Esercizi proposti. Si dica quali dei precedenti sono sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale quadrate di ordine n.

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1 Esercizi proposti 1. astratti 1.1 Si consideri lo spazio R [x] dei polinomi nella variabile x con coefficienti reali. Si dica se il suo sottoinsieme S formato dai polinomi privi del termine di grado 2 in x è un sottospazio. 1.2 Si consideri lo spazio R [x] dei polinomi nella variabile x con coefficienti reali. Si dica se il suo sottoinsieme S formato dai polinomi aventi 1 come coefficiente del termine di grado 2 in x è un sottospazio. 1.3 Si consideri lo spazio vettoriale F(R) delle funzioni reali a valori reali. Si dica quali dei seguenti suoi sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali: 1. L insieme delle funzioni continue 2. L insieme delle funzioni derivabili 3. L insieme delle funzioni integrabili 4. L insieme delle funzioni che valgono 1 per x = 5 5. L insieme delle funzioni che valgono 0 per x = 5 6. L insieme delle funzioni aventi un limite finito per x -> + 7. L insieme delle funzioni aventi limite 2 per x -> + 8. L insieme delle funzioni aventi un limite 0 per x -> Si considerino i seguenti insiemi di matrici quadrate di ordine n (reali o complesse): 1. Matrici triangolari inferiori; 2. Matrici a scala ridotta (con la matrice nulla) ; 3. Matrici srn (con la matrice nulla) ; 4. Matrici ortogonali; Si dica quali dei precedenti sono sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale quadrate di ordine n. M n delle matrici Si dica se l insieme delle coppie (x, y) soddisfacenti alla relazione 3x + 2y = 0 è un sottospazio vettoriale R Si dica se l insieme I delle coppie (x, y) soddisfacenti alla relazione 3x + 2y = 1 è un sottospazio vettoriale di R Politecnico di Torino 1

2 2. Sottospazi vettoriali di K n 2.1 Sono dati in C 2 i vettori X 1 = (1,i), X 2 = (i,0) e il vettore X = (2,2,3). Dire se il vettore X è combinazione lineare di X 1 e X Sono dati in C 2 i vettori X 1 = (1,i), X 2 = (i,0) e il vettore X = (1,i). Dire se il vettore X è combinazione lineare di X 1 e X Trovare almeno quattro vettori che appartengano a L((1,2,3),(3,2,1)). 3. Insiemi liberi, basi, dimensione 3.1 Sono dati in R 3 i vettori X 1 = (1,2,3), X 2 = (3,2,1), X 3 = (4,4,5), X 4 = (3,3,1). Dire se formano un insieme libero. 3.2 Sono dati in R 3 i vettori X 1 = (1,2,3), X 2 = (0,0,0), X 3 = (3,2,1), Dire se formano un insieme libero. 3.3 Si stabilisca se i vettori di C 3 X 1 = (i,0,0), X 2 = (0,i,0), X 3 = (0,0,i) formano un insieme libero. 3.4 Si stabilisca per quali valori di h reale i seguenti vettori di R 4 X 1 = (1,h,0,0), X 2 = (0,1,h,0), X 3 = (0,0,0,h) formano un insieme libero. 3.5 Si trovi una base di R 3 contenente il vettore (1,0,2). 3.6 Si trovi, se esiste, h reale tale che il sottospazio di R 4 generato da (1,h,0,0), (0,1,h,0),(0,0,0,h) abbia dimensione Si provi che i vettori (2,6,7,8) e (3,2,9,0) non formano una base di R Si trovi la dimensione del sottospazio vettoriale di R 4 V = L((2,2,2,2),(2,3,4,5),(0,1,2,3)) Politecnico di Torino 2

3 4. Sottospazi associati a matrici e forma implicita 4.1 Si consideri al variare di k in R il sottoinsieme L k di R 3 formato dalle soluzioni del sistema x y + z = 0 x y + z = k Si dica per quali k L k è un sottospazio vettoriale R 3 e, per tali k se ne trovi una base. 4.2 In R 4 si consideri il sottospazio S = L(v 1, v 2, v 3, v 4 ), dove v 1 = (1,0,1,1), v 2 =(0,1,-1,2), v 3 =(2,1,1,4), v 4 =(1,2,-1,5). Si trovi una base di S e si dica se è possibile scrivere il vettore u = (1,1,1,1) come combinazione lineare di tale base. 4.3 In R 5 si consideri il sottospazio definito dal sistema di equazioni 2x1 x3 = 0 x2 + 2x4 + x5 = 0 se ne calcoli la dimensione e se ne trovi una base. 4.4 Discutere e risolvere, al variare del parametro reale a, il sistema AX = 0, dove 2 a A = a Trovare anche la dimensione dello spazio delle soluzioni. 4.5 In R 4 si considerino i vettori u = (4,0,1,9) e v = (1,3,2,5). Si verifichi che sono linearmente indipendenti. Si considerino i vettori a = (1,1,1,1), b = (0,0,0,0), c = (2,-6,-3,-1) e si dica quali sono combinazioni lineari di u e v, trovando in caso affermativo i coefficienti Si calcoli la dimensione dei seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : L(u,v,a), L(u,v,b), L(u,v,c), L(u,v,a,b) Politecnico di Torino 3

4 SOLUZIONI Esercizio 1.1 Sì: la somma di due polinomi privi di termine di grado 2 è un polinomio privo del termine di grado due. Analogo per il prodotto per scalare. Esercizio 1.2 No: basta osservare che il polinomio nullo non è in S. Esercizio sì 2. sì 3. sì 4. no 5. sì 6. sì 7. no 8. sì Esercizio sì 2. no 3. no 4. no Esercizio Si, perché si tratta dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. 2. No, la coppia (0, 0) non soddisfa l equazione. Esercizio 2.1 Non ha senso, perché X non è in C 2 - Esercizio 2.2 Si, con coefficienti -i e 1-i. Esercizio 2.3 (0,0,0), (1,2,3), (3,2,1), (2,4,6), (4,4,4), Politecnico di Torino 4

5 Esercizio vettori in R 3 non formano mai un insieme libero (eseguire comunque la verifica diretta). Esercizio 3.2 Un insieme di vettori fra cui sia presente il vettore nullo non è mai libero (dimostrarlo). Esercizio 3.3 Si. Esercizio 3.4 Tutti gli h 0. Esercizio 3.5 (1,0,2),(1,0,0),(0,1,0) (fra le varie possibili risposte)- Esercizio 3.6 h = 0 Esercizio 3.7 Una base di R 4 è formata da 4 vettori! Esercizio 3.8 dim V = 2 Esercizio 4.1 L k è un sottospazio solo per k = 0. In tal caso una base è data da (0,1,1). Esercizio 4.2 Una base di S è ( v, v 1 2). Poichè u S, u= av 1 + bv 2 non può essere verificata da nessuna scelta di a. Esercizio 4.3 La dimensione è 3, una base è ( (1,0,1,0,0), (0,-2,0,1,0), (0,-1,0,0,1)). Esercizio 4.4 Il rango della matrice è 3 per a 1/ 2, e lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1. Per a = 1/ 2 il rango è 2 e la dimensione è Politecnico di Torino 5

6 Esercizio a non è combinazione lineare di u e v. 2. b è combinazione lineare di u e v, con coefficienti 0 e c è combinazione lineare di u e v, con coefficienti 1 e L(u, v, a) ha dimensione 3 (perché i primi due sono indipendenti, e il terzo non è loro combinazione lineare). 5. L(u, v, b) ha dimensione 2 (perché i primi due sono indipendenti, e il terzo è nullo). 6. L(u, v, c) ha dimensione 2 (perché i primi due sono indipendenti, e il terzo è loro combinazione lineare). 7. L(u, v, a, b) ha dimensione 3 (perché i primi due sono indipendenti, il terzo non è loro combinazione lineare, il quarto è nullo) Politecnico di Torino 6