Statistica 1- parte II

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1 Statistica 1- parte II Esercitazione 2 Dott.ssa Antonella Costanzo 18/02/2016 Esercizio 1. IC media incognita, varianza nota Una fabbrica A produce matite colorate. Una prova su 100 matite scelte a caso ha indicato un peso medio di 12 grammi. Si supponga che il peso di una matita sia una v.c. normale di parametri non nota, e =4. a) Si proponga uno stimatore non distorto per e si calcoli la varianza; b) Si determini un IC per ad un livello di fiducia del 95% e del 99%. a) Indichiamo con X il peso di una matita. E' noto che: ~,4 uno stimatore non distorto per è la media campionaria, per cui: = 1 4 ~, 100 dove la varianza dello stimatore media campionaria è dato da: b) Intervallo casuale = = =1 poiché: 1 =0.95 = =0.025 =1.96 =0.975

2 Sostituendo i dati campionari si ottiene l intervallo di confidenza, IC al 95%: IC al 99%: [%,] = ; =[.;.] 1 =0.99 = =0.005 =2.575 =0.995 [%,] = ; =[.;.] Osservazione: un maggior grado di copertura comporta una maggiore ampiezza dell'intervallo (margine di errore più alto). Esercizio 2. IC media incognita varianza nota, determinazione di Una fabbrica produce barrette di cioccolato. Il peso di ciascuna barretta X è una variabile casuale distribuita secondo una legge normale di parametri non nota e =64. Si consideri un campione di 25 barrette, per cui si ottiene =2450 a) Si determini l IC per con un livello di confidenza del 90%; b) Si determini la numerosità campionaria minima tale che l'ampiezza dell intervallo di confidenza per al livello di fiducia del 90% sia inferiore a 10; c) Volendo aumentare il grado di copertura dell' intervallo per, ad. es. del 99% quale dovrebbe essere la numerosità minima affinché l'ampiezza dell'ic richiesta in b) resti la stessa? a) La stima della media campionaria risulta: = 1 = =98 ~, =1

3 poiché: 1 =0.90 = =0.05 =1.645 =0.95 Sostituendo i dati campionari si ottiene l intervallo di confidenza, IC al 90%: [%,] = ; b) L'ampiezza b, dell intervallo di confidenza è data da: =2 25 =[.;.] Occorre determinare la numerosità campionaria affinché l intervallo di confidenza per la media al 90% sia tale che <10 2 < 2 < < > >6.93 per cui 7 c) Considerando un grado di copertura dell' intervallo per del 99% (maggiore livello di fiducia), =0.01, allora =0.995 =2.575 la numerosità minima affinché l'ampiezza dell'ic sia quella richiesta in b) sarà pari a: < < > >16.97 per cui 17. Commento: se si sceglie un maggiore livello di fiducia, fissata l'ampiezza dell'intervallo, è necessario disporre di una maggiore numerosità campionaria.

4 Esercizio 3. IC media incognita (varianza ignota, n piccolo) Il peso (in grammi) di una barretta di cioccolato prodotta da un azienda si può assumere distribuito secondo la legge normale con media non nota e varianza non nota. Si estrae dalla produzione un campione di 9 barrette e si rileva che: =175.7 = a) Si proponga uno stimatore non distorto per ; b) Si proponga uno stimatore non distorto per la varianza della popolazione; c) Si determini un IC al 99% per la media incognita; d) Senza fare i calcoli, e volendo mantenere lo stesso grado di copertura, in che modo è possibile ottenere un IC più "informativo"? a) Uno stimatore non distorto per è la media campionaria = 1 la cui stima nel campione risulta = =19.5 b) Lo stimatore non distorto per la varianza della popolazione è pari a = 1 1 = = = c) Essendo della popolazione non nota ed n piccolo, ne consegue ~, dove, indica il quantile α/2 della distribuzione t con n-1 g.d.l., +, =1

5 In particolare:, = ;.= IC al 99%: [%,] = ; =[.;.] d) In tale caso l intervallo di confidenza risulta molto ampio (maggiore grado di copertura). Fermo restando lo stesso livello di fiducia, per ottenere un intervallo con una maggiore capacità informativa (margine di errore più piccolo) si potrebbe aumentare la numerosità campionaria n o, laddove possibile, ridurre la varianza che risulta molto grande, ad es. agendo sul processo produttivo. Esercizio 4. IC per la media incognita (varianza ignota, n>30) e per la proporzione Nell'ambito di un indagine sui consumi delle famiglie italiane è stato osservato un campione di n = 320 unità. E' risultato che le famiglie intervistate spendono mediamente 62 euro al mese per l'acquisto di carne (la varianza campionaria è pari a 289) e che 297 di queste possiedono più di un telefono cellulare. a) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per la spesa media di carne delle famiglie italiane; b) Si stimi la frequenza relativa delle famiglie che possiedono più di un telefono cellulare; c) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per il parametro delle famiglie italiane che possiedono più di un telefono cellulare. a) I parametri e della popolazione sono entrambi incogniti. Tuttavia si osserva su un campione casuale sufficientemente grande (n>30) per cui, IC al 95% (con z. =1.96 0,1 + =1 [%,] = ; =[ ;63.862] c) La frequenza relativa delle famiglie con più di un telefono cellulare è pari a: = =0.928

6 La frequenza relativa campionaria П= è una variabile casuale, essendo ~, rappresentativa del numero delle famiglie con più di un telefono cellulare. Essendo n sufficientemente grande per il TLC: П= 1, da questo si deduce che: 1 0, =1 Sostituendo i valori campionari otteniamo: IC al 95%: [%,] =[ ; ]=[.;.]

7 Esercizio 5. Stima puntuale: IC per la varianza incognita (media ignota) Si vuole verificare se la quantità X di una sostanza inquinante emessa dalle marmitte prodotte da un azienda sono contenute entro limiti prestabiliti. A tal fine, si estrae un campione di n = 3 marmitte dalla produzione settimanale dell azienda e, attraverso prove su strada, si rilevano le seguenti quantità (in mg per Km) della sostanza nociva rilasciate: = 895, = 902, = 894. Sapendo che la quantità emessa della sostanza in esame ha distribuzione normale di parametri µ e incogniti, determinare la stima intervallare di al livello di confidenza del 99%. Poiché X ha distribuzione normale con media µ incognita, segue che: 1 ~ α, che è distribuita come una variabile casuale chi-quadro con n-1 gradi di libertà. 1 ; 1 =1 ; sostituendo i valori: =897 = 1 1 = =19.,., =10.6 percentile di destra, =0.01 percentile di sinistra IC al 99%: [%, ]= ;