Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi oltre che in ciascun foglio utilizzato.

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA San Floriano, 7/9/8 Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi oltre che in ciascun foglio utilizzato. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chiedo che la mia prova d'esame venga corretta e valutata. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Svolgere il quesito + quesiti a scelta della parte A + quesiti a scelta della parte B Firma: Numero di fogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che la mia prova non venga corretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientifica non programmabile o grafica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i fogli della minuta (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova d'esame Parte A Svolgere il quesito (studio di funzione) più quesiti a scelta tra i restanti. QUESITO ( /6) Studiare la funzione f, determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver verificato che determinare concavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafico della funzione. QUESITO ( /5) Dopo aver verificato che la funzione ln f " f non ammette alcun asintoto, se ne studi la derivabilità. QUESITO ( /5) Data la funzione f, calcolare l equazione della retta r tangente al grafico nel suo punto di ascissa. Determinare l equazione dell ulteriore tangente parallela a r e le coordinate del punto di tangenza.

2 QUESITO ( /5) Scrivere l espressione della funzione il cui grafico è il simmetrico di quello di f ln rispetto all asse. Verificare che i grafici delle due funzioni si incontrano in un punto dell asse e che le loro tangenti in tale punto sono ortogonali. QUESITO 5 ( /5) Tra i seguenti limiti, uno non può essere calcolato mediante il Teorema di de l'hospital. Specificare quale dopo averli calcolati: e ln ln a) lim b) lim c) lim e Parte B QUESITO 6 ( /5) Risolvere l equazione differenziale y" y ' 6y e QUESITO 7 ( /5) Calcolare la trasposta e il determinante della seguente matrice, dire se è invertibile e, in caso affermativo, calcolarne l inversa: QUESITO 8 ( /5) Dopo aver intersecato la parabola di equazione y 6 con l asse determinare il volume del solido di base R, le cui sezioni con piani perpendicolari all asse sono quadrati. Determinare, inoltre, il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di R attorno all asse y. QUESITO 9 ( /5) Studiare la convergenza degli integrali impropri: a) d b) d QUESITO ( /5) Risolvere i seguenti sistemi lineari: y z a) y z 7 y z b) y z y z y Punteggio totale: /

3 Soluzione appello Settembre 8 N. f o DOMINIO: D non vi sono asintoti verticali o PARITÀ: f f funzione dispari; il grafico è simmetrico rispetto all origine o SEGNO/INTERSEZIONE CON GLI ASSI: essendo,, risulta f Unica intersezione con gli assi: O, o ASINTOTI: lim f lim lim H o CRESCENZA: f ' f o CONCAVITÀ: y asintoto orizzontale per disparità: Min:, M Ma: M, f " f per disparità la funzione ammette i seguenti punti di flesso:,,, GRAFICO:

4 N. Dominio della funzione ln f : Osserviamo che la funzione è dispari, essendo: f ln ln f Ricerca degli asintoti per : ln lim f lim ln lim lim lim H per disparità anche lim f la funzione non ha asintoti verticali lim f lim ln la funzione non ha asintoti orizzontali (per ed essendo dispari nemmeno per ) ln f lim lim lim ln la funzione non ha asintoti obliqui (per ed essendo dispari nemmeno per ) Studio della derivabilità (per ): f ln f ' ln ln lim f ' lim ln la funzione non è derivabile per e, per simmetria, non lo è nemmeno per N..,. Consideriamo la funzione f f il grafico passa per f ' La retta tangente cercata ha coefficiente angolare m f Otteniamo pertanto la retta: y y ' Per vedere se esistono altri punti in cui la tangente ha coefficiente angolare m dobbiamo risolvere l equazione f ' L ulteriore punto di tangenza con una retta parallela a quella trovata ha coordinate,, come si verifica banalmente. La nuova tangente ha quindi equazione: y y N. Applicando alla curva di equazione y ln la simmetria assiale y La funzione cercata è quindi g ln I grafici di entrambe le funzioni passano per il punto Inoltre: o f ' m o g ' m y otteniamo y ln., ; infatti f ln e g ln.

5 le due tangenti sono ortogonali tra loro. N. 5 e e a) lim H lim b) c) e e ln ln lim lim. In questo caso il limite non può essere calcolato mediante il Teorema di de l'hospital dal momento che è ottenuto mediante il prodotto di due limiti notevoli. ln ln lim lim lim lim H N. 6 Per risolvere l equazione differenziale y" y ' 6y e (*) troviamo dapprima gli zeri del polinomio caratteristico: La soluzione dell equazione differenziale omogenea associata è: ce c e Per trovare l integrale generale dell equazione data dobbiamo aggiungere a un integrale particolare di tale equazione; lo cerchiamo tra le funzioni del tipo f ke, poiché gli zeri del polinomio caratteristico sono diversi da. Sostituendo nella (*): Pertanto la soluzione generale della (*) è: f ' ke e " f ke ke ke 6ke e ke e y c e c e e k N. 7 T La trasposta di A è A. Per il Teorema di Laplace, sviluppando il determinante rispetto alla colonna: det A la matrice è invertibile. Calcoliamone l inversa: o A o A o A o A Quindi: o A o A o o A o A A

6 A N. 8 Le intersezioni della parabola y 6 6. con l asse sono, e,, dal momento che Applicando il metodo delle fette, l elemento di volume del solido di base R, le cui sezioni con piani perpendicolari all asse sono quadrati, è: Quindi: dv 6 d 9 d 5 V 9 d 9 d u Applicando il metodo dei gusci cilindrici, l elemento di volume del solido ottenuto da una rotazione completa di R attorno all asse y è: Quindi: N. 9 dv 6 d 6 d 6 V 6 d u lim lim lim 8 8 l integrale è convergente. a a a a a a) d d a d Cerchiamo i coefficienti reali che consentono di scrivere: A B A B A Per il principio di identità dei polinomi: A A B A B Pertanto: e quindi b b) d lim b b b b b d ln ln ln ln ln d b 5 In conclusione: b

7 b b 5 d lim d lim ln ln ln b b 5 b l integrale è convergente. N. y z a) y z sommando la prima equazione rispettivamente alla ed alla otteniamo: 7 y z y z y osserviamo che la e la equazione sono multiple una dell altra; pertanto il sistema ha y y z y z soluzioni e si riduce a: y y z y y y y z y La soluzione generale del sistema è: y, y, y per ogni y. b) y z y z y z sottraendo la equazione dalla : y y y y z y z 7 z y y y y y z 9 sottraendo la equazione dalla : Soluzione:,, 9