Metodi statistici per lo studio dei fenomeni biologici

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1 Metodi statistici per lo studio dei fenomeni biologici Alla fine di questa lezione dovreste essere in grado di: descrivere la distribuzione di campionamento della differenza di due medie costruire gli intervalli di confidenza delle differenza di due medie con campioni indipendenti spiegare la logica del test di significatività statistica spiegare il concetto di ipotesi nulla spiegare il concetto di errore di I e II tipo effettuare un test di significatività per confrontare due medie di campioni indipendenti Quant è la differenza di altezza fra uomini e donne? DONNE UOMINI Frequenza x d = 65.4 cm Frequenza x u = 77.3 cm Altezza (cm) Altezza (cm) La differenza dell altezza tra Uomini e Donne nel campione: x u - x d =.8 cm

2 Distribuzione delle Medie Campionarie dell Altezza COMPLESSIVO DONNE UOMINI DIFFERENZA Uomini - Donne Distribuzione delle Medie Campionarie dell Altezza DIFFERENZA Uomini - Donne µ u - µ d

3 Distribuzione delle Medie Campionarie Caratteristiche della distribuzione delle medie campionarie. È approssimativamente Gaussiana. La media della distribuzione è µ 3. La deviazione standard della distribuzione è uguale a σ/ n E la distribuzione della differenza delle medie campionarie? Occorre distinguere in due casi differenti: Campioni Indipendenti (es. Uomini-Donne) Campioni Appaiati (es. misure ripetute) Campioni Indipendenti Distribuzione della differenza delle medie campionarie. È approssimativamente Gaussiana. La media della distribuzione è µ - µ 3. L errore standard della distribuzione è uguale a: + La varianza delle due σ n n popolazioni è uguale Di questa situazione non ci occupiamo σ + σ n n La varianza delle due popolazioni non è uguale 3

4 Calcolo dell Intervallo di Confidenza al 95% ( X ) + ( ) + + u X d z σ, X u X d z σ nu nd nu nd Informazioni n u = 8 n d = x u = 77.3 x d = 65.4 σ = 8.5 z =.96 Limite Inferiore ( ) = = 4. 3 Limite Superiore ( ) = = 9. 5 Altezza della Popolazione di Studenti per Genere Frequenza DONNE µ d = 65.8 cm Frequenza UOMINI µ u = 78.5 cm Altezza (cm) Altezza (cm) La differenza dell altezza tra Uomini e Donne nella popolazione: µ u - µ d =.7 cm 4

5 Se σ è sconosciuta? Problema Se la varianza della popolazione σ² non è nota? Soluzione Utilizzo le due varianze campionarie s e per stimare la varianza della popolazione: S pooled = ( n ) S + ( n ) n + n S s In questo caso la distribuzione delle differenza delle medie approssima alla distribuzione t con n + n - gradi di libertà Calcolo dell Intervallo di Confidenza al 95% ( X ) + ( ) + + u X d t gl s pooled, X u X d tgl s pooled nu nd nu nd Informazioni n u = 8 n d = x u = 77.3 x d = 65.4 s u = 58.8 s d = 5.5 gl = 8 t 8 =.0 Limite Inferiore ( ) =.9 7. = 4. 8 Limite Superiore ( ) = =

6 I soggetti con Rh+ hanno una altezza differente rispetto ai soggetti con Rh-? Lo studio verrà svolto su un campione di 0 studenti del primo anno di medicina Approccio ipotetico-deduttivo La struttura della ricerca clinica θ ( ) E θˆi θˆi 6

7 Ipotesi iniziale Ipotesi nulla (H 0 ) Risultati attesi sotto H 0 Distribuzione di campionamento Confronto osservati-attesi Conclusioni Test statistico Rifiuto/non rifiuto di H 0 In tribunale... L imputato è presunto innocente... La colpevolezza va dimostrata oltre ogni... Ragionevole dubbio in un... Dibattimento, alla fine del quale si può Condannare... un colpevole un innocente Assolvere.. un innocente un colpevole Giustizia è fatta! Errore giudiziario! Giustizia è fatta! Errore giudiziario! 7

8 Ipotesi iniziale Ipotesi nulla (H 0 ) L ipotesi nulla H 0 è un affermazione sull effetto vero del trattamento che lo studio si propone di confutare. È considerata valida fino a prova contraria. Se l obiettivo è riconoscere un eventuale differenza tra i gruppi, l ipotesi nulla è che le medie dei due gruppi siano uguali. H 0 : µ Rh+ = µ Rh- oppure µ Rh+ - µ Rh- = 0 ipotesi nulla H : µ Rh+ µ Rh- oppure µ Rh+ - µ Rh- 0 ipotesi alternativa Risultati attesi sotto H 0 Distribuzione di campionamento Distribuzione delle differenze campionarie teoricamente possibili se i gruppi fossero uguali.. È approssimativamente Gaussiana. La media della distribuzione è 0 3. L errore standard della distribuzione è uguale a: + σ n n Definita da H 0 La varianza delle due popolazioni è uguale 8

9 Distribuzione di campionamento se H 0 fosse vera H 0 : δ=0 0 Differenza osservata d Confronto osservati-attesi Test statistico Si valuta la distanza tra risultato campionario e teorico atteso Si calcola la plausibilità di H 0 visti i dati Quanto è probabile che la differenza effettivamente osservata sia imputabile al caso (se non vi sono differenze fra i gruppi)? maggiore è la distanza del risultato osservato dall ipotesi nulla, minore è la probabilità che il risultato osservato possa essere casuale 9

10 Confronto osservati-attesi Test statistico Il campione di studenti ha dato i seguenti risultati: n + = 5 n - = 5 x + = 7.3 x - = 66.6 La differenza tra le due medie è pari a 4.7 cm Quanto è probabile che questa differenza sia imputabile al caso (se in realtà l altezza media è uguale nei due gruppi)? Confronto osservati-attesi Test statistico Questo Test in realtà già lo conosciamo: Z = ( x x ) ( µ ) σ µ Sotto l ipotesi H 0 la + n n differenza è nulla La deviazione standard potremmo non conoscerla, ma sappiamo come stimarla 0

11 Confronto osservati-attesi Test statistico Modifichiamo il Test nel caso σ non sia nota: z = ( x x ) ( µ µ ) ( x x ) ( µ µ ) σ + n n t gl = s pooled + n n Conclusioni Rifiuto/non rifiuto di H 0 Serve una regola che consenta di rifiutare H 0 se i dati campionari non sono consistenti con H 0 Si rifiuta H 0 se d è molto più piccola o molto più grande di zero: ma quanto più grande o più piccolo? SI DEVE SCEGLIERE UNA REGIONE CRITICA Si rifiuta H 0 Non si rifiuta H 0 Si rifiuta H 0 δ=0 d

12 Distribuzione di campionamento sotto H 0 Regione critica di rifiuto ( code) H 0 : δ = 0 α = livello di significatività Conclusioni Rifiuto/non rifiuto di H 0 Con il Test Statistico calcoliamo la probabilità che la differenza osservata sia imputabile al caso (se in realtà l altezza media è uguale nei due gruppi) Se questa probabilità è piccola, ovvero se il risultato osservato è sufficientemente diverso da zero, il risultato si dice statisticamente significativo: abbiamo prove sufficienti per concludere che l ipotesi nulla di assenza di efficacia sia falsa. Errore associato: risultato falso positivo o di I tipo

13 Risultato statisticamente significativo α = livello di significatività α=0.05 H 0 : δ=0 0 Differenza osservata d Risultato statisticamente significativo α = livello di significatività α=0.05 H 0 : δ=0 Differenza osservata 0 d 3

14 Conclusioni Rifiuto/non rifiuto di H 0 Con il Test Statistico calcoliamo la probabilità che la differenza osservata sia imputabile al caso (se in realtà l altezza media è uguale nei due gruppi) Se questa probabilità non è piccola, ovvero se il risultato osservato non è sufficientemente diverso da zero, il risultato si dice statisticamente non significativo: non abbiamo, cioè, prove sufficienti per confutare l ipotesi nulla di assenza di efficacia Errore associato: risultato falso negativo o di II tipo Risultato statisticamente non significativo α = livello di significatività α=0.05 H 0 : δ=0 0 Differenza osservata d 4

15 Errori di I e II tipo Medie della Popolazione Conclusione Test Le medie non sono differenti VN Uguali (H 0 ) Differenti (H ) II FN Le medie sono differenti FP I VP Probabilità degli errori di I (α) e II tipo (β) 5

16 Confronto osservati-attesi Test statistico Il campione di studenti ha dato i seguenti risultati: n + = 5 n - = 5 x + = 7.3 x - = 66.6 La differenza tra le due medie è pari a 4.7 cm Quanto è probabile che questa differenza sia imputabile al caso (se in realtà l altezza media è uguale nei due gruppi)? Confronto osservati-attesi Test statistico Applichiamo il Test ai nostri dati: t gl = ( x x ) ( µ ) s pooled µ ( ) ( 0) + n n t = = =

17 Percentili della distribuzione t di Student PROBABILITA' ( code) PROBABILITA' ( coda) GL 0, 0,05 0,0 0,0 0,05 0,05 0,0 0,00 5 6,3,7 3,8 63,66 6,3,7 3,8 63,66,9 4,30 6,96 9,9,9 4,30 6,96 9,9 3,35 3,8 4,54 5,84,35 3,8 4,54 5,84 4,3,78 3,75 4,60,3,78 3,75 4,60 5,0,57 3,36 4,03,0,57 3,36 4,03 6,94,45 3,4 3,7,94,45 3,4 3,7 7,89,36 3,00 3,50,89,36 3,00 3,50 8,86,3,90 3,36,86,3,90 3,36 9,83,6,8 3,5,83,6,8 3,5 0,8,3,76 3,7,8,3,76 3,7,80,0,7 3,,80,0,7 3,,78,8,68 3,05,78,8,68 3,05 3,77,6,65 3,0,77,6,65 3,0 4,76,4,6,98,76,4,6,98 5,75,3,60,95,75,3,60,95 6,75,,58,9,75,,58,9 7,74,,57,90,74,,57,90 8,73,0,55,88,73,0,55,88 9,73,09,54,86,73,09,54,86 0,7,09,53,85,7,09,53,85,7,08,5,83,7,08,5,83,7,07,5,8,7,07,5,8 3,7,07,50,8,7,07,50,8 4,7,06,49,80,7,06,49,80 5,7,06,49,79,7,06,49,79 6,7,06,48,78,7,06,48,78 7,70,05,47,77,70,05,47,77 8,70,05,47,76,70,05,47,76 9,70,05,46,76,70,05,46,76 30,70,04,46,75,70,04,46,75,64,96,05,33,64,96,05,33 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Area nelle due code -4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 t,0 Se t < -.0 rifiuto H 0 Se t > +.0 rifiuto H 0 Se -.0 < t <.0 non rifiuto H 0 Conclusioni Rifiuto/non rifiuto di H 0 f(t) Funzione di Densita Distribuzione t (8 gl) α = 0.05 Area di non rifiuto Area di rifiuto t=0.98 Area di rifiuto t 7