Dim. Usare la chiusura rispetto al prodotto esterno (vedi appunti lezione o libri di testo).

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1 ESERCIZI PER CASA di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze dei Materiali, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 28 maggio 29 Sottospazi di uno spazio vettoriale, sistemi di generatori, basi e dimensione. Sia K un campo, che, per semplicità, possiamo supporre uguale al campo dei numeri reali R o al campo dei numeri complessi C, e sia V uno spazio vettoriale su K. Definizione. Un sottospazio vettoriale U di V é un sottoinsieme non vuoto U V che é uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto esterno definite su V. Lemma. Un sottoinsieme non vuoto U di V é un sottospazio vettoriale se e solo se sono verificate le seguenti due proprietà:. Per ogni coppia di vettori u, v U, si ha che u + v U. (chiusura rispetto alla somma) 2. Per ogni scalare λ K e per ogni vettore v V, si ha λv V. (chiusura rispetto al prodotto esterno) Lemma. Se U V é un sottospazio vettoriale di V allora U. Dim. Usare la chiusura rispetto al prodotto esterno (vedi appunti lezione o libri di testo). ESERCIZIO. Si pensi a C come spazio vettoriale reale. Si mostri che il sottoinsieme U C definito da U = {z C tali che z = z} é un sottospazio vettoriale di C. Si mostri, infine, che, se si considera C come spazio vettoriale complesso, allora U non é un sottospazio vettoriale di C. Proposizione. Sia ( ) un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Allora, l insieme S delle soluzioni di ( ) é un sottospazio vettoriale di K n se e solo se b = b 2 =... = b m =. Dim. É stato dimostrato in classe che, se il sistema ( ) é omogeneo, allora il suo insieme delle soluzioni S K n é un sottospazio vettoriale. Per mostrare che, se S é un sottospazio vettoriale di K n, allora il sistema lineare ( ) é omogeneo, si osservi che, se ( ) non é omogeneo allora / S. Proposizione 2. Sia ( )

2 un sistema lineare di m equazioni in n incognite e sia a x a n x n = a 2 x a 2n x n = ( ) a m x a mn x n = il sistema omogeneo associato a ( ). Allora, se S é il sottospazio vettoriale delle soluzioni di ( ) e v é una soluzione di ( ), l insieme S delle soluzioni di ( ) é dato da S = {v + w, w S }. Definizione. L insieme delle soluzioni S di un sistema lineare ( ) di m equazioni in n incognite a coefficienti in K, si dice un sottospazio affine di K n e le equazioni di ( ) si chiamano equazioni cartesiane di S. Si scrive S : Inoltre, se S é il sottospazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo ( ) associato a ( ) si dice che S é la giacitura di S. Osservazione. Dimostreremo che ogni sottospazio vettoriale di K n é lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Perció, per la Proposizione 2, i sottospazi vettoriali di K n, possono considerarsi casi particolari di sottospazi affini. Proposizione 3. Dati due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V su K, la loro intersezione U W é pure un sottospazio di V. A differenza dell intersezione, l unione U W di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V non é un sottospazio vettoriale di V. Ci si puó peró chiedere quale sia il piú piccolo sottospazio di V che contiene U W. Definizione 2. Dati due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V su K, la somma di U e W e il sottoinsieme U + W di V definito da U + W = {u + w, u U e w W}.

3 La somma U + W di U e W si dice diretta se U W = e si scrive U + W = U W. Lemma 2. La somma U + W di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V su K é un sottospazio vettoriale di V e gode della seguente proprietà: (a) per ogni sottospazio vettoriale T di V tale che U T e W T, si ha U + W T. In virtù della proprietà (a), possiamo dire che U + W é il piú piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene U W. Si dice anche che U + W é lo spazio vettoriale generato da U e W. Siano v,..., v k vettori di uno spazio vettoriale V. Indichiamo con < v,..., v k > il sottoinsieme di V definito da < v,..., v k >= {λ v λ k v k, λ,..., λ k K}. Lemma 3. < v,..., v k > é un sottospazio vettoriale di V detto il sottospazio generato da v,...,v k. Definizione 3. Siano dati vettori v,..., v k di un sottospazio U di uno spazio vettoriale V. Diciamo che l insieme di vettori {v,..., v k } é un sistema di generatori di U se U =< v,..., v k >. Lemma 4. Siano U e W due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V tale che U =< v,..., v k > e W =< w,..., w r >. Allora, si ha Dim. Vedi appunti lezione. U + W =< v,..., v k, w,..., w r >. ESERCIZIO 2. Dati i sottospazi U = x y = λ 3, λ R R3 z e W R 3 di equazione W : x z =, calcolare W U e trovare un sistema di generatori di W + U. Infine, si rappresentino graficamente W e U. Definizione 4. Siano v,..., v k vettori di uno spazio vettoriale V su K. Diciamo che v,..., v k sono linearmente indipendenti se, per ogni k-upla di scalari λ,..., λ k tali che si ha λ v λ k v k =, () λ = λ 2 =... = λ k =. Altrimenti, i vettori si dicono linearmente dipendenti.

4 In altre parole, k vettori v,..., v k sono linearmente indipendenti se l unica k-upla di scalari λ,..., λ k tale che la () é verificata é λ = λ 2 =... = λ k =. Lemma 6. Siano dati n vettori v,..., v n in V. Se v,..., v n vettori linearmente indipendenti, allora v,..., v k vettori linearmente indipendenti per ogni k n. Se invece esiste k < n tale che i vettori v,..., v k sono linearmente dipendenti, allora i vettori v,..., v n sono linearmente dipendenti. Dim. Vedi appunti lezione. Definizione 5. Una base finita {v,..., v k } di un sottospazio U di V é il dato di un numero finito di vettori v,..., v k di U tali che a) {v,..., v k } é un sistema di generatori di U; b) i vettori v,..., v k sono linearmente indipendenti. Esempio. I vettori e =,..., e n = costituiscono una base di Kn detta base canonica. Lemma 6. Sia {v,..., v k } vettori linearmente indipendenti di V. Supponiamo esistano scalari a,..., a k e b,..., b k tali che a v a k v k = b v b k v k. Allora a = b,..., b k = a k. In particolare, per ogni vettore v < v,..., v k >= U esistono e sono unici scalari λ,..., λ k tali che v = λ v λ k v k. Si dice che gli scalari λ,..., λ k sono le coordinate di v rispetto alla base {v,..., v k }, e si scrive λ v = rispetto alla base {v,..., v k } di U. Infine, se U sottospazio di K n e λ k v v k v =,..., v k =, v n v nk allora le equazioni x v v k = λ λ k, λ,...λ k K, x n v n v nk si dicono equazioni parametriche di U.

5 ESERCIZIO 3. Si verifichi che v = 2, v 2 =, v 3 = 5 3 é una base di R 3 e si trovino le coordinate di v = rispetto a tale base. ESERCIZIO 4. Si consideri il sottospazio U di R 3 di equazione U : 3x 6y + z =. Si verifichi che il vettore base di U. appartiene a U e si scriva v in coordinate rispetto alla seguente 9 v = 3, v 2 = Teorema. Sia {v,..., v k } una base finita di un sottospazio U di V. Allora, comunque si scelgano r > k vettori w,..., w r in U, questi sono linearmente dipendenti. In particolare, il numero di vettori in una base finita di U non dipende dalla scelta della base. Dim. Vedi appunti lezione o libro di testo [T4], pag. 58, 59. Definizione 6. Sia V uno spazio vettoriale con base finita. Allora, il numero di vettori in una base di V si chiama dimensione di V e si indica con dim(v ). Lemma 7. Dati n vettori v,..., v n in uno spazio vettoriale V su K questi sono linearmente indipendenti se e solo se v j+ / < v,..., v j > per ogni j n. Dim. Si suggerisce di dimostrarlo prima per tre vettori e poi, nel caso di n > 3 vettori, di iterare il ragionamento. (Vedi appunti lezione). Corollario. Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione finita pari a dim(v ) = n. Allora, ogni sottospazio U di V ha dimensione finita k n. Inoltre, k = se e solo se U = {}, mentre k = n se e solo se U = V. Dim. Vedi corollario 4.7, libro di testo [T4]. Definizione 7. Sia S K n un sottospazio affine di K n e S il sottospazio vettoriale di K n giacitura di S. Allora, la dimensione di S é, per definizione, la dimensione di S. I sottospazi affini di K n di dimensione si chiamano rette, mentre, i sottospazi affini di K n di dimensione 2 si chiamano piani. ESERCIZIO 5. Usando il Lemma 7, si costruisca una base di C 3 che contenga il vettore i. + i 2

6 Teorema 2. Siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n. Allora, si ha dim(u + W ) = dim(u) + dim(w ) dim(u W ) (formula di Grasmann). In particolare, U + W = U W se e solo se dim(u W ) = dim(u) + dim(w ). ESERCIZIO 6. Trovare dimensione ed equazioni parametriche dei seguenti sottospazi vettoriali di R 3 : { x + y + z = x + y + z = x 5y + z = U : x y z =, W : x z =, T : x 5y + z =, Ω : x z =. 3x + 2y + z = x + y + z = ESERCIZIO 7. Siano U e W i sottospazi di R 4 di equazioni U : { x x 2 + x 4 = x 2 x 3 x 4 =, e x x W : 2 = λ x + λ 3 2, λ, λ 2 K. x 4 Trovare basi e dimensione di U W e U + W e dire se la somma di U e W e diretta. (Si suggerisce di usare la formula di Grasmann). ESERCIZIO 8. Dimostrare che R[x] 2 = {p R[x] d(p) 2}; é un sottospazio di dimensione finita di R[x]. Calcolarne base e dimensione.

7 Matrici. ESERCIZIO 9. Determinare una base e calcolare la dimensione dello spazio vettoriale M(n, m; K) delle matrici n m a coefficienti in K. (Si suggerisce prima di svolgere l esercizio per n = m = 2). ESERCIZIO. Nello spazio vettoriale M(2, 2; K) delle matrici 2 2 a coefficienti in K, si consideri l insieme {( ) } a a U = 2 a a 2 a + a 22 =. 22 Si dimostri che U é un sottospazio vettoriale di M(2, 2; K). Si determini una base di U e si calcoli, infine, la sua dimensione. ( ) ( ) 3 ESERCIZIO. Siano A, B, C e D le matrici definite da A =, B =, 2 2 C = ( ) e D = 3 4. Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 2A e 2D. ESERCIZIO 2. Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti CA, BC, DB, B 2, A 2 sono ben definiti? LIBRI DI TESTO [T] Calcolo - Volume II - Geometria di T. M. Apostol, edito da Bollati Boringhieri. [T2] Geometria analitica del piano e dello spazio di S. Abeasis, edito da Zanichelli. [T4] Geometria I di E. Sernesi, edito da Bollati-Boringhieri.