Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare.

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE 1 Parziale di MATEMATICA (A) San Floriano, /11/18 Inormazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende are. Chiedo che il mio elaborato venga corretto e valutato. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numero di ogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che il mio elaborato non venga corretto nè valutato. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilograica o la penna a sera; disegnate a matita i graici delle unzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientiica non programmabile o graica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i ogli della brutta copia (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Punteggi parziali potranno essere assegnati a svolgimenti incompleti o con errori non particolarmente gravi. Abbiate iducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova QUESITO 1 ( /7) Studiare la unzione 4 determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali 1 intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver veriicato che " 8 1, determinare concavità ed eventuali lessi. Disegnare il graico della unzione.

2 QUESITO ( /6) ln 1 a) Senza utilizzare il teorema di de l Hospital, calcolare: e 1 1 b) Studiare la continuità della unzione per e 1 1 QUESITO ( /4) Classiicare i punti di non derivabilità delle unzioni 1 e g 1 1. QUESITO 4 ( /6) Dopo giorni un campione di Radon- si riduce al 58% della quantità iniziale; la legge del decadimento radioattivo è del tipo: kt M t M e, ove il tempo t è misurato in giorni. Sapendo che la massa iniziale del campione è 1 g, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cira decimale; b) la rapidità di variazione dopo giorni; c) il tempo di dimezzamento del Radon-; d) il tempo necessario perché il campione si riduca a 1 g. QUESITO 5 ( /4) Il rapporto tra la biomassa M (in kg di sostanza secca) e diametro alla base D (in cm) per le piante di Eucalipto è descritto dalla relazione allometrica: M.11 D Stimare: a) la biomassa di una pianta il cui diametro alla base è cm; b) il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 7 kg. QUESITO 6 ( /4) Veriicare che i graici delle unzioni e e g 1 passano per il punto A,1. Dopo aver determinato l equazione delle tangenti ai graici delle due unzioni nel loro punto comune A, dire se tali rette sono perpendicolari tra loro. Punteggio totale: /

3 Soluzione ila A N o DOMINIO: D o PARITÀ: né dispari o SEGNO E INTERSEZIONI CON GLI ASSI: La curva interseca gli assi cartesiani in o ASINTOTI: y è asintoto orizzontale della unzione 1, e, e la unzione non è né pari o MONOTONIA: 1 1 ' 4 4 Min: Ma: M1 1, 4 M 1, 1 o CONCAVITÀ: " Flessi: lessi: 1, F, F, e F, A - 1

4 o GRAFICO: N. ln 1 ln 1 ln 1 1 a) e 1 e 1 e 1 b) la unzione ha una discontinuità di specie in ; asintoto verticale: dal momento che 1 possiamo assumere che 1, quindi dal momento che 1 possiamo assumere che 1, quindi la unzione ha una discontinuità di 1 specie in 1; salto: s 4 A -

5 N. o La unzione è continua in, poiché è prodotto di unzioni continue. Derivando otteniamo: ' ' ' la unzione ammette un punto angoloso in g 1 è una unzione continua in (composizione di unzioni continue). o 1 Derivando otteniamo: 1 1 g ' 1 1 Dal momento che: concludiamo che la unzione N. 4 Osserviamo innanzitutto che: Quindi il modello del decadimento è: M a), deinita per 1 1 g ' g ha un lesso a tangente verticale (ascendente) in 1 M 1 k k 9 1e 58 e 5 M M t b) La rapidità di variazione è deinita da: Quindi: M 1 e 1 1 e kt 1 9 k ln M ' t M k e.5448 k M ' M k e e 1.5 c) Per calcolare il tempo di dimezzamento dobbiamo risolvere l equazione: M M t 1 e 5 e ln.5 kt ln t k Essendo , il tempo di dimezzamento è di giorni e 19 ore circa. d) Per calcolare il tempo necessario perché il campione si riduca a 1 g dobbiamo risolvere l equazione: M t 1 1 e 1 e ln1.1 ln1 t k Essendo , il tempo necessario è di 1 giorni e 16 ore circa. A -

6 N. 5 Il modello è: M.11 D a) La biomassa di una pianta il cui diametro alla base è cm è, quindi: M kg b) Per calcolare il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 7 kg dobbiamo risolvere l equazione: D D 1.846ln D ln ln D ln ln D.497 D e.cm N. 6 o Veriichiamo che il graico di e passa per,1 e ' e o A : 1 il coeiciente angolare della tangente è m1 ' e l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 o Veriichiamo che il graico di g 1 passa per,1 o g ' 1 A : g 1 1 il coeiciente angolare della tangente è m g ' 1 l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 le due tangenti non sono ortogonali A - 4

7 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE 1 Parziale di MATEMATICA (B) San Floriano, /11/18 Inormazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende are. Chiedo che il mio elaborato venga corretto e valutato. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numero di ogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che il mio elaborato non venga corretto nè valutato. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilograica o la penna a sera; disegnate a matita i graici delle unzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientiica non programmabile o graica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i ogli della brutta copia (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Punteggi parziali potranno essere assegnati a svolgimenti incompleti o con errori non particolarmente gravi. Abbiate iducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova QUESITO 1 ( /7) Studiare la unzione 1 determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali 1 intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver veriicato che " 4 1, determinare concavità ed eventuali lessi. Disegnare il graico della unzione.

8 QUESITO ( /6) 4 1 e a) Senza utilizzare il teorema di de l Hospital, calcolare: ln 5 1 b) Studiare la continuità della unzione QUESITO ( /4) per e Classiicare i punti di non derivabilità delle unzioni e g 1. QUESITO 4 ( /6) Una popolazione batterica è inizialmente costituita da 6 esemplari e cresce secondo la legge kt N t N e, ove il tempo t è espresso in minuti. Sapendo che la popolazione arriva a 17 batteri in minuti, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cira decimale; b) la rapidità di variazione dopo mezzora; c) il tempo di raddoppio della popolazione; a) il tempo necessario perché la popolazione superi di 1 batteri. QUESITO 5 ( /4) Il rapporto tra la biomassa M (in kg di sostanza secca) e diametro alla base D (in cm) per le piante di Eucalipto è descritto dalla relazione allometrica:.59 M.48 D Stimare: a) la biomassa di una pianta il cui diametro alla base è 4 cm; b) il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 8 kg. QUESITO 6 ( /4) Veriicare che i graici delle unzioni e e g 1 passano per il punto A,1. Dopo aver determinato l equazione delle tangenti ai graici delle due unzioni nel loro punto comune A, dire se tali rette sono coincidenti. Punteggio totale: /

9 Soluzione ila B N o DOMINIO: D o PARITÀ: dispari o SEGNO E INTERSEZIONI CON GLI ASSI: 1 La curva interseca gli assi cartesiani in o ASINTOTI: y 1 è asintoto orizzontale della unzione 1 1 1, e,1 e la unzione non è né pari né o MONOTONIA: 1 1 ' Ma: Min: M1 1, M 1, 1 o CONCAVITÀ: " Flessi: lessi: F 1,1, F, e F,1 B - 1

10 o GRAFICO: N. a) e e 1 e ln 5 1 ln ln b) N. la unzione ha una discontinuità di specie in ; asintoto verticale: dal momento che possiamo assumere che, quindi dal momento che possiamo assumere che, quindi 1 1 la unzione ha una discontinuità di 1 specie in ; salto: s 1 o B -

11 La unzione è continua in, poiché è prodotto di unzioni continue. Derivando otteniamo: ' ' ' la unzione ammette un punto angoloso in o 1 g 1 1 è una unzione continua in (composizione di unzioni continue). Derivando otteniamo: 1 1 g ' 1 1 Dal momento che: concludiamo che la unzione, deinita per 1 1 g ' g ha un lesso a tangente verticale (ascendente) in 1 N. 4 Osserviamo innanzitutto che: Quindi il modello è: N k 6e 17 a) N 6 e 6 k 17 N N 6 e 6 6 e kt N t 1 17 k ln.47 6 N ' t N k e b) La rapidità di variazione è deinita da: Quindi: k N ' N k e.89 e c) Per calcolare il tempo di raddoppio dobbiamo risolvere l equazione: N N t 6 e 1 e kt ln il tempo di raddoppio è di minuti circa. ln t k d) Per calcolare il tempo necessario perché la popolazione raggiunga i 1 esemplari dobbiamo risolvere l equazione: 5 ln N t 1 6e e ln t k il tempo necessario è di circa 81 minuti. N. 5 Il modello è: B -

12 .59 M.48 D a) La biomassa di una pianta il cui diametro alla base è 4 cm è, quindi:.59 M kg b) Per calcolare il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 7 kg dobbiamo risolvere l equazione: D D.59ln D ln ln D ln ln D.81 D e 6.61cm N. 6 o Veriichiamo che il graico di e passa per,1 e ' e o A : 1 il coeiciente angolare della tangente è m1 ' e l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 o Veriichiamo che il graico di g 1 passa per,1 o g ' 1 A : g 1 1 il coeiciente angolare della tangente è m g ' 1 l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 le due tangenti coincidono. B - 4

13 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE 1 Parziale di MATEMATICA (C) San Floriano, /11/18 Inormazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende are. Chiedo che il mio elaborato venga corretto e valutato. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numero di ogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che il mio elaborato non venga corretto nè valutato. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilograica o la penna a sera; disegnate a matita i graici delle unzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientiica non programmabile o graica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i ogli della brutta copia (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Punteggi parziali potranno essere assegnati a svolgimenti incompleti o con errori non particolarmente gravi. Abbiate iducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova QUESITO 1 ( /7) Studiare la unzione 1 determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali 1 intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver veriicato che " 8 1, determinare concavità ed eventuali lessi. Disegnare il graico della unzione.

14 QUESITO ( /6) e 1 a) Senza utilizzare il teorema di de l Hospital, calcolare: ln 7 1 b) Studiare la continuità della unzione QUESITO ( /4) 1 1 per e 1 Classiicare i punti di non derivabilità delle unzioni 1 e g 1 7. QUESITO 4 ( /6) Dopo 1 anni un campione di Piombo-1 si riduce al 7% della quantità iniziale; la legge del decadimento radioattivo è del tipo: kt M t M e. ove il tempo t è misurato in anni. Sapendo che la massa iniziale del campione è 15 g, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cira decimale; b) la rapidità di variazione dopo 1 anni; c) il tempo di dimezzamento del Piombo-1; d) il tempo necessario perché il campione si riduca 1 g. QUESITO 5 ( /4) Il rapporto tra la biomassa M (in kg di sostanza secca) e diametro alla base D (in cm) per le piante di Eucalipto è descritto dalla relazione allometrica: 1.91 M.94 D Stimare: a) la biomassa di una pianta il cui diametro alla base è 5 cm; b) il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 75 kg. QUESITO 6 ( /4) Veriicare che i graici delle unzioni e e g 1 passano per il punto A,1. Dopo aver determinato l equazione delle tangenti ai graici delle due unzioni nel loro punto comune A, dire se tali rette sono perpendicolari tra loro. Punteggio totale: /

15 Soluzione ila C N o DOMINIO: D 1 o PARITÀ: 1 o SEGNO E INTERSEZIONI CON GLI ASSI: La curva interseca gli assi cartesiani in e la unzione non è né pari né dispari 1 1 1, e, o ASINTOTI: y è asintoto orizzontale della unzione o MONOTONIA: 1 1 ' 4 Ma: Min: M1 1, M 1, 4 1 o CONCAVITÀ: " Flessi: C - 1

16 F, lessi: 1, F, e F, o GRAFICO: N. e 1 e 1 e a) ln 7 1 ln 7 1 ln b) la unzione ha una discontinuità di specie in ; asintoto verticale: dal momento che 1 possiamo assumere che 1, quindi dal momento che 1 possiamo assumere che 1, quindi C -

17 la unzione ha una discontinuità di 1 specie in 1; salto: 4 s N. o La unzione è continua in, poiché è prodotto di unzioni continue. Derivando otteniamo: ' ' ' la unzione ammette un punto angoloso in g è una unzione continua in (composizione di unzioni continue). o 1 7 Derivando otteniamo: g ' Dal momento che: concludiamo che la unzione N. 4 Osserviamo innanzitutto che: Quindi il modello del decadimento è: M a) 1 6, deinita per 1 1 g ' g ha un lesso a tangente verticale (ascendente) in M 15 M M t k 1k e 19.5 e 15 b) La rapidità di variazione è deinita da: Quindi: M 15 e e kt M ' t M k e k ln k M ' 1 M k e 4.75 e.448 c) Per calcolare il tempo di dimezzamento dobbiamo risolvere l equazione: M M t 15 e 75 e.5 kt ln il tempo di dimezzamento è di anni circa. ln t.4674 k d) Per calcolare il tempo necessario perché il campione si riduca a 1 g dobbiamo risolvere l equazione: C -

18 M t 1 15 e 1 1 e ln15 ln15 t k Essendo , il tempo necessario è di circa 85 anni e 11 mesi (e mezzo). N. 5 Il modello è: 1.91 M.94 D a) La biomassa di una pianta il cui diametro alla base è cm è, quindi: 1.91 M kg b) Per calcolare il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 7 kg dobbiamo risolvere l equazione: D D 1.91ln D ln ln D ln ln D.54 D e.9cm N. 6 o Veriichiamo che il graico di e passa per,1 e ' e o A : 1 il coeiciente angolare della tangente è m1 ' e l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 o Veriichiamo che il graico di g 1 passa per,1 o g ' 1 A : g 1 1 il coeiciente angolare della tangente è m g ' 1 l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 le due tangenti non sono ortogonali C - 4

19 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE 1 Parziale di MATEMATICA (D) San Floriano, /11/18 Inormazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende are. Chiedo che il mio elaborato venga corretto e valutato. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numero di ogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che il mio elaborato non venga corretto nè valutato. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilograica o la penna a sera; disegnate a matita i graici delle unzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientiica non programmabile o graica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati punti. Utilizzate i ogli della brutta copia (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Punteggi parziali potranno essere assegnati a svolgimenti incompleti o con errori non particolarmente gravi. Abbiate iducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini Testo della prova QUESITO 1 ( /7) Studiare la unzione 1 determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali 1 intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver veriicato che " 4, determinare concavità ed eventuali lessi. Disegnare il graico della unzione. 1

20 QUESITO ( /6) 5 e 1 a) Senza utilizzare il teorema di de l Hospital, calcolare: ln 4 1 b) Studiare la continuità della unzione QUESITO ( /4) 1 per e 1 5 Classiicare i punti di non derivabilità delle unzioni 1 e g. QUESITO 4 ( /6) Una coltura batterica si sviluppa secondo la legge N t N kt e, ove il tempo è espresso in ore. Sapendo che la popolazione è inizialmente costituita da 1 batteri e che dopo un ora i batteri sono 18, determinare: a) il valore della costante k, approssimato alla 4 cira decimale; b) la rapidità di variazione dopo ore; c) il tempo di raddoppio della popolazione; a) il tempo necessario perché la popolazione raggiunga i 75 batteri. QUESITO 5 ( /4) Il rapporto tra la biomassa M (in kg di sostanza secca) e diametro alla base D (in cm) per le piante di Eucalipto è descritto dalla relazione allometrica:.59 M.48 D Stimare: a) la biomassa di una pianta il cui diametro alla base è 5 cm; b) il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 9 kg. QUESITO 6 ( /4) Veriicare che i graici delle unzioni e e g 1 passano per il punto A,1. Dopo aver determinato l equazione delle tangenti ai graici delle due unzioni nel loro punto comune A, dire se tali rette sono coincidenti. Punteggio totale: /

21 Soluzione ila D N o DOMINIO: D o PARITÀ: dispari o SEGNO E INTERSEZIONI CON GLI ASSI: 1 La curva interseca gli assi cartesiani in o ASINTOTI: y 1 è asintoto orizzontale della unzione 1 1 1, e,1 e la unzione non è né pari né o MONOTONIA: 1 1 ' 1 1 Min: Ma: M1 1, M 1, 1 o CONCAVITÀ: " Flessi: lessi: F 1,1, F,1 e F,1 D - 1

22 o GRAFICO: N e 1 e 1 e a) 5 ln 4 1 ln ln b) N la unzione ha una discontinuità di specie in 1; asintoto verticale: dal momento che possiamo assumere che, quindi dal momento che possiamo assumere che, quindi 1 1 la unzione ha una discontinuità di 1 specie in ; salto: s 4 o 1 La unzione è continua in, poiché è prodotto di unzioni continue. Derivando otteniamo: D -

23 ' 1 1 ' 1 1 ' la unzione ammette un punto angoloso in 5 o g è una unzione continua in (composizione di unzioni continue). Derivando otteniamo: g ' Dal momento che: concludiamo che la unzione 4, deinita per 1 g ' g ha un lesso a tangente verticale (ascendente) in N. 4 Osserviamo innanzitutto che: Quindi il modello è: a) N k 1 1e 18 N 1 k e N e 1 N 1 1 e kt N t k ln.455 N ' t N k e b) La rapidità di variazione è deinita da: Quindi:.811 k N ' N k e e c) Per calcolare il tempo di raddoppio dobbiamo risolvere l equazione: N t N 1 e 4 e ln kt ln t k dal momento che , il tempo di raddoppio è di 1 ora e 4 minuti circa. d) Per calcolare il tempo necessario perché la popolazione raggiunga i 75 dobbiamo risolvere l equazione: N t 75 1 e 75 e 4ln 5 65 ln 65 t k dal momento che il tempo necessario è di circa 15 ore e 5 minuti. N. 5 Il modello è:.59 M.48 D a) La biomassa di una pianta il cui diametro alla base è 5 cm è, quindi:.59 M kg b) Per calcolare il diametro alla base di una pianta la cui biomassa è 9 kg dobbiamo risolvere l equazione: D -

24 N D D.59ln D ln ln D ln ln D.4 D e 8.cm o Veriichiamo che il graico di e passa per,1 e ' e o A : 1 il coeiciente angolare della tangente è m1 ' e l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 o Veriichiamo che il graico di g 1 passa per,1 o g ' 1 A : g 1 1 il coeiciente angolare della tangente è m g ' 1 l equazione della tangente in A al graico della unzione data è: y 1 y 1 le due tangenti coincidono. D - 4