STATISTICA CORSO BASE. Prova scritta del Tempo: 2 ore Cognome e Nome:... Matricola:...

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1 STATISTICA CORSO BASE. Prova scritta del Tempo: 2 ore Cognome e Nome: Matricola: Attenzione: Prima di affrontare la prova si consiglia di leggere attentamente le note che seguono. Indicare cognome e nome (in stampatello e senza cancellature) Verrà corretto solo l elaborato contenuto in questi fogli. Alla consegna, allegare comunque la brutta copia. Non è consentita la consultazione di libri o appunti personali ma solo del formulario fornito dal docente Tenere spenti i telefoni cellulari. Il loro utilizzo non è consentito pena l esclusione dalla prova. Per ogni domanda a risposta multipla sono previste tre possibili risposte di cui una sola è corretta. Per fornire la risposta ad una domanda barrare la casella corrispondente alla risposta prescelta. Nel caso di correzioni, fare in modo che sia chiaro quale sia la risposta finale. Il punteggio assegnato ad ogni quesito è : 1 se si indica la risposta corretta, 0.5 se si indica la risposta errata, 0 se non si fornisce risposta. Se un candidato ritiene che ci sia un errore ed in particolare che nessuna delle tre alternative disponibili risponda al quesito posto, può aggiungere la risposta corretta opportunamente motivata. Nelle altre domande, quelle aperte, fornire, oltre al risultato, anche la spiegazione della procedura adottata. Esercizio 1. 8 punti La seguente tabella riporta la distribuzione in classi della variabile reddito annuo lordo per i lavoratori di una data azienda. Gli estremi delle classi sono in migliaia di Euro. Classe di reddito Frequenza [0, 20) 60 [20, 40) 150 [40, 60) 210 [60, 100) 11 [100, 200) 5 Il valore 5 nell ultima riga rappresenta una modalità una frequenza una unità statistica La precedente tabella rappresenta una tabella di contingenza una distribuzione di frequenze relative una distribuzione di frequenze assolute Rappresentare graficamente la distribuzione sopra riportata

2 Calcolare il valore medio della variabile reddito k X j=1 j n j x = n Calcolare la varianza della variabile reddito = s 2 = k j=1 ( X j x) 2 n j n 1 = 386 Individuare la classe dove cade la mediana della distribuzione [40, 60) Qual è la frequenza relativa osservata dei dipendenti con un reddito superiore ai Euro = Supponendo che la distribuzione precedente possa essere approssimata da una variabile Normale, qual è la probabilità che un dipendente dell azienda abbia un reddito superiore ai Euro. ( ( P N µ = 39.52, σ = ) ) 386 > 60 = 0.14 Da notare che il grafico seguente (non richiesto dall esercizio) dimostra che in questo caso la curva normale con media µ = e σ = 386 non offre un buon modello teorico per la distribuzione riportata in tabella Esercizio 2. 8 punti Consideriamo il seguente esperimento casuale. Supponiamo di avere due urne. L urna A ha 3 palline rosse e 5 palline nere. L urna B ha 6 palline rosse e 2 nere. Si lancia un dado regolare. Se esce 1 si prende una pallina dall urna A, altrimenti si prende una pallina dall urna B. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia rossa P (R A) = 3/8 P (A) = 1/6 P (R B) = 6/8 P (B) = 5/6 P (R) = P (R A) P (A) + P (R B) P (B) = = Calcolare la probabilità che il risultato del dado sia 1 sapendo che la pallina estratta è rossa P (A R) = P (A R) P (R) = P (A)P (R A) P (R) = 3/33 = 1/11

3 Supponiamo ora che se il risultato del dado è 1 vengono estratte due palline senza reimmissione dall urna A altrimenti vengono estratte due palline senza reimmissione dall urna B Elencare i possibili risultati dell esperimento casuale colore delle palline estratte Rosso, Nero, Nero e Rosso Calcolare la probabilità che le due palline siano entrambe nere P (N 1 N 2 ) = P (N 1 N 2 A)P (A) + P (N 1 N 2 B)P (B) = P (N 2 N 1, A)P (N 1 A)P (A) + P (N 2 N 1, B)P (N 1 B)P (B) = (5/8)(4/7)(1/6) + (2/8)(1/7))(5/6) = 15/(168) Calcolare la probabilità che almeno una pallina sia rossa x 1 P (N 1 N 2 ) = 1 15/168 Esercizio 3. 9 punti Ad un campione di 200 studenti che si sono laureati in Economia presso l Università La Sapienza nell anno accaademico 2010/2011 è stato chiesto se, a distanza di un anno dalla laurea, avevano trovato un lavoro soddisfacente e se erano soddisfatti del loro corso di studi. I risultati sono riportati nella seguente tabella Soddisfazione studi si no Lavoro si Lavoro no Riportare la distribuzione della variabile soddisfazione del corso di studi condizionatamente all aver trovato un lavoro soddisfacente 31/43 = /43 = 0.28 Calcolare la statistica test chi-quadrato per misurare la dipendenza tra le due variabili rilevate Frequenze teoriche Soddisfazione studi si no Lavoro si Lavoro no X 2 = (freq.oss freq.teoriche) 2 f req.teoriche = 3.88 Stabilire se l ipotesi di indipendenza tra le due variabili può essere rifiutata ad un livello di significatività del 5%. Il valore della distribuzioni chi-quadrato che ha alla propria destra un area pari al 5% è Poiché 3.88 > 3.84 possiamo rifiutare l ipotesi di indipendenza al livello del 5%.

4 In relazione alla tabella sopra riportata, le prossime due domande fanno riferimento alla sola distribuzione marginale della variabile soddisfazione del corso di studi Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di laurati soddisfatti del proprio corso di studi ˆp = 118/200 = 0.59 [ ] ˆp(1 ˆp) ˆp ± 1.96 = [0.52; 0.66] n Stabilire se nella popolazione di riferimento, la proporzione di laureati soddisfatti del loro corso di studi è superiore al 50%, utilizzando un livello di significatività del 2.5%. (Riportare sistema di ipotesi, statistica test, P-value e conclusioni) H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5 z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 )/n = 2.55 P (Z > 2.55) = Rifiuto H 0 Esercizio 4. 8 punti In uno studio condotto su 25 titolari di conti correnti è stata analizzata la relazione tra l età del correntista (variabile X) e l importo medio tenuto sul conto nell ultimo mese (variabile Y ). I risultati hanno dato luogo alle seguenti statistiche r = 0.8, x = 42 ȳ = 6500 s x = 12.5 e s y = Determinare l equazione della retta di regressione dei minimi quadrati per le variabili X e Y sopra definite L equazione della retta di regressione è quindi b = r s y s x = = 96 a = ȳ b x = = 2468 y = x Sulla base del modello stimato, qual è l importo mensile medio per un correntista di 25 anni 4868 = Passando da persone di 35 anni a persone di 36 anni, di quanto aumenta l importo mensile tenuto sul conto secondo la retta di regressione dei minimi quadrati? Ricordando che l indice r 2 è pari a b = 96 Euro r 2 = n (ŷ i ȳ) 2 n (y i ȳ) 2

5 e che (y i ȳ) 2 = calcolare l errore standard di b (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i ȳ) 2 Dalla prima relazione si ricava che (ŷ i ȳ) 2 = r 2 (y i ȳ) 2 e sostituendo l espressione appena trovata nella seconda relazione otteniamo che ovvero (y i ȳ) 2 = (y i ŷ i ) 2 + r 2 (y i ȳ) 2 (y i ŷ i ) 2 = (1 r 2 ) (y i ȳ) 2 Abbiamo quindi che e 2 i = (ŷ i y i ) 2 = (1 r 2 ) e quindi che l errore standard dei residui è (y i ȳ) 2 = (1 r 2 )s 2 y(n 1) = ( ) = e l errore standard di b è ES b = s = e 2 i n 2 = 919 s (xi x) = = 15 Calcolare l intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente angolare β del modello di regressione [b ± t ES b ] = [96 ± ] = [96 ± 30.14] = [ ] Calcolare l intervallo predittivo al 95% per l importo di un correntista di 25 anni [ŷ ± t ESŷ] = [4868 ± ] = [ ]