Problema 1. Cognome, Nome: Facoltà di Economia Statistica Esame 1-20/01/2010: A. Matricola: Corso:

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1 Facoltà di Economia Statistica Esame 1-20/01/2010: A Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Su 10 imprese è stato rilevato l utile netto dell ultimo triennio espresso in milioni di euro. Il risultato è riportato nella tabella: A B C D E F G H I L (4 Punti) L utile complessivo per le imprese appartenenti al primo decile della distribuzione osservata dell utile netto. 2. (2 Punti) Determinare la mediana dell utile netto. 1

2 Problema 2. Sia X il guadagno di una certa attività finanziaria. Supponiamo sia distribuito uniformemente in (a,2a) dove il guadagno minimo è comunque positivo: a > (3 Punti) Calcolare il guadagno medio. 2. (3 Punti) Determinare il primo quartile del guadagno. 2

3 Problema 3. SiaZ unavariabilealeatoriadistribuitaconleggenormaledimediaµevarianzaσ 2. Supponiamo inoltre che X = πz. 1. (3 Punti) Supponendoµ = 0 e σ = 1 calcolare la distribuzione di probabilità di Y = X2 1 + X2 π 2 2 dove X 1 = πz 1, X 2 = πz 2 e Z 1,Z 2 sono due v.a. indipendenti con la stessa distribuzione di Z. π 2, 2. (3 Punti) Calcolare la varianza di X. 3

4 Problema 4. La quantità di oro in una serie di oggetti uguali, dichiarata dall orefice è pari 0.1gr. In un campione casuale di 5 oggetti la quantità di oro rilevata è Oggetto # Oro in gr (3 Punti) Valutare l ipotesi che l orefice sia onesto. 2. (3 Punti) Supponendo che la quantità di oro sia distribuita con legge normale valutare se la quantità dichiarata dall orefice è compatibile con i dati rilevati. 4

5 Problema 5. Il reddito netto di 10 trasportatori (in milioni di euro) è -1,5,2,-3,-4,0,1,4,-3,-5. Supponiamo che il reddito sia distribuito con legge Normale. 1. (3 punti) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per il reddito netto del settore. 2. (3 punti) Valutare se i redditi sono compatibili con una crisi nel settore dei trasporti? 5

6 Risposte compito A Problema 1. Su 10 imprese è stato rilevato l utile netto dell ultimo triennio espresso in milioni di euro. Il risultato è riportato nella tabella: A B C D E F G H I L (4 Punti) L utile complessivo per le imprese appartenenti al primo decile della distribuzione osservata dell utile netto. Soluzione. Su dieci imprese, una sola cumula il 10% e questa impresa non produce utili. 2. (2 Punti) Determinare la mediana dell utile netto. Soluzione. Il valore mediano è 2. 1

7 Problema 2. Sia X il guadagno di una certa attività finanziaria. Supponiamo sia distribuito uniformemente in (a,2a) dove il guadagno minimo è comunque positivo: a > (3 Punti) Calcolare il guadagno medio. Soluzione. Usando la media dell uniforme si ha E(X) = 3 2 a. 2. (3 Punti) Determinare il primo quartile del guadagno. Soluzione. Il primo quartile, x 0.25, è il valore X che cumula il 25% della probabilità. Quindi occorre risolvere la seguente equazione: x0.25 a f(x)dx = 0.25 x0.25 a 1 2a a dx = 0.25 x 0.25 = 1.25a. 2

8 Problema 3. SiaZ unavariabilealeatoriadistribuitaconleggenormaledimediaµevarianzaσ 2. Supponiamo inoltre che X = πz. 1. (3 Punti) Supponendoµ = 0 e σ = 1 calcolare la distribuzione di probabilità di Y = X2 1 + X2 π 2 2 dove X 1 = πz 1, X 2 = πz 2 e Z 1,Z 2 sono due v.a. indipendenti con la stessa distribuzione di Z. Soluzione. E immediato verificare che Y = Z1 2 +Z2 2, dove Z 1,Z 2 N(0,1) e quindi Y χ 2 ν=2. π 2, 2. (3 Punti) Calcolare la varianza di X. Soluzione. Utilizzando le proprietà della varianza abbiamo Var(X) = π 2 Var(Z) = π 2 σ 2. 3

9 Problema 4. La quantità di oro in una serie di oggetti uguali, dichiarata dall orefice è pari 0.1gr. In un campione casuale di 5 oggetti la quantità di oro rilevata è Oggetto # Oro in gr (3 Punti) Valutare l ipotesi che l orefice sia onesto. Soluzione. Dal problema sappiamo che X N(µ,σ 2 ) dove σ 2 è ignoto. Dobbiamo verificare H 0 : µ = µ 0 = 0.1 contro H A : µ < 0.1. Fissando α = 0.05 allora rifiutiamo l ipotesi di nulla in favore dell alternativa se T < t α,ν=n 1 X 0.1 S/ n < t 0.05,ν=5 1 = Il valore osservato della statistica test è t obs = ( )/ 0.05/5 = 2.17 e quindi non rifiutiamo l ipotesi che l orefice sia onesto. 2. (3 Punti) Supponendo che la quantità di oro sia distribuita con legge normale valutare se la quantità dichiarata dall orefice è compatibile con i dati rilevati. Soluzione. Dal problema sappiamo che X N(µ,σ 2 ) dove σ 2 è ignoto. Dobbiamo verificare H 0 : µ = µ 0 = 0.1 contro H A : µ µ 0. Fissando α = 0.05 allora rifiutiamo se T > t α/2,ν=n 1 X 0.1 S/ n > t 0.025,ν=5 1 = Il valore osservato della statistica test è t obs = ( )/ 0.05/5 = 2.17 e quindi la dichiarazione dell orefice è compatibile con i dati osservati. 4

10 Problema 5. Il reddito netto di 10 trasportatori (in milioni di euro) è -1,5,2,-3,-4,0,1,4,-3,-5. Supponiamo che il reddito sia distribuito con legge Normale. 1. (3 punti) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per il reddito netto del settore. Soluzione. Si tratta di calcolate l IC per la media µ con varianza incognita. Per α = 0.1 si ha µ ( x±t α/2,ν=n 1 S/ n) = µ ( 0.4±1.83 (3.4/ 10)) = µ ( 2.367,1.567). 2. (3 punti) Valutare se i redditi sono compatibili con una crisi nel settore dei trasporti? Soluzione. Si tratta di valutare l ipotesi H 0 : µ = 0, H 1 : µ < 0 La statistica test è T = X/S n Student(ν = n 1), rifiutiamo se T < t α,ν=n 1. Per α = 0.05 il valore critico è -1.83, mentre t obs = 0.4/ = 0.37 e quindi non rifiutiamo l ipotesi che il settore non sia in crisi. Lo stesso risultato si poteva ottenere osservando che l IC al 95% contiene il valore 0. 5

11 Facoltà di Economia Statistica Esame 1-20/01/2010: B Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Su 10 imprese è stato rilevato l utile netto dell ultimo triennio espresso in milioni di euro. Il risultato è riportato nella tabella: A B C D E F G H I L (2 Punti) Determinare la mediana dell utile netto. 2. (4 Punti) L utile complessivo per le imprese appartenenti al primo decile della distribuzione osservata dell utile netto. 1

14 Problema 4. La quantità di oro in una serie di oggetti uguali, dichiarata dall orefice è pari 0.1gr. In un campione casuale di 5 oggetti la quantità di oro rilevata è Oggetto # Oro in gr (3 Punti) Valutare l ipotesi che l orefice sia onesto. 2. (3 Punti) Supponendo che la quantità di oro sia distribuita con legge normale valutare se la quantità dichiarata dall orefice è compatibile con i dati rilevati. 4

15 Problema 5. Il reddito netto di 10 trasportatori (in milioni di euro) è -1,5,2,-3,-4,0,1,4,-3,-5. Supponiamo che il reddito sia distribuito con legge Normale. 1. (3 punti) Valutare se i redditi sono compatibili con una crisi nel settore dei trasporti? 2. (3 punti) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per il reddito netto del settore. 5

16 Facoltà di Economia Statistica Esame 1-20/01/2010: C Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Su 10 imprese è stato rilevato l utile netto dell ultimo triennio espresso in milioni di euro. Il risultato è riportato nella tabella: A B C D E F G H I L (4 Punti) L utile complessivo per le imprese appartenenti al primo decile della distribuzione osservata dell utile netto. 2. (2 Punti) Determinare la mediana dell utile netto. 1

17 Problema 2. Sia X il guadagno di una certa attività finanziaria. Supponiamo sia distribuito uniformemente in (a,2a) dove il guadagno minimo è comunque positivo: a > (3 Punti) Determinare il primo quartile del guadagno. 2. (3 Punti) Calcolare il guadagno medio. 2

19 Problema 4. La quantità di oro in una serie di oggetti uguali, dichiarata dall orefice è pari 0.1gr. In un campione casuale di 5 oggetti la quantità di oro rilevata è Oggetto # Oro in gr (3 Punti) Supponendo che la quantità di oro sia distribuita con legge normale valutare se la quantità dichiarata dall orefice è compatibile con i dati rilevati. 2. (3 Punti) Valutare l ipotesi che l orefice sia onesto. 4

20 Problema 5. Il reddito netto di 10 trasportatori (in milioni di euro) è -1,5,2,-3,-4,0,1,4,-3,-5. Supponiamo che il reddito sia distribuito con legge Normale. 1. (3 punti) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per il reddito netto del settore. 2. (3 punti) Valutare se i redditi sono compatibili con una crisi nel settore dei trasporti? 5

21 Facoltà di Economia Statistica Esame 1-20/01/2010: D Cognome, Nome: Matricola: Corso: Problema 1. Su 10 imprese è stato rilevato l utile netto dell ultimo triennio espresso in milioni di euro. Il risultato è riportato nella tabella: A B C D E F G H I L (2 Punti) Determinare la mediana dell utile netto. 2. (4 Punti) L utile complessivo per le imprese appartenenti al primo decile della distribuzione osservata dell utile netto. 1

23 Problema 3. SiaZ unavariabilealeatoriadistribuitaconleggenormaledimediaµevarianzaσ 2. Supponiamo inoltre che X = πz. 1. (3 Punti) Calcolare la varianza di X. 2. (3 Punti) Supponendoµ = 0 e σ = 1 calcolare la distribuzione di probabilità di Y = X2 1 + X2 π 2 2, π 2 dove X 1 = πz 1, X 2 = πz 2 e Z 1,Z 2 sono due v.a. indipendenti con la stessa distribuzione di Z. 3

24 Problema 4. La quantità di oro in una serie di oggetti uguali, dichiarata dall orefice è pari 0.1gr. In un campione casuale di 5 oggetti la quantità di oro rilevata è Oggetto # Oro in gr (3 Punti) Supponendo che la quantità di oro sia distribuita con legge normale valutare se la quantità dichiarata dall orefice è compatibile con i dati rilevati. 2. (3 Punti) Valutare l ipotesi che l orefice sia onesto. 4

25 Problema 5. Il reddito netto di 10 trasportatori (in milioni di euro) è -1,5,2,-3,-4,0,1,4,-3,-5. Supponiamo che il reddito sia distribuito con legge Normale. 1. (3 punti) Valutare se i redditi sono compatibili con una crisi nel settore dei trasporti? 2. (3 punti) Calcolare l intervallo di confidenza al 90% per il reddito netto del settore. 5