METODI STATISTICI PER LA BIOLOGIA. Paolo Dai Pra e Francesco Caravenna

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1 METODI STATISTICI PER LA BIOLOGIA. Paolo Dai Pra e Francesco Caravenna 18 marzo 2008 NOME 1. Parte A 1.1. Sono stati raccolti 7 dati relativi ad una variabile x. Si sa che 3 dati hanno valore 5; 2 dati hanno valore 3; 2 dati hanno valore 0. La mediana vale La probabilità di ottenere due teste e una croce lanciando tre monete equilibrate è Siano X B ( 1, 1 4) e Y B ( 1, 3 4) due variabili casuali indipendenti. Allora V ar(x + Y ) vale Una variabile casuale X ha distribuzione χ 2 n. Allora La distribuzione di X è simmetrica rispetto a 0 X assume sono valori positivi X è una variabile discreta X 1 ha distribuzione χ 2 n Siano (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) un campione di dati per due variabili x e y, per le quali si vuole costruire un modello di regressione lineare, con x come ingresso e y come uscita. Sia SS R la somma dei quadrati dei residui, e S yy = i = 1n (y i = y) 2. Supponiamo che SS R S yy = Possiamo allora concludere che non è opportuno descrivere i dati con un modello di regressione lineare. le due variabili sono fortemente correlate tra le due variabili non c è una correlazione significativa nessuna delle precedenti 1.6. Una casa farmaceutica afferma che un certo farmaco ha l effetto di aumentare in media il valore di una variabile ematica x, che assumiamo avere distribuzione normale. Per verificare tale affermazione, viene misurato il valore di x ad un gruppo di volontari, prima e dopo la somministrazione del farmaco. Quale Test è opportuno usare? Un test χ 2 di indipendenza Un test su una proporzione Un test di confronto di medie per campioni normali indipendenti Un test per dati appaiati. 1

2 Un test t per una media di un campione normale non deve assolutamente essere usato se la distribuzione della variabile in esame è normale ma la taglia del campione è piccola la taglia del campione è molto grande ( 1000) ma la distribuzione della variabile in esame non è normale la varianza della variabile in esame è molto grande nessuna delle precedenti

3 3 2. Parte B 2.1. Un impiegato della questura deve esaminare 100 domande di permesso di soggiorno, i cui richiedenti possono essere così suddivisi: Europei non UE Extraeuropei Uomini Donne 6 27 L impiegato sceglie a caso la prima domanda da esaminare. a) Qual è la probabilità che la prima domanda esaminata sia quella di una donna? b) Sapendo che la prima domanda esaminata è quella di una donna, qual è la probabilità che sia la domanda di una cittadina extraeuropea? Soluzione. a) Il numero totale di domande presentate da donne è pari a 27+6 = 33. La probabilità cercata vale dunque = b) Introducendo gli eventi A = {la domanda è presentata da una donna} B = {la domanda è presentata da un/una cittadino/a extraeuropeo/a}, dobbiamo calcolare P (B A) = P (B A) P (A). Contando ancora i casi favorevoli sui casi possibili, si ha che P (B A) = , = P (B A) = 100 = =

4 Un produttore di tabacchi pubblicizza sigarette dichiarando che il contenuto medio di nicotina è inferiore a 40 mg. Esami di laboratorio su 10 sigarette scelte a caso, hanno fornito i seguenti contenuti di nicotina: Questi dati sono sufficienti a considerare ingannevole la pubblicità del produttore? (Effettuare un test all 1%). Soluzione. Eseguiamo un test per la media µ di un campione approssimativamente normale di varianza incognita, con l ipotesi H 0 : µ µ 0 := 40. Calcoliamo media e varianza campionarie: x = = 43.48, s 2 x = ( ) ( ) 2 = La regione critica del test è pari a { } x µ0 C = n > tn 1,α. s x Dato che t = x µ n = 10 = 2.91, t9,0.01 = 2.82, s x l ipotesi H 0 è rifiutata all 1%: c è forte evidenza che la pubblicità del produttore sia ingannevole.

5 Uno studio ha lo scopo di determinare la correlazione tra pressione sanguigna sistolica (massima) e diastolica (minima) in individui normotesi. I seguenti dati sono relativi a 6 individui normotesi selezionati in modo casuale: sistolica (x) diastolica (y) Stimare i coefficienti del modello di regressione lineare e verificare al 5% se le due variabili siano correlate in modo significativo. Soluzione. Calcoliamo innanzitutto le medie campionarie: x = = , y = = Quindi calcoliamo S xy = x i y i 6 x y = = = S xx = x 2 i 6 x 2 = = = Le stime per i coefficienti α, β sono dunque b = S xy = = 0.667, a = y bx = = S xx Per effettuare un test sull ipotesi H 0 : β = 0, calcoliamo innanzitutto S yy = yi 2 6 y 2 = = = , da cui possiamo ricavare la somma dei residui SS R : SS R = S yy S2 xy = S xx = Ricordiamo che la regione critica del test è data da (n 2)S xx C = b > t n 2,α/2 SS R. Dato che (n 2)S xx b = SS R , t 4,0.025 = 2.77, l ipotesi H 0 è accettata al 5%: i dati non evidenziano una significativa correlazione tra le due variabili.