STATISTICA /2005

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1 STATISTICA /2005 Stimatori e Intervalli di Confidenza Esercizio 1 Riportiamo qui sotto venti campioni di taglia 5 estratti da una distribuzione normale standard N(0,1). -1,23 0,60 0,03 1,45 0,89-1,59-0,62 0,50 2,69-0,27 0,14 0,63-0,04-0,32-0,19 0,61 0,55-1,41-0,71 1,14-1,19-0,52 0,55 1,49-0,08-0,67 1,55 0,85 0,03-0,50-1,30 0,78-0,81-0,03 1,65 0,31-0,43 0,09 0,89-1,47 1,42 0,66-1,00 2,96 2,39-0,58 0,45 1,12-1,04-0,25-0,81 1,60 0,06 0,20 1,80 0,53-0,04-0,51 0,59-0,83 1,39-0,30 1,23-0,54 1,64-0,60-0,25 1,48 0,04 1,12 0,86-1,31 0,20-0,97-0,23-0,83-0,28 0,74 0,92 0,19-0,57-0,62 0,04 0,73-0,81 0,84 1,84-0,25 0,54-0,27 0,29-0,91-1,35-0,34-0,54-1,41-0,53 1,02-0,62-2,66 1. Per ciascuno di essi calcolare la media empirica. 2. Fornire, sulla base dei risultati precedenti, una rappresentazione grafica approssimata (istogrammi) della distribuzione di X 3. Per quanti campioni la stima x di µ é compresa fra -0.2 e 0.2? Esercizio 2 I seguenti campioni (di numerositá crescente) sono stati estratti da una popolazione con distribuzione normale N(0,1). camp1 camp2 camp3 camp4 camp5 camp6 camp7 camp8 camp Per ogni campione, indicare lo stimatore della media, la sua distribuzione, la sua media, la sua varianza e calcolare la corrispondente stima della media; 2. Disegnare un grafico che visualizzi le stime al variare della numerositá del campione.

2 Esercizio 3 Una fabbrica produce viti di diametro dichiarato 10 millimetri. Il diametro delle viti é modellabile con una variabile casuale normale di media nota 10 millimetri e di varianza non nota.un campione di 16 viti viene estratto dalla produzione e si ottengono le seguenti misurazioni del diametro: Scrivere uno stimatore non distorto del parametro di interesse e calcolarne la stima. Esercizio 4 Sia dato un campione X1,X2,X3 di numerositá 3 estratto da una distribuzione Normale con media e varianza entrambe incognite. I risultati campionari sono Scrivere l'espressione dello stimatore media campionaria X 2. scrivere la distribuzione della media campionaria X 3. scrivere la stima della media; Esercizio 5 Il direttore di una fabbrica di carta vuole stimare lo spessore medio dei fogli prodotti. Da un campione di 250 fogli scelti a caso tra la produzione, si ottiene un valore della media campionaria pari a millimetri. La deviazione standard é nota e pari a millimetri. 1. Calcolare la deviazione standard dello stimatore media campionaria. 2. scrivere qual é la distribuzione (approssimata) dello stimatore media campionaria; 3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95\% e la sua realizzazione; 4. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99\% e la sua Esercizio 6 Un biologo vuole stimare il tempo di vita medio di un batterio. A tal fine, isola 10 batteri e, osservandoli al microscopio, trova una media campionaria pari a 12. ore ed una deviazione standard campionaria pari a 1.1 ore. Si suppone che il tempo di vita dei batteri abbia distribuzione normale. 1. Scrivere qual é la distribuzione della media campionaria 2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione; 3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99% e calcolarne la - 2 -

3 Esercizio 7 Un costruttore di motori per automobile ha prodotto un nuovo tipo di motore e vuole stimare qual é il numero di giri al minuto al quale si esplica la coppia massima. Su un campione di numerositá 20, ottenuto provando 5 motori in 4 situazioni ambientali diverse, ha trovato una media campionaria del numero di giri di 4500 con una varianza campionaria uguale a 54. Si suppone che la variabile in esame abbia distribuzione normale. 1. Scrivere qual é la distribuzione della media campionaria. 2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 90% e calcolarne la realizzazione;. 3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la Esercizio 8 L'altezza di una popolazione puo essere considerata una variabile casuale X con distribuzione normale avente deviazione standard nota e uguale a 6. Dalla popolazione viene scelto in modo casuale un campione di numerositá 10 la cui media empirica risulta Scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione; 2. supponendo ora la varianza non nota e stimata con s 2 =6, scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la Esercizio 9 La durata di una telefonata é modellabile con una variabile casuale normale con distribuzione N(µ,σ 2 ) con parametri entrambi incogniti. Su un campione di 13 telefonate si ottiene x=12.5 come stima di µ e s 2 =34.7 come stima di σ 2. a) Scrivere un intervallo di confidenza al livello del 90% e del 99% per la media µ; b) scrivere le realizzazioni degli intervalli; Esercizio 10 Due campioni sono estratti da una distribuzione normale N(µ,σ 2 ) con media e varianza non note. Sul primo campione, di numerositá n=10, si ottiene un intervallo di confidenza per la media (13.4, 18.7). Anche sul secondo campione, di numerositá m=12, si calcola l'intervallo di confidenza per la media. Si puo dire che il secondo intervallo di confidenza é piu stretto? Motivare la risposta

4 ESERCIZIO 11 Una fabbrica produce cilindri di acciaio il cui diametro, in millimetri, segue una legge normale di media sconosciuta e varianza nota uguale a 0.16 mm. Si estrae un campione di n=12 elementi i cui valori del diametro sono i seguenti : ) Scrivere uno stimatore non distorto per la media µ del diametro e calcolarne la stima. 2) Determinare un intervallo di confidenza per la media µ a livello 99% e determinarne la 3) Quale numerosita n del campione si deve scegliere per avere un intervallo di confidenza di ampiezza minore di 0.1 mm? ESERCIZIO 12 Si analizza un campione di n = 22 elementi estratto dalla produzione di cilindri in plastica e si osservano i seguenti valori : x = s = Supponendo che il valore del diametro abbia legge normale N(µ,σ 2 ) con entrambi i parametri sconosciuti : 1) Determinare un intervallo di confidenza a livello 90% della media µ e la sua 2) Determinare un intervallo di confidenza a livello 90% della varianza σ 2 e la sua 3) Quale livello 1-α permette di avere l ampiezza dell intervallo di confidenza della media µ minore di 0.25 mm? ESERCIZIO 13 Si analizza un campione di n = 900 elementi estratto dalla produzione di cilindri di plastica e si osservano i seguenti valori : x 2 = 10.0 s = Supponendo che il valore del diametro abbia legge normale N(µ,σ 2 ) : 1) Scrivere un intervallo di confidenza a livello 90% della media µ e la sua 2) Scrivere un intervallo di confidenza a livello 99% della media µ e la sua 3) Quale degli intervalli determinati ai punti 1 e 2 ha ampiezza maggiore? - 4 -

5 ESERCIZIO 14 Si vuole verificare se una modifica di orario dei treni e' gradita ai passeggeri. Vengono intervistate 1600 persone e 400 si dichiarano favorevoli al nuovo orario. Indicando con p la percentuale di persone che sono favorevoli al nuovo orario: 1) Determinare un intervallo di confidenza a livello 95% per p. 2) Determinare un intervallo di confidenza a livello 99% per p. 3) Per quale valore del livello 1-α si ha un intervallo di confidenza per p di ampiezza minore di 0.02? ESERCIZIO 15 Si costruisce un intervallo di confidenza a livello 95% per la media di una popolazione con varianza nota attraverso un campione di n=100 elementi e si ottiene l intervallo [29.618,31.382]. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette? 1) x = 30.5 σ = SI NO 2) x 100 = 30.5 σ = 3.5 SI NO 3) x = 30.5 σ = SI NO 4) non si possono ricavare i valori di x e σ 100 dai dati SI NO Esercizio 16 Un istituto demoscopico vuole stimare quante persone hanno intenzione di cambiare l'automobile nei prossimi 12 mesi. A tal fine, interpella un campione di 300 persone. Dire quale variabile aleatoria modella bene la situazione, indicarne il parametro e scrivere uno stimatore non distorto del parametro di interesse. Esercizio 17 Un istituto di ricerche demoscopiche ha condotto un'indagine per stimare quale percentuale p di italiani e favorevole all'abolizione del servizio militare di leva. Su un campione di numerosita 400, i favorevoli risultano essere Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 95% e la sua 2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 99% e la sua - 5 -

6 Esercizio 18 Un ricercatore vuole stimare qual e la percentuale di persone che prendono l'influenza: sulla base di un campione di numerosita 500, riscontra che 67 hanno preso l'influenza. 1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 90% e la sua 2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 95% e la sua Esercizio 19 Una azienda pubblicitaria vuole sapere se un nuovo spot e risultato gradito al pubblico. In un campione di 60 individui, 46 persone si sono dichiarate favorevolmente colpite dalla nuova pubblicita. Scrivere un intervallo di confidenza al livello dell'80% per la percentuale di gradimento Esercizio 20 Un sondaggio effettuato su 150 persone americane rivela che 65 di queste sono favorevoli all'abolizione della pena di morte. 1. Indicare il tipo di variabile casuale che meglio modella l'opinione di un individuo; 2. scrivere un intervallo di confidenza al livello del 99% per la proporzione p di favorevoli; 3. scrivere la sua Esercizio 21 Un produttore di lamine di oro vuole stimare la varianza dello spessore delle lamine per giudicare se sono sufficientemente regolari. Esamina 10 lamine e trova una media campionaria dello spessore pari a 1 millimetro e una varianza campionaria pari a Si suppone che lo spessore delle lamine abbia distribuzione normale N(µ,σ 2 ). 1. Scrivere l'opportuno stimatore della varianza; 2. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 99% e calcolarne la realizzazione; 3. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 95% e calcolarne la - 6 -

7 Esercizio 22 Il tempo di attesa ad uno sportello di banca puo essere considerato una variabile casuale di media µ e varianza σ 2 sconosciute. Da un campionamento effettuato in 100 banche diverse si sono ottenuti i valori campionari della media uguale a 12.4 minuti e s = 2.3 minuti. 1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media µ e calcolarne la realizzazione; 2. definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la varianza σ 2 e calcolarne la Esercizio 23 Lo spessore delle tavole di legno prodotte in uno stabilimento e modellabile con una variabile casuale normale N(µ,σ 2 ) con parametri non noti. Da un campione di n=25 pezzi si ottiene una deviazione standard campionaria s=5.3. a) Scrivere l'espressione dello stimatore non distorto S 2 del parametro s 2 ; 2 ( n 1) S b) scrivere la distribuzione di ; 2 σ c) scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per σ 2 e la sua Esercizio 24 Un biologo e interessato a stimare la temperatura media a cui muore un virus. Osserva 20 virus e nota che la temperatura di morte ha una media campionaria x di 78.5 gradi e una deviazione standard di 4.2 gradi. Si suppone che la temperatura di morte dei virus abbia distribuzione normale N(µ,σ 2 ). 1. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione; 2. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 99% e calcolarne la Esercizio 25 Una fabbrica produce pneumatici la cui durata in kilometri puo essere modellata con una variabile casuale normale µ e varianza σ 2 entrambe non note. Per stimare i parametri, la fabbrica effettua prove su strada con 100 pneumatici, ottenendo i valori campionari x=34365 e s= Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione; 2. scrivere un intervallo di confidenza unilaterale sinistro per la varianza al livello del 95% e calcolarne la realizzazione; 3. scrivere un intervallo di confidenza bilaterale per la varianza al livello del 90% e calcolarne la - 7 -

8 Esercizio 26 La temperatura di un locale e modellabile con una variabile casuale X con distribuzione normale di media e varianza sconosciute. In un campione di numerosita 11 si ottiene x = 19.6 come stima della media e si ottiene s = 1.1 come stima della deviazione standard. 1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media e calcolarne la 2. Definire un intervallo di confidenza unilaterale sinistro al livello del 95% per la varianza e calcolarne la Esercizio 27 Un medico vuole stimare la diminuzione di temperatura corporea a seguito della somministrazione di un nuovo antipiretico. La diminuzione di temperatura puo essere considerata come una variabile casuale normale con parametri non noti. Su un campione di 10 pazienti si osserva una media campionaria x=2.3 gradi e una varianza campionaria pari a Scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione; 2. calcolare la larghezza dell'intervallo di confidenza in funzione della numerosita campionaria n; 3. sulla base dei risultati ottenuti, determinare la numerosita campionaria necessaria per avere un intervallo di confidenza piu stretto di 0.2 gradi (si utilizzi l'approssimazione normale). Esercizio 28 Un istituto di ricerca ha effettuato un primo sondaggio per stimare quanti francesi cambieranno l'automobile nei prossimi 12 mesi. Da questo sondaggio, effettuato su 150 persone, e risultato che 22 intendono acquistare un'automobile nuova nei prossimi 12 mesi. 1. Scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione di coloro che intendono acquistare un'auto nuova e calcolarne la realizzazione; 2. sulla base dei risultati del primo sondaggio, qual e il numero m di persone che bisognera intervistare affinche l'intervallo di confidenza risulti piu stretto di 0.01? - 8 -