Geometria e algebra lineare Prova intermedia 30/11/2014 Corso di laurea in Ing. Elett. Tel., Ing. Inf. Org. e Informatica

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1 A

2 A 1) Sia r la retta di equazioni x y =, y z = 1, e sia s la retta passante per i punti (2,, 1) e (,, ). Siano inoltre π il piano perpendicolare a r passante per ( 1,, ) e P il punto di intersezione di r e π. a) Si mostri che r ed s sono rette sghembe. b) Si trovi la distanza di P da s. 2) A = 1 h h 1 1 h h 1 h h 1, x = x 1 x 2 x x 4 x 5, b = 1 1 a) Si stabilisca se il sistema lineare Ax = b è compatibile, al variare del parametro reale h. b) Per h = si consideri il sistema omogeneo associato Ax =, e se ne determinino le soluzioni. ) Enunciare il Teorema di Rouché-Capelli, illustrandolo con esempi. 4) Si consideri la matrice A k, dipendente dal parametro reale k, così definita: 1 2 A k = 1 2k 1/4 1/2 k a) Si trovino i valori di k per i quali A k è invertibile. b) Si calcoli, se esiste, la matrice inversa di A. c) Sia b = (k,, k). Si trovino i valori di k per i quali l insieme delle soluzioni del sistema lineare A k x = b è un sottospazio vettoriale di R. 5) Dare la definizione di gruppo e fare un esempio di un gruppo abeliano (cioè commutativo) e uno di un gruppo non abeliano.

3 Corso di laurea in Ing. El. Telec., Ing. Info., Informatica B

4 B 1) Sia r la retta di equazioni y z =, x z = 1, e sia s la retta passante per i punti (2, 1, ) e (1, 2, ). Siano inoltre π il piano perpendicolare a r passante per ( 1, 1, 1) e P il punto di intersezione di r e π a) Si mostri che r ed s sono rette sghembe. b) Si trovi la distanza di P da s. 2) A = k k 5 1 k 1, x = x 1 x 2 x x 4 x 5, b = 1 a) Si stabilisca se il sistema lineare Ax = b è compatibile, al variare del parametro reale k. b) Per k = 1/ si consideri il sistema omogeneo associato Ax =, e se ne determinino le soluzioni. ) Si descrivano le operazioni elementari della riduzione per righe e le matrici ad esse associate, mostrando con un esempio come le operazioni possono essere realizzate mediante prodotto di matrici. 4) Si consideri la matrice A k, dipendente dal parametro reale k, così definita: 1 1 k A k = 2 2 1/2 1 k 1/4 a) Si trovino i valori di k per i quali A k è invertibile. b) Si calcoli, se esiste, la matrice inversa di A 1. c) Sia b = (, 2k, k). Si trovino i valori di k per i quali l insieme delle soluzioni del sistema lineare A k x = b è un sottospazio vettoriale di R. 5) Dare la definizione di sottospazio vettoriale. Fornire un esempio di un sottoinsieme di R n che è un sottospazio vettoriale e di uno che non lo è.

5 Corso di laurea in Ing. El. Telec., Ing. Info., Informatica C

6 C 1) Sia r la retta di equazioni y = 4, x + z =, e sia s la retta passante per i punti (1, 1, ) e (,, 2). Siano inoltre π il piano perpendicolare a s passante per ( 2, 1, ) e P il punto di intersezione di s e π. a) Si mostri che r ed s sono rette sghembe. b) Si trovi la distanza di P da r. 2) A = k 1 1 k k 1 2k +, x = x 1 x 2 x x 4 x 5, b = a) Si stabilisca se il sistema lineare Ax = b è compatibile, al variare del parametro reale k. b) Per k = 1 si consideri il sistema omogeneo associato Ax =, e se ne determinino le soluzioni. ) Si descriva l insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo compatibile, illustrando con un esempio. 4) Si consideri la matrice A k, dipendente dal parametro reale k, così definita: 1 k 1/4 A k = k a) Si trovino i valori di k per i quali A k è invertibile. b) Si calcoli, se esiste, la matrice inversa di A. c) Sia b = (k, 2k, k). Si trovino i valori di k per i quali l insieme delle soluzioni del sistema lineare A k x = b è un sottospazio vettoriale di R. 5) Dare la definizione di matrice invertibile. Fornire un esempio di una matrice invertibile e di una non invertibile.

7 Corso di laurea in Ing. El. Telec., Ing. Info., Informatica D

8 D 1) Sia r la retta di equazioni x = 4, y + z =, e sia s la retta passante per i punti (1,, 1) e (2, 1, 2). Siano inoltre π il piano perpendicolare a s passante per ( 1, 1, 4) e P il punto di intersezione di s e π. a) Si mostri che r ed s sono rette sghembe. b) Si trovi la distanza di P da r. 2) A = 1 2 h h h 2h 2 2, x = x 1 x 2 x x 4 x 5, b = h 2 1 h 1 a) Si stabilisca se il sistema lineare Ax = b è compatibile, al variare del parametro reale h. b) Per h = si consideri il sistema omogeneo associato Ax =, e se ne determinino le soluzioni. ) Dare la definizione di prodotto scalare di due vettori geometrici dello spazio. Descrivere la relazione tra il prodotto scalare, l angolo tra i vettori e l ortogonalità. Illustrare con un esempio. 4) Si consideri la matrice A k, dipendente dal parametro reale k, così definita: 1 1/2 A k = 1/2 2 2k 1/2 k a) Si trovino i valori di k per i quali A k è invertibile. b) Si calcoli, se esiste, la matrice inversa di A 1. c) Sia b = (k, 2k, k). Si trovino i valori di k per i quali l insieme delle soluzioni del sistema lineare A k x = b è un sottospazio vettoriale di R. 5) Cos è il sottospazio generato da k vettori v 1,..., v k di uno spazio vettoriale V? Può essere vuoto? Dare degli esempi in R e in uno spazio di polinomi.