COGNOME... NOME , B = Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 2A e 2D. (Vale 6 punti).

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1 I ESONERO di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze Geo-topo-cartografiche, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 02 marzo 2009 Inserire la risoluzione di ciascun esercizio negli spazi predisposti. Consegnare SOLO ED ESCLU- SIVAMENTE questi tre fogli. Non verranno prese in considerazione le risposte esatte qualora non vengano riportati i passaggi fondamentali della risoluzione dell esercizio. NON E AMMESSO L USO DI CALCOLATORI SCIENTIFICI NE DI LIBRI O APPUNTI, PENA L ANNULLAMENTO DELLA PROVA. COGNOME NOME MATRICOLA Siano A, B, C e D le matrici definite da A = D = 3 4 0, B = 2 3, C = 2. Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 2A e 2D. (Vale 6 punti). COMPITO A 0 e 2. Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti sono ben definiti? (Vale 3 punti) CA, BC, DB, B 2, A 2

2 3. Trovare i valori del parametro λ per i quali la matrice A = λ 0 0 2, 3 2 è invertibile e trovare l inversa di A per λ = 0. (Vale punti). RISPOSTA. La matrica A è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sviluppando il determinante di A rispetto alla prima righa, si trova det(a) = 3(λ 2). Perciò A è invertibile se e solo se λ 2. In particolare, per λ = 0, usando il metodo di Laplace, si trova A =

3 4. Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane del piano di R 3 passante per i punti P = 0 2, Q = R = (Vale 3 punti). 5. Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della rette passante per i punti P = 2 e Q = 2. Si dica inoltre se r è sghemba, parallela o incidente a ciascuna delle 3x + y = 0 seguenti rette s : z = 0, l : x y = 8 + η, η R, z x y = 0 t :. (Vale 7 punti). z y = 0 RISPOSTA. Le rette r ed s risultano parallele, l ed r sono incidenti, mentre t ed r sono sghembe.

4 I ESONERO di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze Geo-topo-cartografiche, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 02 marzo 2009 Inserire la risoluzione di ciascun esercizio negli spazi predisposti. Consegnare SOLO ED ESCLU- SIVAMENTE questi tre fogli. Non verranno prese in considerazione le risposte esatte qualora non vengano riportati i passaggi fondamentali della risoluzione dell esercizio. NON E AMMESSO L USO DI CALCOLATORI SCIENTIFICI NE DI LIBRI O APPUNTI, PENA L ANNULLAMENTO DELLA PROVA. COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO B 2 3. Siano A, B, C e D le matrici definite da A =, B =, C = e D = 5. Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 3A e 3D. (Vale punti). 2. Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti sono ben definiti? (Vale 3 punti). CA, BC, DB, B 2, A 2

5 3. Trovare i valori del parametro λ per i quali la matrice A = λ 0 0 2, 2 0 è invertibile e trovare l inversa di A per λ =. (Vale punti). RISPOSTA. La matrica A è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sviluppando il determinante di A rispetto alla prima righa, si trova det(a) = 2λ. Perciò A è invertibile se e solo se λ 0. In particolare, per λ =, usando il metodo di Laplace, si trova A =

6 4. Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane del piano di R 3 passante per i punti P = 0, Q = 0 3 R =. (Vale 3 punti). 5. Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della rette passante per i punti P = 3 e Q = 3 seguenti rette s : t : 2x 4y = 0 z = 0, l : x y = 0. (Vale 7 punti). z y = 0. Si dica inoltre se r è sghemba, parallela o incidente a ciascuna delle x y z = η 4 4 4, η R, RISPOSTA. Le rette r ed s risultano parallele, l ed r sono sghembe ed, infine, anche t ed r sono sghembe.

7 I ESONERO di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze Geo-topo-cartografiche, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 02 marzo 2009 Inserire la risoluzione di ciascun esercizio negli spazi predisposti. Consegnare SOLO ED ESCLU- SIVAMENTE questi tre fogli. Non verranno prese in considerazione le risposte esatte qualora non vengano riportati i passaggi fondamentali della risoluzione dell esercizio. NON E AMMESSO L USO DI CALCOLATORI SCIENTIFICI NE DI LIBRI O APPUNTI, PENA L ANNULLAMENTO DELLA PROVA. COGNOME NOME MATRICOLA Siano A, B, C e D le matrici definite da A = e D = , B =, C = Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 2A e 4D. (Vale 6 punti). COMPITO C ( 3 ) Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti sono ben definiti? (Vale 3 punti). CA, BC, DB, B 2, A 2

8 3. Trovare i valori del parametro λ per i quali la matrice A = λ è invertibile e trovare l inversa di A per λ = 2. (Vale punti). RISPOSTA. La matrica A è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sviluppando il determinante di A rispetto alla prima righa, si trova det(a) = λ 2. Perciò A è invertibile se e solo se λ 2. In particolare, per λ = 2, usando il metodo di Laplace, si trova, A =

9 4. Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane del piano di R 3 passante per i punti P = 2, Q = 3 R = 2 2. (Vale 3 punti) Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della rette passante per i punti P = 2 e Q = 2 seguenti rette s : (Vale 7 punti).. Si dica inoltre se r è sghemba, parallela o incidente a ciascuna delle x 3y = 0 z = 0, l : x y z = η RISPOSTA. r è sghemba con l e t mentre r ed s sono parallele., η R, t : x y = 0 z y = 0.

10 I ESONERO di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze Geo-topo-cartografiche, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 02 marzo 2009 Inserire la risoluzione di ciascun esercizio negli spazi predisposti. Consegnare SOLO ED ESCLU- SIVAMENTE questi tre fogli. Non verranno prese in considerazione le risposte esatte qualora non vengano riportati i passaggi fondamentali della risoluzione dell esercizio. NON E AMMESSO L USO DI CALCOLATORI SCIENTIFICI NE DI LIBRI O APPUNTI, PENA L ANNULLAMENTO DELLA PROVA. COGNOME NOME MATRICOLA Siano A, B, C e D le matrici definite da A = 3 2 C = e D = punti). 2 3, B = , COMPITO D. Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, A e 2D. (Vale 2. Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti sono ben definiti? (Vale 3 punti). CA, BC, DB, B 2, A 2

11 3. Trovare i valori del parametro λ per i quali la matrice A = λ , è invertibile e trovare l inversa di A per λ = 3. (Vale punti). RISPOSTA. La matrica A è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sviluppando il determinante di A rispetto alla prima righa, si trova det(a) = 6(λ 8). Perciò A è invertibile se e solo se λ 8. In particolare, per λ = 3, usando il metodo di Laplace, si trova A =

12 4. Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane del piano di R 3 passante per i punti P = 2, Q = 2 3 R =. (Vale 3 punti) Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della rette passante per i punti P = 3 e Q = 3. Si dica inoltre se r è sghemba, parallela o incidente a ciascuna delle seguenti rette s : 4x + 2y = 0 z = 0, l : x y = 0 t :. (Vale 7 punti). z y = 0 bigskip RISPOSTA. r è sghemba con t ed l mentre r ed s sono parallele. x y = η 2 2, η R, z 2

13 I ESONERO di GEOMETRIA per il Corso di Laurea di Scienze Geo-topo-cartografiche, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 02 marzo 2009 Inserire la risoluzione di ciascun esercizio negli spazi predisposti. Consegnare SOLO ED ESCLU- SIVAMENTE questi tre fogli. Non verranno prese in considerazione le risposte esatte qualora non vengano riportati i passaggi fondamentali della risoluzione dell esercizio. NON E AMMESSO L USO DI CALCOLATORI SCIENTIFICI NE DI LIBRI O APPUNTI, PENA L ANNULLAMENTO DELLA PROVA. COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO E Siano A, B, C e D le matrici definite da A =, B =, C = e D = 4 0. Calcolare le matrici A + C, BD, AC, CB, 3A e 2D.(Vale punti). 2. Se A, B C e D sono le matrici dell esercizio precedente, quali dei seguenti prodotti sono ben definiti? (Vale 3 punti). CA, BC, DB, B 2, A 2

14 3. Trovare i valori del parametro λ per i quali la matrice A = λ , è invertibile e trovare l inversa di A per λ =. (Vale punti). RISPOSTA. La matrica A è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Sviluppando il determinante di A rispetto alla prima righa, si trova det(a) = 4(λ 4). Perciò A è invertibile se e solo se λ 4. In particolare, per λ =, usando il metodo di Laplace, si trova A =

15 4. Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane del piano di R 3 passante per i punti P = 2 3, Q = 3 5 R = 2 2. (Vale 3 punti) Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti P = 4 e Q = 4. Si dica inoltre se r è sghemba, parallela o incidente a ciascuna delle seguenti rette s : 5x + 3y = 0 z = 0, l : x y = η 3 3, η R, z 3 x y = 0 t :. (Vale 7 punti). z y = 0 RISPOSTA. Le rette r ed s risultano parallele, l ed r sono incidenti, mentre t ed r sono sghembe.