Statistica. Lauree Triennali in Biologia e Biologia Molecolare Nome: 13 luglio 2010 Matricola: Cognome: Tema C

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1 Statistica Cognome: Lauree Triennali in Biologia e Biologia Molecolare Nome: 13 luglio 2010 Matricola: Tema C 1. Parte A 1.1. Indichiamo con Q 1 e Q 3 il primo e terzo quartile, con m la mediana e con x la media di un campione di dati x 1,..., x n. Si può certamente affermare che se Q 1 = Q 3, allora m = Q 1. se Q 1 = Q 3, allora m = x. se i dati x 1,..., x n non sono tutti uguali tra loro, allora Q 1 x Q 3. Q 1 < m oppure m < Q Lancio un dado regolare a sei facce e, indipendentemente, due monete equilibrate. Qual è la probabilità che il risultato del dado sia 3 e che entrambe le monete diano croce? Sia Φ(x) = P (Z x) la funzione di ripartizione e z α il percentile della distribuzione normale standard. Se X N(2, 9), la probabilità P (X 3) vale Φ( 1 9 ) z 1 3 Φ( 1 3 ) z Sono dati due eventi A e B di uno spazio di probabilità tali che P (A) = P (B) = 3 4. Quale dei seguenti valori certamente non può essere assunto da P (A B)? In un test per la media incognita µ di un campione normale a varianza nota ottengo una media campionaria x = 2.5. Allora si può essere certi che l ipotesi H 0 : µ 2.3 non è rifiutata a qualunque livello di significatività. l ipotesi H 0 : µ 2.3 è rifiutata a qualunque livello di significatività. l ipotesi H 0 : µ 2.3 è rifiutata a qualunque livello di significatività. l ipotesi H 0 : µ 2.3 non è rifiutata a qualunque livello di significatività Sia Y P o(4n) e sia Z := Y an b. Per quali valori delle costanti a, b la variabile Z ha una n distribuzione approssimativamente normale standard per n grande? a = 4, b = 4 a = 2, b = 4 a = 4, b = 2 a = 2, b = 2 1

2 Si vuole testare l indipendenza del sesso di una persona dal fatto di essere o non essere fumatore. Esaminando un campione di individui, il valore della statistica del test è T = Sapendo che χ ,1 = 3.84 e χ2 0.05,1 = 6.53, si può concludere che il valore-p del test è compreso tra 1% e 5%. il valore-p del test è maggiore di 5%. il valore-p del test è minore di 1%. nessuna delle precedenti (per rispondere è necessario conoscere l ampiezza del campione di individui esaminato). 2. Parte B 2.1. noto che una determinata forma influenzale colpisce l 1.9% della popolazione. Un gruppo di 863 pazienti è in trattamento con un nuovo medicinale per il colesterolo, e di essi 19 contraggono l influenza. Ci sono ragioni sufficienti per concludere, con significatività del 5%, che tale medicinale aumenti in modo significativo la probabilità di contrarre l influenza? Soluzione. Usiamo un test su una proporzione, per l ipotesi nulla H 0 : p Posto ˆp = , la statistica test è ˆp st ( )/ 863 Essendo z 0.05 = > st, H 0 non viene rifiutata: non ci sono ragioni sufficienti per concludere, con significatività del 5%, che tale medicinale aumenti in modo significativo la probabilità di contrarre l influenza.

3 Nell arco di un triennio, sono stati registrati 1603 incidenti stradali capitati ai 708 guidatori di una società di trasporto pubblico. La seguente tabella riporta come tali incidenti sono distribuiti tra i vari autisti: n. di autisti n. di incidenti o più Questi dati sono compatibili con l ipotesi che il numero di incidenti per autista abbia distribuzione di Poisson? Soluzione. Il primo passo nel test di buon adattamento consiste nello stimare il parametro della distribuzione di Poisson. Dalla tabella di frequenza si ottiene ˆλ = x = Otteniamo la seguente tabella, in cui le frequenze attese sono calcolate con la formula per k 9. e k k! 706 n. di incidenti frequenza frequenza attesa o più Poiché vi sono troppe frequenze attese minori di 5, la tabella va ridotta come segue: Da questa si calcola la statistica test: n. di incidenti frequenza frequenza attesa o più st = ) ( )

4 4 Poiché st > χ ,6 = , l ipotesi H 0 di adattamento alla distribuzione di Poisson viene rifiutata: i dati non sono compatibili con l ipotesi che il numero di incidenti per autista abbia distribuzione di Poisson.

5 Sulla base delle osservazioni sul passato, si può ritenere che la probabilità che in un anno in Italia avvenga un terremoto di grande intensità (almeno 6.0 gradi nella scala Richter) sia pari a Supponiamo che gli eventi che avvengano terremoti in anni diversi siano indipendenti. Trascuriamo inoltre la possibilità che in un singolo anno avvenga più di un terremoto. Sia X il numero di terremoti di grande intensità che avverranno in Italia nei prossimi 20 anni e sia A l evento che nei prossimi 20 anni si verifichi più di 1 terremoto di grande intensità. a) Si determini la distribuzione della variabile X e si calcoli la probabilità dell evento A. b) Si calcoli la probabilità dell evento A usando l approssimazione di Poisson. c) Si calcoli la probabilità dell evento A usando l approssimazione normale. È lecito farlo? Soluzione. a) Per lo schema delle prove ripetute e indipendenti, X B(20, 0.13). Di conseguenza ( ) ( ) P (A) = P (X > 1) = 1 P (X = 0) P (X = 1) = = = b) Per l approssimazione di Poisson X Y := P o( ) = P o(2.6), quindi P (A) P (Y > 1) = 1 P (Y = 0) P (Y = 1) = 1 e 2.6 e = c) Secondo le regole viste a lezione non sarebbe lecito usare l approssimazione normale, perché np = = 2.6 < 5. Tuttavia il risultato è comunque molto buono: usando l approssimazione di continuità, dato che E(X) = = 2.6 e V ar(x) = (1 0.13) = 2.262, si ottiene ( ) X P (X > 1) = P (X > 1.5) = P > = P (Z > 0.73) = Φ(0.73) =