Lezione 4: Base e dimensione

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1 Lezione 4: Base e dimensione 1 Base: definizione ed esempi Come la parola stessa suggerisce, il concetto di base di uno spazio vettoriale e fondamentale e racchiude tutte le informazioni necessarie a ricostruire lo spazio vettoriale stesso. Vediamo alcuni esempi per motivarci, prima di procedere nelle definizioni e proposizioni. Esempio 1.1. Nella lezione precedente abbiamo visto diversi esempi di insiemi di generatori dello spazio vettoriale R, come: R = Span{(1, 0), (0, 1)} = Span{(1, 0), (0, 1), (1, 1)} Se ad un insieme che genera R aggiungiamo un vettore, questo insieme continua a generare R per la proposizione 1.5 della lezione 3. La domanda che ci poniamo e : come possiamo trovare un insieme minimale, cioe il piu piccolo possibile, di generatori per lo spazio R? Sempre la proposizione 1.5 della lezione 3 ci viene in aiuto: se eliminiamo vettori che sono combinazione lineare degli altri lo span non cambia, come l equazione ( ) ci esemplifica chiaramente. Nell esempio che stiamo esaminando possiamo eliminare il vettore (1, 1) in quanto combinazione lineare di (1, 0) e (0, 1): (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) e lo span non cambia. Se ora proviamo pero a ridurre ulteriormente l insieme di generatori lo span cambia. Infatti Span{(1, 0)} e la sola retta delle ascisse, mentre Span{(0, 1)} e la sola retta delle ordinate. Dunque se eliminiamo uno dei due vettori (1, 0) e (0, 1) l insieme generato cambia, non ci sono in altre parole generatori superflui. Non ci puo essere sfuggita l importante differenza tra i due insiemi: {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}. Il primo e linearmente indipendente, mentre il secondo e linearmente dipendente. Quindi abbiamo visto in questo esempio che a partire da un insieme di generatori possiamo eliminare uno ad uno i generatori che sono combinazione lineare degli altri, fino a giungere ad un insieme linearmente indipendente in cui appunto nessun vettore e combinazione lineare degli altri (proposizione 1.8 della lezione 3). A questo punto non possiamo piu eliminare vettori senza cambiare lo span. La prossima proposizione formalizza le conclusioni dell esempio precedente e ci fornisce un algoritmo per arrivare ad un sistema minimale di generatori (come vedremo tale sistema sara denominato base). 1

2 Proposizione 1.. Sia V = Span{v 1,...,v n }. Allora esiste un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di { v 1...v n } che genera V. Dimostrazione: Passo uno. V = Span{ v 1,...,v n } per ipotesi. Se v 1...v n sono linearmente indipendenti allora abbiamo dimostrato l enunciato. Altrimenti uno dei vettori, supponiamo v n, e combinazione lineare degli altri. Per la proposizione 1.5 vista nella lezione precedente: V = Span{ v 1,...,v n } = Span{ v 1,...,v n 1 }. Passo due. V = Span{ v 1,...v, n 1 } dal passo uno. Se v 1,...,v n 1 sono linearmente indipendenti allora abbiamo terminato. Altrimenti uno dei vettori, supponiamo v n 1, e combinazione lineare degli altri. Per la proposizione 1.5 vista nella lezione 3: V = Span{ v 1...v n } = Span{ v 1...v n 1 } = Span{ v 1...v n }. E chiaro che dopo un numero finito di passi si arriva ad un insieme in cui nessun vettore e combinazione lineare degli altri, dunque ad un insieme linearmente indipendente (proposizione 1.8 lezione 3). Siamo pronti per la definizione di base. Definizione 1.3. Sia V uno spazio vettoriale. L insieme {v 1,...,v n } si dice base se: 1. I vettori v 1,...,v n sono linearmente indipendenti,. I vettori v 1,...,v n generano V. Teorema 1.4. Una base di uno spazio vettoriale V e un insieme minimale di generatori di V. un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Dimostrazione: Il primo punto e una conseguenza della dimostrazione della proposizione precedente, infatti ad ogni passo eliminiamo un vettore combinazione lineare degli altri, senza modificare lo span e al termine otteniamo un insieme di generatori che e anche linearmente indipendente, cioe una base. Il secondo punto e una conseguenza diretta delle definizioni. Infatti se ho un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti allora significa

3 che aggiungendo un vettore, questo necessariamente e combinazione lineare degli altri e quindi per definizione i vettori generano V (ogni vettore dello spazio e loro combinazione lineare). Esempio 1.5. Siano dati in R 3 [x] l insieme di vettori: x 3, x,, 5, x +, 3x, 7x, x 3 Vogliamo trovare una base per il sottospazio vettoriale generato. La procedura che seguiamo non e quella standard, ma solo una esemplificazione della procedura descritta nella proposizione 1.. Innanzitutto vediamo subito che 5 e combinazione lineare di : 5 = (/5). Dunque possiamo eliminare il vettore 5. Allo stesso modo possiamo eliminare 7x = ( 7/3)3x e anche x 3 = (x 3 ). Dunque abbiamo: W = Span{x 3, x,, 5, x +, 3x, 7x, x 3 } = Span{x 3, x,, x +, 3x}. Ora notiamo che x + = 1/3 3x +, dunque: W = Span{x 3, x,, x +, 3x} = Span{x 3, x,, 3x}. Per verificare che questi vettori sono linearmente indipendenti e quindi formano una base per W dobbiamo mostrare che l equazione: ax + bx + c + 3dx = 0 e soddisfatta soltanto per a = b = c = d = 0, ma cio e chiaro (un polinomio e identicamente nullo se sono nulli tutti i suoi coefficienti). Percio {x 3, x,, 3x} e base di W. Lasciamo per esercizio allo studente il fatto che W = R. Vedremo piu avanti che quest ultima affermazione e ovvia utilizzando il concetto di dimensione. Sorge spontanea la domanda: dato uno spazio vettoriale V, esiste sempre una base per V? La risposta e affermativa, anche se noi vedremo la dimostrazione soltanto per gli spazi vettoriali finito dimensionali e cioe gli spazi vettoriali generati da un numero finito di vettori. Proposizione 1.6. Dato uno spazio vettoriale V {0} finito dimensionale e cioe generato da un numero finito di vettori v 1,...,v n allora esiste una base di V. 3

4 Proof. Per ipotesi V = Span{v 1...v n }. Allora per il teorema 1. abbiamo che esiste un sottoinsieme linearmente indipendente di {v 1...v n } che genera V, cioe una base. Osservazione 1.7. Non tutti gli spazi vettoriali hanno dimensione finita. Ad esempio lo spazio R[x] dei polinomi di qualsiasi grado e infinito dimensionale. Infatti se esistesse una base per R[x] con un numero finito di elementi con N e loro grado massimo, il polinomio x N+1 non potrebbe essere generato dagli elementi della base e quindi abbiamo ottenuto una contraddizione. (Nella dimostrazione per assurdo ricordiamo che negando la tesi e si cerca di ottenere una contraddizione o una negazione dell ipotesi). Tuttavia anche per gli spazi vettoriali infinito dimensionali abbiamo ugualmente il teorema di esistenza della base: la dimostrazione e un solo un po piu difficile e non la vediamo qui. Nel caso particolare di R[x] una base necessiaramente deve contenere un numero infinito di elementi ad esempio lo studente e invitato a verificare che {1, x, x, x 3,... } e base. Il concetto di dimensione Uno spazio vettoriale, come gia sappiamo, ammette diverse basi, tuttavia, come vedremo, tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi che si dice dimensione dello spazio vettoriale. E difficile che lo studente comprenda subito l importanza di questo numero associato ad uno spazio vettoriale. Per motivarlo, basti dire che e veramente una chiave di volta per risolvere innumerevoli esercizi molto rapidamente e in modo indolore. Per poter definire con precisione la dimensione e necessario prima il teorema del completamento. La dimostrazione di questo teorema non e particolarmente istruttiva e per il momento la omettiamo. Teorema.1. Teorema del completamento Sia v 1...v n un insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale finito dimensionale V. Se B = {w 1,..., w m } e una base di V (sappiamo che ne esiste sempre almeno una) allora possiamo sempre aggiungere a v 1,...,v n m n vettori v n+1,...,v m B in modo da ottenere una base di V. Vedremo al termine di questa lezione che e possibile mettere in azione in modo molto esplicito il teorema del completamento in R n e completare ad una base di R n un qualunque insieme di vettori dati linearmente indipendenti. 4

5 Proposizione.. Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. Dimostrazione: Siano B 1 = {v 1... v n } e B = {w 1...w m } due basi di V, con n m. Dal teorema del completamento possiamo completare l insieme B 1 linearmente indipendente ad una base di V. Tuttavia poiche B 1 e gia base e dunque e un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti, non possiamo aggiungere nessun vettore ancora linearmente indipendente e quindi n = m.. Definizione.3. Il numero degli elementi di una base di uno spazio vettoriale si dice dimensione dello spazio vettoriale. Vediamo ora delle basi particolarmente semplici dette basi canoniche per gli spazi vettoriali incontrati fino ad ora e dunque le dimensioni relative. Lasciamo allo studente la verifica che si tratta effettivamente di basi. R n. La base canonica e data da B = {e 1,...,e n }, ove e i è il vettore che ha 1 nella posizione i e 0 nelle altre posizioni. Ad esempio una base di R 3 e B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. R n [x]. La base canonica e data da B = {x n, x n 1,...,x, 1}. M m,n. La base canonica e data da B = {e 1,1,...,e m,n }, ove e i,j è la matrice che ha 1 nella posizione {( (i, j) e 0) nelle ( altre posizioni. ) ( Ad esempio una base di M,3 e B =,,, ) ( ), ( ), ( )}, La conoscenza delle basi canoniche ci dice subito la dimensione dei vari spazi vettoriali: dim(r n ) = n, dim(r n )[x] = n + 1, dim(m m,n ) = mn Se uno tiene bene a mente questo fatto molti esercizi diventano semplicissimi. Ad esempio ci chiediamo l insieme (1,, 1), (1, 1, 5), (, 3, 1) (0, 1, 0) 5

6 e una base di R 3? Risposta immediata: l insieme non puo essere una base poiche sappiamo che tutte le basi in R 3 hanno precisamente 3 elementi e l insieme dato ne ha 4! La proposizione che enunciamo di sotto e particolarmente utile per gli esercizi. Proposizione.4. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia W un ssv di V. Allora: 1. dim(w) dim(v ),. dim(w) = dim(v ) se e solo se V = W. Dimostrazione: (1) Poiche W e contenuto in V non possiamo scegliere in W piu vettori linearmente indipendenti che in V e dunque la dimensione di W (cioe il numero degli elementi di una base che sono un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti) non puo essere piu grande di quella di V. () Se dim(w) = dim(v ) significa che una base di W e anche una base di V, dunque ogni vettore di V e combinazione lineare di vettori in W e dunque appartiene a W. Se V = W e chiaro che la dimensione e la stessa. Vediamo ora come questo teorema ci semplifica notevolmente gli esercizi. Esempio.5. Consideriamo l esercizio visto in precedenza: Si dimostri che B = {(1, 1), (, 0)} è una base di R. Nello svolgimento precedente abbiamo dovuto verificare che i due vettori fossero linearmente indipendenti e che generassero tutto R. Tuttavia la lineare indipendenza era ovvia in quanto i vettori non sono uno multiplo dell altro, mentre per la generazione abbiamo dovuto fare dei calcoli. Ora vediamo che i calcoli sono superflui, infatti abbiamo trovato vettori linearmente indipendenti in R, pertanto il sottospazio che generano ha dimensione due. Dunque per il teorema precedente deve essere uguale a R. Senza fare alcun calcolo! Analogamente, in un esempio visto in precedenza abbiamo dimostrato che i vettori x 3, x,, 3x sono linearmente indipendenti. Allora dato che sono 4, possiamo subito concludere senza fare calcoli che sono una base di R 3 [x], percio W = Span{x 3, x,, 3x} = R 3 [x]. Vogliamo ora vedere che una base e un modo efficiente di rappresentare vettori in uno spazio vettoriale. Vediamo un esempio. 6

7 Esempio.6. In R sappiamo che tutti i vettori sono combinazioni lineari dei due vettori della base canonica e 1 = (1, 0), e = (0, 1). Possiamo inoltre verificare che ogni vettore in R non solo e combinazione lineare di e 1 e e ma lo e in modo unico. Infatti se prendiamo il vettore (, 3), possiamo scrivere (, 3) = (1, 0) + 3(0, 1) e i numeri e 3 sono gli unici scalari che ci danno (, 3) come combinazione lineare di (1, 0), (0, 1). Diverso e il discorso se invece prendiamo i tre vettori (1, 0), (0, 1) e (1, 1). Infatti abbiamo gia capito che il vettore (1, 1) e in qualche modo superfluo, cioe sappiamo che: Span{(1, 0), (0, 1), (1, 1)} = Span{(1, 0), (0, 1)} e questo perche (1, 1) e combinazione lineare di (1, 0) e (0, 1). Cio si riflette nel fatto che un vettore in R non e piu combinazione lineare in modo unico di questi tre vettori. Infatti (, 3) = (1, 0) + (0, 1) + (1, 1) = 0(1, 0) + (0, 1) + (1, 1). Il concetto di unicita di espressione visto nell esempio precedente e il contenuto della seguente proposizione. Teorema.7. Se B = {v 1,...,v n } è una base ordinata per lo spazio vettoriale V (cioe abbiamo fissato un ordine nell insieme dei vettori) e bv V allora esiste ed è unica la n upla di scalari (α 1,..., α n ) tale che bv = α 1 v α n v n Dimostrazione: Essendo B un sistema di generatori ogni v V si scrive come combinazione lineare degli elementi di B, cioè esistono scalari α 1,...,α n tali che: v = α 1 v α n v n. Dimostriamo l unicità di tale combinazione: supponiamo che sia anche Sottraendo queste due equazioni v = β 1 v β n v n. 0 = (α 1 β 1 )v (α n β n )v n da cui α 1 β 1 =... = α n β n = 0 in virtù della lineare indipendenza dei vettori di B, e dunque α 1 = β 1,...,α n = β n. Gli scalari (α 1,...,α n ) si dicono le componenti di v V nella base B o anche le coordinate di v rispetto alla base B. 7

8 Esercizio. Si dimostri che B = {(1, 1), (, 0)} è una base di R e si determinino le componenti di v = ( 3, 1) rispetto a questa base. Soluzione: chiaramente i vettori di B sono linearmente indipendenti in quanto (, 0) non è multiplo di (1, 1). Dimostriamo che sono un sistema di generatori. Sia (x, y) R e cerchiamo a, b R tali che (x, y) = a(1, 1) + b(, 0) = (a + b, a) dovrà dunque essere a = y e, pertanto b = x+y e ciò è sempre possibile. In particolare ( 3, 1) = ( 1)(1, 1) + ( 1)(, 0) e dunque le componenti di v sulla base B sono ( 1, 1) B. Esercizi Determinare una base dei seguenti sottospazi vettoriali. 1) Il sottospazio dei polinomi a coefficienti reali di grado 4. ) Il sottospazio di R 4 dato da A B dove A = (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) e B = {(x, y, z, t) R 4 x = t = 0}. 3 L algoritmo di Gauss come metodo pratico per la risoluzione di problemi di algebra lineare Abbiamo gia visto che per determinare se un certo numero di vettori in R n sono linearmente indipendenti e necessario risolvere un sistema lineare omogeneo cioe del tipo Ax = 0. In modo analogo anche per vedere se i vettori generano lo spazio e necessario risolvere un sistema lineare questa volta non omogeneo, ma del tipo Ax = b. Dunque e chiaro che l algoritmo di Gauss e di grande aiuto in problemi legati alla lineare dipendenza o indipendenza e al concetto di generazione o piu in generale al concetto di base. Quello che vogliamo vedere in questa lezione e come sia possibile usare direttamente l algoritmo di Gauss, senza dover impostare un sistema lineare. Osserviamo che se abbiamo una matrice A M m,n (R) possiamo considerare le sue righe come tanti vettori di R n, tali vettori si dicono i vettori 8

9 riga di A. Ad esempio se A = R 1 = (0, 1, 3) e R = (, 1, 1). ( ), i suoi vettori riga sono Proposizione 3.1. Data una matrice A M m,n (R) le operazioni elementari di riga non cambiano lo span del sottospazio di R n generato dai vettori riga di A. Dimostrazione. Ricordiamo che le operazioni elementari di ricga sono: a) Lo scambio tra due righe. b) Moltiplicazione di una riga per uno scalare. c) La somma ad una riga di una combinazione lineare delle altre (a) e (b) sono immediate. (c) e una conseguenza delle proposizioni viste sugli argomenti: vettori linearmente dipendenti e combinazioni lineari. Importante: Le operazioni di riga non cambiano lo span dei vettori di riga ma cambiano lo span dei vettori colonna! (Si invitano gli studenti a verificare questo fatto per convincersene). Proposizione 3.. Se una matrice A e a scala per riga, i suoi vettori riga sono linearmente indipendenti. Dimostrazione. Verifica diretta. Vediamo ora un esempio di come applicare queste due proposizione agli esercizi. Esempio 3.3. Si considerino i vettori di R 3 : v 1 = 3, 0 v = 1, v 3 =. 1 3 a) Si dica se sono linearmente indipendenti. Sono una base di R 3? b) Si trovi una base del sottospazio W che generano e se ne calcoli la dimensione. La matrice: 3 1 A =

10 ha forma ridotta: Dalla proposizione 3.1 abbiamo che 0 W = Span v 1 = 3, v = 1, v 3 = = = Span u 1 = 0,u = Abbiamo trovato che il sottospazio W e generato da due vettori u 1 e u linearmente indipendenti (vedi Proposizione 3.). Dunque {u 1, u } e una base per W che dunque ha dimensione. Dato che per il Teorema 1.4 il numero di vettori in una base e il massimo numero di vettori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale, abbiamo dunque che v 1, v, v 3 sono linearmente dipendenti. Dunque non possono essere una base di R 3. Vediamo in generale come si deve procedere per decidere se v 1,...,v k R n sono linearmente indipendenti e per trovare una base del sottospazio da loro generato, cioe formalizziamo schematicamente quello che abbiamo imparato dall esempio precedente. Scriviamo la matrice che ha come righe i vettori v 1,...,v k (sara una matrice k n). Usando l algoritmo di Gauss scriviamo la matrice A in forma ridotta scala per righe. Se il numero di vettori non nulli che formano le righe di A in forma ridotta e uguale a k allora i vettori v 1,...,v k R n sono linearmente indipendenti altrimenti sono dipendenti. Se sono indipendenti allora sono una base del sottospazio W generato da v 1,...,v k, altrimenti i vettori non nulli che formano le righe di A in forma ridotta formano una base di W. 10

11 Ora invece riportiamo schematicamente come si ricava una base da un insieme di generatori di un sottospazio vettoriale. Sia W = Span{u 1,...,u k } R n Scriviamo la matrice che ha come righe i vettori u 1,...,u k (sara una matrice k n). Usando l algoritmo di Gauss scriviamo la matrice A in forma ridotta scala per righe. I vettori non nulli che formano le righe di A in forma ridotta sono una base per W. Il numero di righe non nulle in A in forma ridotta si dice il rango di A ed e chiaramente uguale alla dimensione del sottospazio W generato dalle righe della matrice A. Il rango e anche uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle colonne di A, tuttavia una base di questo spazio NON e data dalle righe di A in forma ridotta, in quanto le operazioni di riga cambiano lo span delle colonne. Adesso invece vediamo in azione il teorema del completamento descritto sopra. Metodo per ottenere il completamento di una base di un sottospazio W R n ad una base di R n Sia W R n un sottospazio vettoriale dato come span di w 1,...,w k. Dai discorsi precedenti sappiamo come ottenere una base di W. Ci chiediamo ora come completarla ad una base di R n. Vediamo come procedere. Scriviamo la matrice che ha come righe i vettori w 1,...,w k (sara una matrice k n). Usando l algoritmo di Gauss scriviamo la matrice A in forma ridotta scala per righe. I vettori che completano ad una base di R n saranno ottenuti aggiungendo gli elementi della base canonica corrispondenti ai gradini mancanti nella forma scale per righe di A. (Nell esempio precedente bisogna aggiungere il vettore (0, 0, 1)). 11

12 Osservazione Osserviamo a questo punto che, se B = {v 1,...,v n } è una base ordinata per lo spazio vettoriale V, possiamo considerare la funzione f : V R n che ad ogni vettore associa le sue coordinate, cioè scriviamo v V come combinazione lineare degli elementi di B, v = α 1 v α n v n, e poniamo f(v) = (α 1,...,α n ). Per il teorema.7 si ha che f è una applicazione biunivoca. Inoltre se v ha coordinate (α 1,..., α n ) e λ R è uno scalare, allora le coordinate di λv sono (λα 1,...,λα n ), mentre se w è un altro vettore, le cui coordinate sono (β 1,...,β n ), allora le coordinate di v + w = (α 1 + β 1,..., α n + β n ). Lo studente è invitato a verificare le due asserzioni fatte or ora, che comunque riprenderemo anche in seguito, quando parleremo di isomorfismi di spazi vettoriali. Per ora ci limiteremo ad osservare che grazie a queste proprieta anziche operare sui vettori facendo delle loro combinazioni lineari possiamo operare sulle loro coordinate, e poi da esse risalire nuovamente ai vettori. Vediamo un esempio. Dati i polinomi x +3x 1, x+3, x +x+ R [x], vogliamo stabilire se sono linearmente indipendenti, e se sono una base di R [x]. Consideriamo la base canonica B = {x, x, 1} di R [x]. Rispetto ad essa, le coordinate dei polinomi sono 0 v 1 = 3, v = 1, v 3 =. 1 3 Possiamo quindi procedere come nell esempio 3.3 e facendo esattamente gli stessi calcoli si ottiene che una base di W e data dai polinomi le cui coordinate sono u 1 = 0,u = 1. Tornando ai polinomi, si ha che W = Span{x +3x 1, x+3, x +x+} = Span{x +4, x+3}, quindi i 3 polinomi di partenza non sono una base di R [x]. Esercizi 1. Stabilire per quali valori di k i seguenti polinomi di R [x] sono linearmente indipendenti: x + 3x + 5, kx + 4x + k, x + x 3. [Soluz: k ] 1

13 . Trovare una base di Span{(1, 0, 3), (, 3, 0), (1, 1, 1)} e completarla ad una base di R Stabilire se x 3 x appartiene a Span{x 3 + x + x, x + x, x }. 4. Stabilire quali dei seguenti insiemi di vettori generano R a) S 1 = 0, 0, 3, b) S = 1, 0, 6, Stabilire per quali valori di k il polinomio k x + x + 1 appartiene a Span{x x, x + 3x + 1}. [Soluz: k ± 3] 6. Stabilire se i vettori v 1 = (1, 1),v = ( 1, 1),v 3 = (, 1) sono linearmente indipendenti. Essi generano R? 7. Stabilire per quali valori di k il vettore w = ( 1, k, 1) appartiene a Span{(1, 1, 0), (k, k, 1), ( 1, k, 1)}. (Attenzione: in questo caso e preferibile non usare l algoritmo di Gauss. Perche?) 8. Stabilire per quali valori di k i vettori v 1 = (1, k, 0),v = (1, 0, 3),v 3 = ( 1, 0, k + ) sono linearmente indipendenti. [Soluz: k 0 e k 1] 9. Stabilire per quali valori di k il polinomio x +k appartiene a Span{x + kx, x (k + 1)x k}. (Anche in questo caso e preferibile non usare l algoritmo di Gauss). 10. Siano v 1 = (1, 1, 1, 0),v = (, 0,, 1),v 3 = ( 1, 1, 1, 1). Si determini una base di Span{v 1,v,v 3 } e la si completi ad una base di R 4. Inoltre si determini per quali valori di k il vettore w = (k, 0, k, k) appartiene a Span{v 1,v,v 3 }. 11. Sia A = {(x, y, z) R 3 x y + z = 0 e x y = 0}. Dimostrare che A e un sottospazio di R 3 e trovarne una base. {( ) } a b 1. Sia M = M b a, (R) a, b R. Dimostrare che M e un sottospazio di M, (R) e calcolarne la dimensione. 13

14 {( ) Dimostrare che B = ( ) 3 coordinate dei vettori e 1 ( 1, 1 ( 0 1 )} e una base di R e trovare le ) rispetto a tale base. 14