G. Parmeggiani, 28/4/2016 Algebra Lineare, a.a. 2015/2016, numero di MATRICOLA PARI. Svolgimento degli Esercizi per casa 7

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1 G. Parmeggiani, 8/4/6 Algebra Lineare, a.a. 5/6, Scuola di Scienze - Corsi di laurea: Studenti: Statistica per l economia e l impresa Statistica per le tecnologie e le scienze numero di MATRICOLA PARI Svolgimento degli Esercizi per casa 7 { } a Sia W a R l insieme delle matrici reali anti-simmetriche a di ordine. Si provi che W è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale reale M (R) e si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di M (R) è un insieme di generatori per W : { } S ; S S 3 { } ; {( )} 3 3 Proviamo prima che W è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale reale M (R). MODO (i) O W : O M (R) e O T O O (ii) A W A M (R) A + B M (R) B W B M (R) A W A T A B W B T (A + B)T A T + B T A B (A + B) B A + B W. (iii) α C, A W? αa W

2 A W A M (R) αa M (R) A W A T A (αa) T αa T α( A) αa αa W MODO (i) esiste a R tale che (ii) Se A, B W esistono a, b R tali che a A e B a inoltre Poichè a : si prenda a. a b, b A + B W c R A + B A + B a + a ( b b c. c a + b (a + b) basta prendere c a + b. a (iii) Se A W esiste a R tale che A, inoltre per ogni scalare a α R αa W b R 3 b αa. b Poichè basta prendere b αa. αa α a a Dunque W è un sottospazio di M (R). αa, αa Vediamo ora quale tra S, S e S 3 è un insieme di generatori di W. S : { } Dal momento che ogni elemento di S ; è un elemento di W, per stabilire se S è o non è un insieme di generatori di W, spazio vettoriale reale, occorre stabilire se per ogni A W esistono α ed α numeri reali tali che ( ) α A α + α + α α α ),

3 Poichè per ogni A W esiste a R tale che A stabilire se per ogni a R il sistema a, il problema diventa a ( ) { α + α a α α a nelle incognite reali α, α ha soluzione. ( ) è equivalente all unica equazione α α a che ha soluzioni per ogni a R (si prendano ad esempio α ed α a). Dunque S è un insieme di generatori per W come spazio vettoriale reale. { } S : Poichè / W, allora S ; non è un insieme di generatori per W. {} 3 3 S 3 : Dal momento che W, per stabilire se S è o non è un insieme di generatori per W come spazio vettoriale reale occorre stabilire se per ogni A W esiste α R tale che A α 3 3 Poichè per ogni A W esiste a R tale che A stabilire se per ogni a R il sistema ( ) 3α 3α a, il problema diventa a ( ) { 3α a 3α a nell incognita reale α ha soluzione. Poichè ( ) ha soluzione per ogni a R (α a/3), allora S 3 è un insieme di generatori per W come spazio vettoriale reale. Si dica se S v è un insieme di generatori di R 3. ; v ; v 3 4 3

4 Per stabilire se S è o non è un insieme di generatori di R 3 occorre stabilire se a b R 3 esistono α, α, α 3 R tali che c α v +α v +α 3 v 3 α +α 3 per ogni a b c 4 8 +α 3 4 α + 3α + α 3 α 4α + α 3 α + 8α 4α 3 ossia che il sistema lineare ( ) α + 3α + α 3 a α 4α + α 3 b α + 8α 4α 3 c nelle incognite α, α, α 3 ha soluzione qualunque siano a, b, c R. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene 3 a 4 b E 3( )E () 3 a 3 a + b 8 4 c 6 c a E 3 ( )E ( ) 3 a 3 a b. b + c Poichè esistono a, b, c R tali che b + c (si prendano ad esempio a b e c ), allora ( ) non ha soluzione qualunque siano a, b, c R, per cui S non è un insieme di generatori di R 3. 3 Siano v ; v 3 6 e v 3 3 ed e 3 R 3. Si dica per quali 4 x R l insieme di vettori S (x) {v ; v ; v 3 ; x e 3 } è un insieme di generatori di R 3. S (x) {v ; v ; v 3 ; x e 3 } è un insieme di generatori di R 3 se e solo se per ogni a b R 3 esistono α, α, α 3, α 4 R tali che c a b α v + α v + α 3 v 3 + α 4 x e 3 c α + α α α 4 x α + 3α + α 3 α + 6α + 3α 3 4α 3 + α 4 x 4

5 ossia se e solo se il sistema lineare α + 3α + α 3 a ( ) α + 6α + 3α 3 b 4α 3 + α 4 x c nelle incognite α, α, α 3, α 4 ha soluzione per ogni a, b, c R. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene 3 a 6 3 b E ( ) 3 a b a 4 x c 4 x c E 3 ( 4) 3 a b a ( B(x) c(x) ) x c 4b + a Se x ( B(x) c(x) ) E 3 ( x ) 3 a b a ( U(x) d(x) ) c 4b+8a x Poichè d(x) è libera per ogni a, b, c R, allora S (x) è un insieme di generatori di R 3. Se x 3 a B() c() b a ( U() d() ) c 4b + 8a Poichè esistono a, b, c R per cui d() è dominante (ad esempio si prendano a b e c ), allora S () non è un insieme di generatori di R 3. Concludendo, S (x) è un insieme di generatori di R 3 se e solo se x. 4 Si dica quale dei seguenti sottoinsiemi di R 3 è linearmente indipendente: v 4 ; v 4 6 ; v 3, w 4 ; w ; w 3 ;. 5

6 () Per stabilire se {v ; v ; v 3 } sia linearmente indipendente o linearmente dipendente, occorre stabilire se gli unici numeri reali α, α, α 3 per cui α v + α v + α 3 v 3 siano α α α 3, oppure no. Poichè, dati α, α, α 3 R, si ha α v + α v + α 3 v 3 α 4 + α α 3 allora α v + α v + α 3 v 3 se e solo se 4α + α 3 ( ) 4α + 6α α 3 α + α 3 4α + α 3 4α + 6α α 3 α + α 3 Il problema diventa quindi stabilire se il sistema ( ) (nelle incognite α, α, α 3 ), abbia un unica soluzione (e quindi la soluzione nulla matrice aumentata di ( ) è: Facendo un eliminazione di Gauss si ottiene: ), oppure no. La E 3( )E ( 4 ) E ( 4 )E 3/ /4 4 3/ /4 / ( U ). Poichè non tutte le colonne di U sono dominanti, allora ( ) ha soluzioni. In particolare ( ) ha una soluzione non nulla, e quindi {v, v, v 3 } è linearmente dipendente (ad esempio, poichè ( ) è equivalente a { α + 3 α 4 α 3 α + α 3 prendendo α 3 con la sostituzione all indietro si ottiene α quad e α 3 α 4 α , 6

7 ossia è una soluzione non nulla di ( ) e v v + v 3 è una combinazione lineare nulla di v, v, v 3 con coefficienti non tutti nulli). () Per stabilire se {w ; w ; w 3 } sia linearmente indipendente o linearmente dipendente, occorre stabilire se gli unici numeri reali α, α, α 3 per cui α w + α w + α 3 w 3 siano α α α 3, oppure no. Poichè, dati α, α, α 3 R, si ha α w + α w + α 3 w 3 α 4 + α allora α w + α w + α 3 w 3 se e solo se α + α 3 ( ) 4α α 3 α + α 3 + α 3 α + α 3 4α α 3 α + α 3 Facendo un eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata di ( ) si ottiene: 4 /4 E ( 4 )E E 3( ) /4 E 3( ) /4 ( U ). Poichè tutte le colonnedi U sono dominanti, allora ( ) ha come unica soluzione la soluzione nulla, ossia α w + α w + α 3 w 3 α α α 3. Quindi {w, w, w 3 } è linearmente indipendente. 5 Sia W l insieme delle matrici anti-simmetriche reali di ordine. W è uno spazio vettoriale reale, essendo un sottospazio di M (R) (si veda l esercizio 6). Si considerino i suoi sottoinsiemi S, S e S 3 definiti nell esercizio 6. Per ciascuno di essi si dica se è linearmente indipendente oppure linearmente dipendente. 7

8 S : Per stabilire se S sia linearmente indipendente o linearmente dipendente, occorre stabilire se gli unici numeri reali α ed α per cui α + α siano α α, oppure no. Poichè, dati α, α R, si ha allora se e solo se α ( + α α ( ) + α { α + α α α Poichè ( ) è equivalente all unica equazione α + α α α ) α + α che ha una soluzione non nulla (si prenda ad esempio α e con la sostituzione all indietro si ottiene α, per cui è una soluzione non nulla di ( ) e + è una combinazione lineare nulla degli elementi di S con coefficienti non tutti nulli). Quindi S è linearmente dipendente. S : S non è un sottoinsieme di W. La domanda se S sia o non sia linearmente indipendente ha senso non nello spazio vettoriale W, ma in tutto M (R). Per stabilire se S sia linearmente indipendente o linearmente dipendente (in M (R)), occorre stabilire se gli unici numeri reali α ed α per cui α + α 8

9 siano α α, oppure no. Poichè, dati α, α R, si ha α + α ( α ) α α allora se e solo se α + α α α, Quindi S è linearmente indipendente in M (R). S 3 : è α, per cui Essendo 3 3 α, l unico α R per cui si abbia 3 3 S 3 è linearmente indipendente., 6 Sia V {a + bx + cx a, b, c C} lo spazio dei polinomi a coefficienti complessi di grado minore od uguale a. Si provi che B {+x ; x x ; +x} è una base di V. Per provare che B è una base di V occorre provare che B è un insieme di generatori di V e che B è linearmente indipendente (L.I.). Per provare che B V è un insieme di generatori di V occorre provare che per ogni a + bx + cx V esistono scalari α, β, δ C tali che a + bx + cx α( + x ) + β(x x ) + δ( + x), ossia che il sistema lineare ( ) α + δ a β + δ b α β c 9

10 nelle incognite α, β e δ ha soluzione qualunque siano a, b, c C. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene a b E 3( )E ( ) a b E3() c c a a b c a + b E3() a b c a + b ( U d ). Poichè d è libera qualunque siano a, b, c C, allora ( ) ha soluzione per ogni a, b, c C, e quindi B è un insieme di generatori di V. Per provare che B è L.I. occorre provare che l unica combinazione lineare nulla di suoi elementi ha tutti i coefficienti nulli, ossia che Da α( + x ) + β(x x ) + δ( + x) α β δ. α( + x ) + β(x x ) + δ( + x) (α + δ) + (β + δ)x + (α β)x si ottiene il sistema lineare nelle incognite α, β e δ α + δ ( ) β + δ α β Dal momento che ( ) si ottiene da ( ) ponendo a b c, una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata di ( ) si ottiene da quella trovata per ( ) ponendo a b c : a b ( U ). c a + b Poichè l ultima colonna di ( U ) è libera, ( ) ha soluzioni, e poichè l ultima colonna di ( U ) è nulla, tra le soluzioni di ( ) c è quella nulla (ossia α β ). Inoltre, dal momento che tutte le colonne di U sono δ dominanti, ( ) ha un unica soluzione. Dunque l unica soluzione di ( ) è quella nulla, per cui B è L.I. 7 Si provi che B { B ; B ; B 3 }

11 è una base dello spazio vettoriale V delle matrici complesse triangolari inferiori. Per provare che B è una base di V occorre provare che B è un insieme di generatori di V e che B è linearmente indipendente (L.I.). Per provare che ( B ) V è un insieme di generatori di V occorre provare che a per ogni A V esistono scalari α, β, δ C tali che b c a αb b c + βb + δb 3 α + β + δ α + β, α + β + δ α + β ossia che il sistema lineare ( ) α + β a α + β + δ b α + β c nelle incognite α, β e δ ha soluzione qualunque siano a, b, c C. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene a b c a a b c b E 3( )E ( ) E 3( ) a b a c a E 3()E ( ) a a b ( U d ). b c Poichè d è libera qualunque siano a, b, c C, allora ( ) ha soluzione per ogni a, b, c C, e quindi B è un insieme di generatori di V. Per provare che B è L.I. occorre provare che l unica combinazione lineare nulla di suoi elementi ha tutti i coefficienti nulli, ossia che αb + βb + δb 3 O α β δ. Da αb + βb + δb 3 α α + β, α + β + δ α + β + β + δ

12 si ottiene il sistema lineare nelle incognite α, β e δ α + β ( ) α + β + δ α + β Dal momento che ( ) si ottiene da ( ) ponendo a b c, una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata di ( ) si ottiene da quella trovata per ( ) ponendo a b c : a a b ( U ). b c Poichè l ultima colonna di ( U ) è libera, ( ) ha soluzioni, e poichè l ultima colonna di ( U ) è nulla, tra le soluzioni di ( ) c è quella nulla (ossia α β ). Inoltre, dal momento che tutte le colonne di U sono dominanti, δ ( ) ha un unica soluzione. Dunque l unica soluzione di ( ) è quella nulla, per cui B è L.I.