Inferenza su una popolazione

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1 Inferenza su una popolazione

2 La distribuzione di x(m) ha media pari a μ, quindi x(m) è uno stimatore non distorto della media della popolazione μ. Per fare inferenza sulla media dobbiamo avere un CCS, le osservazioni devono avere una distribuzione normale con media μ e deviazione standard σ. Sia μ che σ sono parametri sconosciuti. Se σ è incognita allora la stima della deviazione standard della popolazione viene fatta sui dati utilizzando la deviazione standard calcolata s. Così da avere: Errore standard= s n

3 Es. In uno studio di carattere medico è stata misurata la pressione sanguigna ad un gruppo di 27 persone riceventi lo stesso trattamento. Nel gruppo si è calcolata una x(m) = 114,9 e s = 9,3. Qual'é l'errore standard della media?

4 Es.Alcuni biologi hanno studiato i livelli di vari composti chimici presenti negli embrioni di gambero. Nei risultati ottenuti veniva riportata la media +- l'errore standard della media (ESM) per 3 misurazioni indipendenti (vedi gradi di libertà). Ad esempio, per il composto ATP il risultato era di 0, , ovvero una media pari a x(m) = 0,84 e un errore standard della media paria a ESM = 0,01. Qual era la deviazione standard campionaria s per queste 3 misurazioni.

5 Nota la media x(m) e la deviazione standard (errore standard) σ si utilizzano le statistiche basate su z. z= x m / n La statistica z si distribuisce come una Normale standard N(0,1). Se non si conosce σ si può usare l'errore standard al posto della deviazione standard campionaria. Statistica t t= x m s/ n

6 La statistica t misura la distanza di x(m) dalla media μ in rapporto alla deviazione standard. Ogni distribuzione t viene specificata indicandone i gradi di libertà.

7 Caratteristiche distribuzioni t Le curve di densità della distribuzione t sono simili nella forma alla curva della distribuzione Normale standard. La dispersione in una distribuzione t è maggiore rispetto a quella di una Normale standardizzata. Le distribuzioni t hanno una maggiore probabilità sotto le code che al centro. Questo a causa dell'utilizzo di s al posto di σ. Più sono alti i gradi di libertà più la curva t si avvicina alla normale standard.

8 Ricavare il valore che di t che lascia il 5% di probabilità alla propria destra in una distribuzione t con 5 gradi di libertà t(5). Ricavare il valore di t che lascia il 99% di probabilità alla sua sinistra in una distribuzione t(21) Con un CCS con n = 25 ricavare il valore di t tale che la probabilità alla destra del valore sia 0,025 e poi tale che la probabilità alla sinistra del valore sia 0,75

9 Intervalli di confidenza con t Dato un CCS di numerosità n estratto dalla popolazione Normale con media μ e deviazione standard σ entrambe incognite, un intervallo di confidenza di livello 1- α per la media μ è: x m =±t s n Il valore critico t è tale che l'area sotto una curva di densità t(n-1) compresa tra -t e +t risulti pari a 1 α. Questo intervallo è esatto quando la distribuzione della popolazione è Normale ed è approssimativamente esatto per altri casi con n elevato

10 Es. Alcuni biologi hanno misurato il tasso di crescita delle cellule epiteliali nei processi di cicatrizzazione di ferite chirurgiche provocate su tritoni anestetizzati. Di seguito sono riportati i dati ottenuti su 18 tritoni, calcolati in micrometri per ora Calcoliamo l'intervallo di confidenza al 95% per μ, la velocità di crescita media nella popolazione di tutti i tritoni. x(m) = 25,67 s = 8,324

11 Quanto è solida la statistica t Un intervallo di confidenza o un test di significatività viene detto robusto quando il valore P non cambia di molto violando le condizioni per applicare tali procedure.

12 Quando utilizzare la statistica t Quando abbiamo un CCS Con numerosità campionaria inferiore a 15 le procedure t possono essere usate solo se la distribuzione dei dati è Normale Con numerosità campionaria superiore a 15 le procedure possono sempre essere utilizzate tranne che in presenza di outlier e distribuzioni asimmetriche Con n > di 40 le procedure possono essere sempre utilizzate

13 Condizioni necessarie Il campione deve essere un CCS. Deve essere distribuito normalmente.

14 Es Calcolare il valore critico di t per gli intervalli di confidenza al 95% con n = 10, al 99% con un CCS di numerosità n = 20 ed al 80% con un campione di 7 elementi.

15 Sempre sui dolcificanti e le bibite. 2,0 0,4 0,7 2,0-0,4 2,2-1,3 1,2 1,1 2,3 Ipotesi nulla: non c'é perdita di dolcezza Ipotesi alter.: c'é perdita di dolcezza x m =1.02 s=1,196 Calcolo statistica test: t= x m 0 = 1,02 0 s/ n 1,196/ 10 =2,70 Il valore P per t = 2,70 è l'area alla destra di 2,70 al di sotto della curva della distribuzione della densità t con n-1 (cioè?) gradi di libertà. Da ciò...