σ, σ 2,..., σ m 1 del gruppo di Galois di F su K agiscono come operatori lineari su F, visto come K spazio vettoriale. Poiché σ m = 1, il polinomio x m 1 K[x] annulla σ. Consideriamo ora i vari σ i come endomorfismi del gruppo F. Per il Lemma di Artin (50) si vede immediatamente che nessun polinomio di grado minore di m può annullare σ e, per conseguenza, x m 1 è il polinomio minimo di σ. D altro canto, il grado del polinomio caratteristico di σ è a sua volta m, per cui esiste un elemento α F che è ciclico rispetto a σ, ovvero α, σ(α), σ 2 (α),... generano F su K. Osservando che σ i (α) = α qi e eliminando gli elementi ripetuti in tale successione otteniamo che α, α q,..., α qm 1 generano F e ne formano dunque una base normale. Il teorema 51 può essere raffinato nel modo seguente. Teorema 52. Ogni campo finito F ammette una base normale formata da elementi primitivi sul suo sottocampo primo. Concludiamo presentando un criterio per determinare se una base di F q m su F q è normale. Teorema 53. Sia α F q m. La sequenza A = {α, α q, α q2,..., α qm 1 } è una base normale di F q m su F q se, e soltanto se, i polinomi x m 1 e αx m 1 + α q x m α qm 2 x + α qm 1 sono relativamente primi in F q m [x].

21 10. RADICI DELL UNITÀ E POLINOMI CICLOTOMICI Radici dell unità e polinomi ciclotomici Definizione 35. Sia n un intero positivo. Il campo di spezzamento su F del polinomio x n 1 è detto n esimo campo ciclotomico su F e denotato con il simbolo F (n). Le radici di x n 1 in F (n) sono dette radici n esime dell unità e l insieme di tutte tali radici è denotato col simbolo E (n). Caratterizziamo ora le proprietà dell insieme E (n). Teorema 54. Sia n un intero positivo e F un campo di caratteristica p. Allora, 1. Se p non divide n, l insieme E (n) è un gruppo ciclico di ordine n; 2. Se p divide n scriviamo n = mp e ove m, e sono interi positivi e p non divide m. Allora, F (n) = F (m), E (n) = E (m) e le radici di x n 1 in F (n) sono esattamente gli elementi di E (m) e ognuna di esse ha molteplicità p e. Nel seguito supporremo sempre che F sia un campo di caratteristica p e che n sia un intero non divisibile per p. Definizione 36. Sia F un campo di caratteristica p ed n un intero non divisibile per p. generatore del gruppo ciclico E (n) è detto radice primitiva n esima dell unità. Un Il numero delle radici primitive n esime dell unità è esattamente φ(n), ove con φ si denota la funzione di Eulero. Definizione 37. Sia ζ una radice primitiva n esima dell unità su F. Il polinomio Q n (x) = è detto n esimo polinomio ciclotomico su F. n (x ζ s ) s=1,gcd(s,n)=1 È chiaro che la definizione del polinomio Q n (x) non dipende dalla scelta di ζ. Teorema 55. Sia F un campo di caratteristica p ed n un intero non divisibile per p. Allora 1. x n 1 = d n Q d (x); 2. i coefficienti di Q n (x) appartengono al sottocampo primo di F. Se il sottocampo primo di F è il campo razionale, allora Q n (x) Z[x]. Dimostrazione. 1. Ogni radice n esima dell unità su F è una radice primitiva d esima per esattamente un divisore positivo d di n. In particolare, se ζ è una radice primitiva n esima dell unità su F e ζ s è un elemento arbitrario di E (n), allora d = n/ gcd(s, n), ovvero d è l ordine di ζ s in E (n). Siccome x n 1 = n s=1 (1 ζ s ), la formula della tesi si ottiene raccogliendo tutti i fattori (x ζ s ) per cui ζ s è una radice primitiva d esima dell unità.

22 22 2. Dimostriamo l asserto per induzione su n. Osserviamo innanzi tutto che Q n (x) è un polinomio monico. Per n = 1 si ha Q 1 = x 1 e la tesi è ovvia. Sia n > 1 e usiamo la forma forte del principio di induzione, per cui supponiamo che l asserto valga per tutti i Q d (x) con 1 d < n. Allora, per il punto precedente Q n (x) = (x n 1)/ f (x), ove f (x) = d n,d<n Q d (x). L ipotesi induttiva implica che f (x) è un polinomio con coefficienti nel sottocampo primo di F o in Z quando p = 0. Usando ora l algoritmo della divisione fra x n 1 e il polinomio monico f (x) vediamo che pure i coefficienti Q n (x) appartengono al sottocampo primo (o a Z). I risultati di cui sopra possono essere applicati per definire la nozione di classe ciclotomica. Definizione 38. Dati q, n ed i interi positivi prefissati, una classe ciclotomica di q modulo n contenente i è un insieme C i = {i, iq, iq 2,..., iq t 1 }, i cui elementi sono calcolati modulo n, ove t è il più piccolo intero positivo tale che iq t i (mod n). Se α è una radice primitiva n esima dell unità, allora per la dimostrazione del Teorema 55, l elemento α i risulta a sua volta una radice primitiva d = n/ gcd(n, i) esima dell unità. È immediato vedere che anche α iq, α iq2,... sono tutte radici d esime dell unità. Se t t ove t è il più piccolo intero tale che iq t i (mod n), allora gli α iqt sono tutti distinti fra loro. Pertanto, m α i(x) = t 1 j=0 (x α iqj ) è un divisore di f (x) = x n 1 ed ha grado uguale alla cardinalità della classe ciclotomica C i. Dall osservazione precedente discende che le classi ciclotomiche di q modulo n possono essere utilizzate per determinare i fattori irriducibili di f (x) = x n 1 sopra un campo finito F q. Teorema 56. Il numero dei fattori irriducibili sopra F q del polinomio f (x) = x n 1 è uguale al numero delle classi ciclotomiche di q modulo n. Inoltre, l ordine di ciascuno di tali fattori coincide con il numero di elementi che compongono la corrispondente classe ciclotomica. Esempio 13. Supponiamo di dover fattorizzare f (x) = x 15 1 sopra Z 2. Le classi ciclotomiche di 2 modulo 15 distinte sono Ciò mostra che f (x) si spezza in: C 0 = {0} C 1 = {1, 2, 4, 8} C 3 = {3, 6, 12, 9} C 5 = {5, 10} C 7 = {7, 14, 13, 11}.

23 10. RADICI DELL UNITÀ E POLINOMI CICLOTOMICI un temine lineare, 2. un termine quadratico irriducibile, 3. tre termini quartici irriducibili.