Corso introduttivo di Epidemiologia e Biostatistica

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1 Corso introduttivo di Epidemiologia e Biostatistica massimo guerriero carlo pomari e con il contributo di: Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.1

2 Verifica delle ipotesi Si consideri la sperimentazione di un nuovo fertilizzante (A) del quale si intende confrontare l efficacia rispetto ad un fertilizzante tradizionale (B). Lo sperimentatore adotterà il nuovo fertilizzante e dovrà dare risposta alla domanda: la resa media annua per ettaro è aumentata? Il problema può essere presentato come verifica dell ipotesi che la resa media di A sia uguale a 85 contro un ipotesi alternativa che sia maggiore. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.

3 Verifica delle ipotesi L ipotesi alternativa identifica la tesi che lo sperimentatore spera sia confermata dai dati empirici. L ipotesi riguarda quindi un parametro della popolazione come la media µ o la proporzione π. Per astrazione supponiamo di indicare con θθ0, θ θ0, θ<θ0 l ipotesi sottoposta a verifica che prende il nome di IPOTESI NULLA (H0). La congettura contrapposta prende il nome di IPOTESI ALTERNATIVA (H1). ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.3

4 Verifica delle ipotesi L IPOTESI NULLA (H0) ha una funzione strumentale, di riferimento mentre l IPOTESI ALTERNATIVA (H1) rappresenta la proposizione che si pensa possa trovare sostegno nelle osservazioni campionarie. Fissate le ipotesi seguono le fasi: 1. estrazione del campione. elaborazione dei dati 3. decisione di rifiutare o meno H0 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.4

5 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test z Si consideri una popolazione normale di varianza nota. Il sistema di ipotesi sia: H0 : µµ0 H1 : µ>µ0 Estratto il campione si procede con l analisi dei dati campionari che riguarda, in questo caso la media. z σ x µ n ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.5

6 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test z Si deve ora fissare il livello di significatività (0,01) e preso il quantile superiore z definiamo campioni estremi quelli in cui la statistica test assume valori maggiori di z da cui la zona di rifiuto dell ipotesi nulla sarà: R R : : { z : z > z } { } x : x > x + z σ n µ 0 Z è detto valore soglia o valore critico ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.6

7 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test z - esempio In uno stabilimento che produce pasta alimentare si vuole accertare che il peso dei pacchetti prodotti sia effettivamente di 500gr. Si ritiene che il peso sia superiore; è noto che σ 35,7. Si estrae un campione di n5 unità, si fissa 0,01 e si stima una media pari a 50,9gr. Il sistema di ipotesi è: H0 : µ500 H1 : µ>500 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.7

8 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test z - esempio 50,9 500 z,43 35,7 5 R: { z: z >,36 } R: { x : x > x 500+,36 35,7/ 5 50,78 } 0,01 LA MEDIA OSSERVATA DIFFERISCE SIGNIFICATIVAMENTE DA 500 QUINDI RIFIUTO L IPOTESI NULLA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.8

9 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test z - esempio il livello di significatività stabilisce quanto debba essere forte l evidenza empirica a favore dell ipotesi alternativa per poter rifiutare l ipotesi nulla I livelli di maggiormente utilizzati sono: 0,05 z 1,645 0,01 z,36 0,005 z,576 0,001 z 3,090 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.9

10 Livello di significatività osservato: p-value oss x µ P 0 Z z µ µ 0 n 1 σ Φ ( z) è la probabilità che, essendo vera l ipotesi nulla, la statistica test assuma un valore uguale o superiore a quello osservato, nella direzione dell ipotesi alternativa p-value decresce al crescere di z quanto più piccolo è p-value tanto più forte è l evidenza empirica contro l ipotesi nulla quindi l ipotesi nulla va rifiutata per valori piccoli del p-value (<!!!!) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.10

11 CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE esempio1 il laboratorio di analisi di un azienda produttrice di farmaci esamina un campione di 3 compresse di un nuovo farmaco per verificare l ipotesi che la concentrazione media del principio attivo sia 1,5% (come previsto dalle specifiche) contro l alternativa che sia minore. La deviazione standard è pari a 0,0076. nel campione la concentrazione media è 1,47 e il livello di significatività è fissato al 5%. RIGETTATE L IPOTESI NULLA? ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.11

12 CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE esempio1 z 1,47 1,5 0,0076 / 3,3 R { : 1,645 } : z z < oss ( Z <,3 1,5 ) P µ (,3 ) 0,019 < 0, 05 Φ IL TEST MOSTRA VALORI ALL INTERNO DELLA ZONA DI RIFIUTO PERTANTO LA DIFFERENZA E STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVA E CIOE SI DEVE RIFIUTARE L IPOTESI NULLA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.1

13 CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE esempio1 e se l ipotesi alternativa invece che postulare il MINORE, postulasse il DIVERSO? z 1,47 0,0076 / 1,5 3,3 R { } : 1,96 : z z > oss ( Z,3 µ 1,5 ) [ Φ (,3 )] 0,058 < 0, 05 1 P IL TEST MOSTRA VALORI ALL INTERNO DELLA ZONA DI RIFIUTO PERTANTO LA DIFFERENZA E STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVA E CIOE SI DEVE RIFIUTARE L IPOTESI NULLA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.13

14 Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale: il test t Si consideri una popolazione normale di varianza NON nota. La statistica test è: t µ x t n s n 1 Poi si procede come per il test z. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.14

15 CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Esempio t test Sono state osservate le pulsazioni cardiache (battiti/minuto) di 10 studenti maschi al primo anno della facoltà di medicina. La media e la varianza campionarie sono risultate rispettivamente di 68,70 e 75,1. Il valore di normalità è noto essere per quella popolazione pari a 7 b/m. Il campione indagato, al llivello di significatività del 5%, si discosta dalla normalità? H0 : µ 7 H1 : µ 7 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.15

16 CAMPIONE: ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE Esempio t test t 68, ,1 / 10 1,0 t 0,05 ;9,6 p value P ( ) t > 1,0 P ( t > 1,0 ) 0,6 >> 5% NON SI PUO RIFIUTARE L IPOTESI NULLA ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.16

17 ERRORI E POTENZA NEI TEST Ci si riferisce al caso della verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale a varianza nota. H0 : µ µ0 H1 : µ µ1 (> µ0) x µ 0 R z : z > z σ n Decisione Non rifiuto H0 Rifiuto H0 Realtà Vera H0 Falsa H0 OK(1-) II tipo(β) I tipo() OK(1-β) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.17

18 ERRORI E POTENZA NEI TEST H0 : µ µ0 H1 : µ µ1 (> µ0) Decisione Non rifiuto H0 Rifiuto H0 Realtà Vera H0 Falsa H0 OK(1-) II tipo(β) I tipo() OK(1-β) β P P { X > x } µ 0 + z σ n µ µ 0 { X < x µ + z σ n µ µ } 1 β POTENZA DEL TEST 0 1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.18

19 ERRORI E POTENZA NEI TEST CASI GIUDIZIARI H0 : IMPUTATO INNOCENTE H1 : IMPUTATO COLPEVOLE Decisione Realtà INNOCENTE COLPEVOLE INNOCENTE OK(1-) II tipo(β) COLPEVOLE I tipo() OK(1-β) β P P { X > x } µ 0 + z σ n µ µ 0 { X < x µ + z σ n µ µ } 1 β POTENZA DEL TEST 0 1 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.19

20 CONFRONTI TRA DUE POPOLAIZONI NORMALI: IL CASO DELLE MEDIE DA CAMPIONI INDIPENDENTI ( ) ( ) ( ) ( ) ; X X n n N X X + µ µ σ σ µ µ ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.0 H0 : δµ1 µ0 H1 : δ 0 [(>0) ; (<0)] e si procede come per il test z ( ) ( ) ( ) 0, N n n X X Z + σ σ µ µ

21 Esempio: In una prova sul carico di rottura di due tipi di corda, si dispone di due campioni di ampiezza 6 e 35. nel primo campione la media è di 185,3kg, nel secondo è di 175,kg. Supponendo di sapere che le due deviazioni standard nelle popolazioni normali generatrici sono 14,8 e 10,6. Si sottoponga a test l ipotesi che le medie delle due popolazioni siano uguali contro l ipotesi alternativa che siano diverse ad un livello di significatività del 5%. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.1

22 Esempio: R { } : 1,96 : z z > Z ( 185,3 175, ) ( 0 ) 14,8 6 10,6 + 35,96 H0 : δµ1 µ0 H1 : δ 0 QUINDI SI RIFIUTA L IPOTESI NULLA oss ( Z,96 δ 0) [ Φ (,96 )] 0,003 < 0, 05 1 P ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.

23 CONFRONTI TRA DUE POPOLAIZONI NORMALI: IL CASO DELLE MEDIE DA CAMPIONI INDIPENDENTI CON VARIANZA NON NOTA Se le varianze delle due popolazioni normali non fossero note si procede all uso del t test nel caso dei piccoli campioni, altrimenti si procede con l uso del test z. Le varianze saranno stimate sulla base delle osservazioni campionarie. Poi si procede come al solito. ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.3

24 CENNI ALLE PROCEDURE NON PARAMETRICHE Quando non si è certi della forma normale della distribuzione della popolazione e/o non si hanno a disposizione grandi campioni e/o la natura delle variabili non è continua allora ci si deve appellare alle PROCEDURE NON PARAMETRICHE Test U di mann-whitney (t test ) Test di Wilcoxon (paired t test) Test di kruskal-wallis (anova) Test di McNemar (Chi-quadrato) Coefficiente di correlazione di Spearman e di Kendall (ranghi) ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE -.4