Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile Nome Cognome Matricola

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1 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile 2015 A Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k nelle incognite x, y, z a coefficienti reali definito da kx y + z = 1 S k : x + ky z = 1 x y + kz = 1 (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Si considerino le matrici A = 1 1 5, B = 0 0 c 0 0 b 0 2, a, b, c R a (a) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A. (b) Determinare per quali valori di a, b, c la matrice B è invertibile. (c) Per i valori trovati calcolare la matrice inversa di B. Problema 3 Si considerino le matrici A = , B = 1 x y 0, x, y, z R z (a) Calcolare il determinante di A. (b) Calcolare il determinante di B. Problema 4 Sia A una matrice m n con m < n e rango A = m. Sia B una qualunque matrice di taglia m p con p 2. Consideriamo l equazione matriciale AX = B. (a) Che taglia deve avere X affinché l equazione abbia un senso? (b) È vero o falso che l equazione ha sempre soluzioni? (Motivare la risposta) (c) È vero o falso che la soluzione, ( se esiste, è ) unica? (Motivare la risposta) (d) Risolvere l equazione con A = e B = leggere le regole sul retro

2 Regole d esame Scrivere nome, cognome e matricola LEGGIBILI in ogni foglio (cartellina bianca, testo del compito e fogli di brutta). Durata della prova: due ore. NON è consentito l uso di libri, dispense o appunti. NON è consentito l uso di smart phones, tablets, calcolatrici e gadgets simili. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sulla cartellina bianca solo i calcoli necessari a motivare la risposta, scritti a penna, nera o blu, in modo chiaro e leggibile. Consegnare SOLO la cartellina bianca con le risposte e questo foglio, i fogli di brutta NON vanno consegnati. L uscita dall aula è consentita solo dopo la consegna definitiva dell elaborato. Durante la prova i candidati non possono comunicare tra loro o passarsi materiale, pena l esclusione immediata dalla prova (cartellino rosso senza cartellino giallo).

3 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile 2015 B Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k nelle incognite x, y, z a coefficienti reali definito da kx + y z = 1 S k : x + ky + z = 1 x + y + kz = 1 (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Si considerino le matrici A = 1 2 4, B = 0 0 c 0 0 b 0 3, a, b, c R a (a) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A. (b) Determinare per quali valori di a, b, c la matrice B è invertibile. (c) Per i valori trovati calcolare la matrice inversa di B. Problema 3 Si considerino le matrici A = , B = 1 x y 0, x, y, z R z (a) Calcolare il determinante di A. (b) Calcolare il determinante di B. Problema 4 Sia A una matrice m n con m < n e rango A = m. Sia B una qualunque matrice di taglia m p con p 2. Consideriamo l equazione matriciale AX = B. (a) Che taglia deve avere X affinché l equazione abbia un senso? (b) È vero o falso che l equazione ha sempre soluzioni? (Motivare la risposta) (c) È vero o falso che la soluzione, ( se esiste, è ) unica? (Motivare la risposta) (d) Risolvere l equazione con A = e B = leggere le regole sul retro

5 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile 2015 C Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k nelle incognite x, y, z a coefficienti reali definito da kx + y + z = 1 S k : x + ky z = 1 x + y + kz = 1 (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Si considerino le matrici A = 2 7 3, B = 0 0 c 0 0 b 0 2, a, b, c R a (a) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A. (b) Determinare per quali valori di a, b, c la matrice B è invertibile. (c) Per i valori trovati calcolare la matrice inversa di B. Problema 3 Si considerino le matrici A = , B = 1 x y 0, x, y, z R z (a) Calcolare il determinante di A. (b) Calcolare il determinante di B. Problema 4 Sia A una matrice m n con m < n e rango A = m. Sia B una qualunque matrice di taglia m p con p 2. Consideriamo l equazione matriciale AX = B. (a) Che taglia deve avere X affinché l equazione abbia un senso? (b) È vero o falso che l equazione ha sempre soluzioni? (Motivare la risposta) (c) È vero o falso che la soluzione, ( se esiste, è ) unica? (Motivare la risposta) (d) Risolvere l equazione con A = e B = leggere le regole sul retro

7 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile 2015 D Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k nelle incognite x, y, z a coefficienti reali definito da kx + y + z = 1 S k : x + ky + z = 1 x y + kz = 1 (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Si considerino le matrici A = 1 5 1, B = 0 0 c 0 0 b 0 3, a, b, c R a (a) Calcolare, se possibile, la matrice inversa di A. (b) Determinare per quali valori di a, b, c la matrice B è invertibile. (c) Per i valori trovati calcolare la matrice inversa di B. Problema 3 Si considerino le matrici A = (a) Calcolare il determinante di A. (b) Calcolare il determinante di B., B = x y 0, x, y, z R z Problema 4 Sia A una matrice m n con m < n e rango A = m. Sia B una qualunque matrice di taglia m p con p 2. Consideriamo l equazione matriciale AX = B. (a) Che taglia deve avere X affinché l equazione abbia un senso? (b) È vero o falso che l equazione ha sempre soluzioni? (Motivare la risposta) (c) È vero o falso che la soluzione, ( se esiste, è unica? ) (Motivare la risposta) (d) Risolvere l equazione con A = e B = leggere le regole sul retro