Esercitazioni di Statistica
|
|
- Rosa Gambino
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto e quale è il più efficiente:. E(S) θ +, Var(S) 3, E(T ) θ, Var(T ) 8;. E(S) θ +, Var(S) 5, E(T ) θ, Var(T ) 6; 3. E(S) θ, Var(S) 6, E(T ) θ, Var(T ) 4. Soluzione dato da: quindi si ha che In generale l errore quadratico medio di uno stimatore T (X) di θ è EQM[T (X)] Var(T (X)) + [E(T (X)) θ],. EQM(S) (θ + θ) + Var(S) 3 + 7, EQM(T ) Var(T ) 8. Lo stimatore S(X) risulta essere lo stimatore più efficiente.. EQM(S) (θ + θ) + Var(S) 5 + 9, EQM(T ) (θ θ) + Var(T ) Lo stimatore T (X) risulta essere lo stimatore più efficiente. 3. EQM(S) Var(S) 6, EQM(T ) (θ θ) + Var(T ) Lo stimatore T (X) risulta essere lo stimatore più efficiente.
2 Esercizio Sia X una popolazione distribuita secondo la legge Bernoulliana di parametro π, con (0 < π < ), e sia uno stimatore di π. Determinare: T (X) X + X + X 3, 5. Se lo stimatore T è corretto. Nel caso che non lo sia, calcolare la sua distorsione.. Calcolare l errore quadratico medio di T. Soluzione Se X Ber(π), allora X, X, X 3 Ber(π) e quindi si può dedurre che E(X i ) π e Var(X i ) π( π), i,, 3.. Per verificare la proprietà di correttezza dello stimatore occorre calcolare il suo valore atteso: ( ) X + X + X 3 E(T (X)) E 5 E(X ) + E(X ) + E(X 3 ) π + π + π 4π Quindi lo stimatore T (X) non è corretto e la sua distorsione d(t (X)) 4/5π π /5π.. La varianza dello stimatore è data da: Var(T (X)) ( ) X + X + X 3 Var Var(X ) + 4Var(X ) + Var(X 3 ) 5 5 π( π) + 4π( π) + π( π) 6π( π). 5 5 quindi l EQM(T (X)) sarà EQM(T (X)) d(t (X)) + Var(T (X)) 5 π + 6π( π) 5 Esercizio 3 Siano X e X due variabili aleatorie indipendenti estratte da una popolazione normale di media µ e di varianza σ, e sia T X X X uno stimatore della varianza. Determinare se lo stimatore T è corretto. Nel caso che non lo sia, calcolare la sua distorsione.
3 Soluzione Per verificare la proprietà di correttezza occorre calcolare il seguente valore atteso: E[T (X)] E(X X X ) E(X ) E(X X ) σ + µ µ σ. () Quindi lo stimatore T (X) risulta corretto. Da notare che nell ultima passaggio sono state usate le seguenti due proprietà:. E(X ) Var(X) + [E(X)] σ + µ.. E(X X ) E(X )E(X ) µ µ µ (indipendenza + le variabili X e X sono ugualmente distribuite). Esercizio 4 Data una popolazione con media µ e varianza σ si consideri il seguente stimatore della media T n /3X + /3X /3X n. Si dica per quali valori di n lo stimatore risulta corretto, e se la sua varianza cresce al crescere di n. Soluzione Lo stimatore risulta corretto per n 3, infatti Inoltre E(T n ) E(/3X + /3X /3X n ) /3nE(X) /3nµ /3nµ µ /3n Var(T n ) V ar(/3x + /3X /3X n ) /9nσ quindi la varianza dello stimatore cresce con n. Esercizio 5 Data una popolazione con media µ e varianza σ, calcolare l errore quadratico medio del seguente stimatore della media della popolazione T n 4 X + 3 ( ) X X n. 4 n 3
4 Soluzione Dato che E(T n ) E [ 4 X ( )] X X n n ) 4 E(X ) E ( X X n n il EQM(T) sarà uguale alla sua varianza: 4 µ µ µ, EQM(T ) Var(T ) 6 Var(X ) Var 6 σ + 9 (n ) 6 (n ) σ ( ) X X n n (n + 8) 6(n ) σ Esercizio 6 Si verifichi che il seguente stimatore T n del valore medio E(X) di una variabile casuale X è consistente in probabilità 0.8 X + 0. n X + 0. n X n X n Soluzione Uno stimatore T n di un parametro θ (µ in questo caso) di una variabile casuale X è consistente in probabilità se lim P ( T n θ < ϵ). Si ricorda che n uno stimatore T n di un parametro θ (µ in questo caso) di una variabile casuale X è asintoticamente non distorto se lim E(T n θ) 0. Per la disuguaglianza di n Chebyshev condizioni sufficienti affinché uno stimatore T n di un parametro θ sia consistente in probabilità sono i) che sia asintoticamente non distorto e ii) che la sua varianza tenda a zero per n tendente ad infinito, in simboli lim E(T n θ) 0 n e lim E(T n θ) lim V ar(t n ) 0. Risulta infatti: n n P ( T n E(T n )) < ϵ) V ar(t n) ϵ ϵ > 0 Utilizzando la i) ( lim n E(T n ) θ) si ottiene: P ( T n θ) < ϵ) V ar(t n) ϵ ϵ > 0 quantità che tende ad per n tendente ad infinito essendo valida la ii). 4
5 Si verifica facilmente che lo stimatore T n è non distorto. E(T n ) 0.8 E(X ) + 0. n E(X ) + 0. n X n E(X n) 0.8 µ + 0. n n µ µ avendo indicato con µ il valore medio di X. La varianza di T n risulta: V ar(t n ) 0.8 V ar(x ) + 0. (n ) E(X ) + 0. (n ) X (n ) E(X n) ( (n ) ) σ avendo indicato con σ la varianza di X. La varianza dello stimatore non tende a zero per n tendente ad infinito. Lo stimatore non è consistente in probabilità. Esercizio 7 Si estragga con rimessa da una popolazione normale di media µ e varianza un campione casuale (X, X ) di due unità. Volendo stimare il parametro µ si considerino i seguenti stimatori T, 3 X + 3 X T, X + X Verificare che tali stimatori siano corretti, determinare quello più efficiente e calcolare il rapporto di efficienza (R.: T, è più efficiente). Soluzione Visto che le unità estratte dalla popolazione sono i.i.d. il valore atteso degli stimatori si può scrivere come: ( E(T, ) E 3 X + ) 3 X 3 E(X ) + 3 E(X ) 3 µ + 3 µ µ () ( E(T, ) E X + ) X E(X ) + E(X ) µ + µ µ (3) 5
6 Per verificare quale sia lo stimatore più efficiente è necessario calcolare l errore quadratico medio (EQM), dato dalla somma della varianza dello stimatore più il quadrato della sua distorsione. Poiché entrambi gli stimatori sono corretti si ha che: ( EQM(T, ) Var(T, ) Var 3 X + ) 3 X 4 9 Var(X ) + 9 Var(X ) 4 9 σ + 9 σ 5 9 σ, (4) ( EQM(T, ) Var(T, ) Var X + ) X 4 Var(X ) + 4 Var(X ) 4 σ + 4 σ σ, (5) Da cui possiamo concludere che lo stimatore più efficiente è T,. Inoltre, se due stimatori sono corretti il rapporto di efficienza sarà pari al rapporto tra le varianza degli stimatori: e EQM(T,n) EQM(T,n ) Var(T,n) Var(T,n ) 5/9σ 0/9 (6) /σ Esercizio 8 Sia π la proporzione di unità che possiedono una certa caratteristica in una determinata popolazione. Consideriamo lo stimatore di π T 4 X X Stabilire se è uno stimatore corretto e calcolare la sua varianza per π 0.3. Determinare il valore dello stimatore (stima) se si osserva il campione (X, X 0). Soluzione Poiché la popolazione da cui è stato estratto il campione si distribuisce secondo la legge di una bernoulliana di media π, (X Ber(π)), lo stimatore è corretto, infatti E(T ) E( 4 X X ) 4 E(X ) E(X ) 4 π π π 6
7 Inoltre Var(T ) 6 Var(X ) Var(X ) 6 π( π) π( π) π( π) 6 6 quindi, per π 0.3, abbiamo Var(T ) 0.3. In corrispondenza del campione (X, X 0) lo stimatore T assume il valore: T 4 X X Esercizio 9 Data una popolazione con media µ e varianza σ si consideri il seguente stimatore della media T X + 4 X + ax 3. Si dica per quali valori di a lo stimatore risulta corretto e calcolarne la varianza. Determinare il valore dello stimatore (stima) se si osserva il campione (X 4, X, X 3 6). Soluzione Sapendo che ( E(T ) E X + ) 4 X + ax 3 E(X ) + 4 E(X ) + ae(x 3 ) ( ) a µ e che uno stimatore corretto della media è uno stimatore T tale che E(T ) µ, ( ) 3 E(T ) 4 + a µ µ a 4 allora lo stimatore sarà corretto per a Se a 4, allora ( Var(T ) Var X + 4 X + ) 4 X 3 4 Var(X )+ 6 Var(X )+ 6 Var(X 3) 6 6 σ In corrispondenza del campione (X 4, X, X 3 6) lo stimatore T assume il valore: T X + 4 X + 4 X
8 Esercizio 0 Sia X una popolazione distribuita secondo la legge Bernoulliana di parametro π, con (0 π ), e si considerino i seguenti tre stimatori del valor medio π sulla base di un campione di numerosità (X, X ): T X + X T X, X, T 3 X 4 + X 4 Determinare con riferimento a ciascuno stimatore:. la distribuzione di probabilità. la correttezza 3. l errore quadratico medio. Soluzione Se X Ber(π), allora X, X Ber(π) e quindi si può dedurre che E(X i ) π e V ar(x i ) π( π), i,.. Per determinare la funzione di probabilità dei tre stimatori si calcolano le probabilità dei campioni e i valori dei tre stimatori in ciascun campione: X +X X X +X 4 (X, X ) p(x, X ) (0, 0) ( π) (, 0) π( π) 4 (0, ) ( π)π 0 4 (, ) π La funzioni di probabilità dei tre stimatori risultano: X p( X) 0 ( π) π( π) π X p(x ) 0 ( π) π X +X p( X +X ) ( π) π( π) 4 π 8
9 Il valor medio e la varianza dei tre stimatori risultano: E(T ) E( X) E( X + X ) π + π π E(X) per esteso utilizzando la distribuzione di probabilità dello stimatore: E(T ) E( X) 0 ( π) + π( π) + π π E(X) V ar(t ) V ar( X) V ar( X + X ) π 4 + π 4 π V ar(x) EQM(T ) per esteso utilizzando la distribuzione di probabilità dello stimatore: V ar(t ) V ar( X) (0 π) ( π) + ( π) π( π) + ( π) π π( π) V ar(x) E(T ) E(X ) E(X) π V ar(t ) V ar(x ) V ar(x) π( π) EQM(T ) E(T 3 ) E ( X 4 + X ) 4 π 4 + π 4 π 9
10 per esteso utilizzando la distribuzione di probabilità dello stimatore: E(T 3 ) E( X 4 + X 4 ) 0 ( π) + 4 π( π) + π (7) π Quindi lo stimatore T 3 non è corretto e la sua distorsione risulta: D(T ) π π π ( X V ar(t 3 ) V ar 4 + X ) 4 π( π) 6 + π( π) 6 π( π) 8 per esteso utilizzando la distribuzione di probabilità dello stimatore: V ar(t 3 ) V ar( X 4 + X π( π) 8 quindi l EQM(T ) sarà 4 ) (0 π) ( π) + ( 4 π) π( π) + ( π) π EQM(T 3 ) V ar(t ) + D(T ) π( π) 8 + ( π π) π( + π) 8 Le rappresentazioni grafiche delle distribuzioni di probabilità dei tre stimatori sono rappresentate in figura per un valore di π 0.5. Confrontando gli errori quadratici medi dei tre stimatori risulta: EQM(T ) < EQM(T ) π Il confronto tra EQM(T ) e EQM(T 3 ) comporta il confronto tra V ar(t ) e EQM(T 3 ). Si osserva: π( + π) π( π) EQM(T 3 ) > V ar(t ) > π > Quindi la scelta tra T e T 3 dipende dal valore di π. Per valori di π minori di 0.6 è più efficiente T 3, per valori di π maggiori di 0.6 è più efficiente T. Ma il valore di π è incognito e pertanto non risulta possibile scegliere tra i due stimatori. Si consideri ora la numerosità campionaria. In generale per una generica numerositià campionaria: 0
11 probabilità probabilità probabilità T 0 T T3 EQM(T, π) T T T π Risulta: T n n (X i ) X T 3 n n (X i ) E(T ) ne(x) E(X) n
12 L π EQM(T ) V ar(t ) n nv ar(x) n V ar(x) E(T 3 ) n E(X) ne(x) ; D(T 3 ) (E(X) E(X)) EQM(T 3 ) V ar(t 3 ) + D(T 3 ) 4n nv ar(x) + ( E(X)) Si osserva che mentre non risulta possibile scegliere tra T e T 3 per n finito, al crescere di n EQM(T 3 ) non tende a zero, al contrario di V ar(t ). La media campionaria T X risulta quindi la stima migliore. Esercizio Definire la funzione di verosimiglianza e determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro π di una variabile casuale di Bernoulli in presenza di un campione di ampiezza n 3. Calcolare la stima di massima verosimiglianza per il campione (X, X, X 3 0). Soluzione Si ricorda che la funzione di probabilità di una variabile casuale di Bernoulli di parametro π è πi x ( π) x i, x i 0,, (0 π ). L(π) 3 π xi ( π) x i π 3 xi ( π) 3 3 x i Lo stimatore di π di massima verosimiglianza si ottiene massimizzando la funzione di verosimiglianza. Derivare L(π) o il suo logaritmo conduce allo stesso risultato
13 (essendo il logaritmo una funzione monotona). La derivata prima del logaritmo della funzione di verosimiglianza rispetto a π risulta: d dπ log(l(π)) d 3 dπ 3 x i π x i log(π) + (3 (3 3 x i) ( π) Uguagliando a zero la derivata prima si ottiene: 3 x i ) log( π) ( π) 3 x i π (3 3 x i ) 0 3 x i 3 X. La derivata seconda risulta negativa nel punto in da cui risulta ˆπ cui si annulla la derivata prima pertanto il valore trovato è un punto di massimo per la funzione di verosimiglianza (escludendo i casi π 0 e ). La stima di massima verosimiglianza di π in corrispondenza del campione (X, X, X 3 0) risulta 0.67 (punto di massimo in figura). 3 Esercizio Definire la funzione di verosimiglianza e determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro µ di una variabile casuale Normale nel caso di varianza nota pari a 4 in presenza di un campione di ampiezza n 0. Calcolare la stima di massima verosimiglianza per il campione (X, X 3, X 3 4, X 4 3, X 5 4, X 6 4, X 7 3, X 8 4, X 9, X 0 3). Lo stimatore di µ di massima verosimiglianza si ottiene massimizzando la funzione di verosimiglianza. Derivare L(µ) o il suo logaritmo conduce allo stesso risultato (essendo il logaritmo una funzione monotona). La derivata prima del logaritmo della funzione di verosimiglianza rispetto a µ risulta: L(µ) 0 σ (π) e σ (x i µ) (σ π) 0 e σ 0/ (x i µ) log(l(µ)) 0 log(σ ) 0 log(π) σ 0 (x i µ) log(l(µ)) 0 log(4) 0 log(π) 4 ( ( µ) + 4 (3 µ) + 4 (4 µ) ) 3
14 L µ n x i Uguagliando a zero la derivata prima si ottiene ˆµ X. La derivata n seconda risulta negativa nel punto in cui si annulla la derivata prima pertanto il valore trovato è un punto di massimo per la funzione di verosimiglianza. La stima di massima verosimiglianza di µ in corrispondenza del campione (X, X 3, X 3 4, X 4 3, X 5 4, X 6 4, X 7 3, X 8 4, X 9, X 0 3) risulta 3. (punto di massimo in figura). 3 0 Esercizio 3 Si estraggano con rimessa da una popolazione normale di media µ e varianza σ un campione casuale di n unità e un campione casuale di n unità (nn+n). Volendo stimare il parametro µ si considerino i seguenti stimatori T ( T (n X X+ X ) X+nX) n n x i n n, X x i n Verificare se tali stimatori siano corretti, determinare quello più efficiente e calcolare il rapporto di efficienza. Soluzione Si verifica facilmente che i due stimatori sono corretti. Visto che le unità estratte dalla popolazione sono i.i.d. le varianze degli stimatori e il rapporto di efficienza risultano: V ar(t ) σ n 4nn 4
15 V ar(t ) σ n V ar(t ) 4 n n V ar(t ( ) ) n n Infatti la funzione f(x) x( x) 0.5 se x varia nell intervallo (0,). I due stimatori hanno la stessa efficienza solo se n n, nel qual caso T T. Esercizio 4 Definire la funzione di verosimiglianza e determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ di una variabile casuale Esponenziale in presenza di un campione di ampiezza n 0. Calcolare la stima di massima verosimiglianza per il campione (X, X, X 3 3, X 4 3, X 5, X 6, X 7, X 8, X 9 4, X 0 ). Lo stimatore di λ di massima verosimiglianza si ottiene massimizzando la funzione di verosimiglianza. Derivare L(λ) o il suo logaritmo conduce allo stesso risultato (essendo il logaritmo una funzione monotona). La derivata prima del logaritmo della funzione di verosimiglianza risulta: L(λ) 0 λ e λ x i λ n e λ 0 x i 0 log(l(λ)) n log(λ) λ x i 0 log(λ) λ 0 Uguagliando a zero la derivata prima rispetto a λ si ottiene ˆλ n n X. x i La derivata seconda risulta negativa nel punto in cui si annulla la derivata prima pertanto il valore trovato è un punto di massimo per la funzione di verosimiglianza. La stima di massima verosimiglianza di λ in corrispondenza del campione (X, X, X 3 3, X 4 3, X 5, X 6, X 7, X 8, X 9 4, X 0 ) risulta Esercizio 5 Al capolinea della corriera che collega due centri urbani il tempo di attesa (in minuti) è una variabile aleatoria Uniforme X definita nell intervallo (0, θ). Sulla base del seguente campione (X 5, X 7, X 3 3, X 4 0, X 5 9, X 6, X 7 6, X 8 4) (a) determinare la stima di massima verosimiglianza di θ b) calcolare il valore della funzione di ripartizione in corrispondenza deil valori x 6 e x 3. 5
16 Soluzione a) La funzione di densità della variabile aleatoria uniforme in (a, b) è p(x) x in (a, b). La funzione di densità della variabile aleatoria uniforme (b a) in (0, θ) è p(x) x in (0, θ) θ La funzione di verosimiglianza risulta: L(θ) 8 θ θ 8 sex iin(0, θ) In tal caso non si può procedere per derivazione per ottenere la stima di massima verosimiglianza. Si osserva che la funzione di verosimiglianza è massima quando θ è minimo, sotto la condizione che θ X i i,...8. La stima desiderata risulta pertanto ˆθ b) F (6) P (X 6) F (3) P (X 3) Esercizio 6 Al fine di valutare l opportunità di installare, in azienda, una seconda linea telefonica, si vuole determinare la probabilità p di trovare libera la linea esistente. In 7 occasioni indipendenti si è osservato il numero di prove necessarie per trovare libero il centralino, ottenendo i valori (X, X 4, X 3 7, X 4, X 5 4, X 6, X 7 5). (a) Determinare la stima di massima verosimiglianza di p. (b) Determinare la probabilità di dover fare due tentativi prima di trovare la linea libera. Soluzione (a) La variabile aleatoria che descrive il fenomeno è una variabile aleatoria X geometrica di parametro p con funzione di probabilità p(x x) ( p) x p e descrive il numero di tentativi prima di trovare la linea libera. La funzione di verosimiglianza e di log verosimiglianza risultano: L(p) 7 ( p) x i p ( p) 7 x i n p n 7 log(l(p)) ( x i n) log( p) + n log(p) 6
17 da cui risulta ˆp 7 7 x i X 0.8. (b) La probabilità di fare tentativi per trovare la linea libera è: P (X ) ( p) p ( 0.8)
Statistica Metodologica
Statistica Metodologica Esercizi di Probabilita e Inferenza Silvia Figini e-mail: silvia.figini@unipv.it Problema 1 Sia X una variabile aleatoria Bernoulliana con parametro p = 0.7. 1. Determinare la media
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 5
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Approssimazione normale della Poisson (TLC) In un determinato tratto di strada il numero di incidenti
DettagliStima puntuale di parametri
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 006/007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
Dettagli4. Si supponga che il tempo impiegato da una lettera spedita dall Italia per arrivare a destinazione segua una distribuzione normale con media
Esercizi sulle distribuzioni, il teorema limite centrale e la stima puntuale Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno 007-008, Prof. Mortera 1. Sia X la durata in mesi di una valvola per radio.
DettagliStatistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza
Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. La v.c. Uniforme Continua Secondo alcuni sondaggi sul sito della Apple (technical support site,
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA S.I.G.I. STATISTICA II Esercitazione n. 3 Esercizio 1 Una v.c. X si dice v.c. esponenziale
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 6 Abbiamo visto: Definizione di popolazione, di campione e di spazio campionario Distribuzione
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n
DettagliI appello di calcolo delle probabilità e statistica
I appello di calcolo delle probabilità e statistica A.Barchielli, L. Ladelli, G. Posta 8 Febbraio 13 Nome: Cognome: Matricola: Docente: I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale
DettagliDispensa di Statistica
Dispensa di Statistica 1 parziale 2012/2013 Diagrammi... 2 Indici di posizione... 4 Media... 4 Moda... 5 Mediana... 5 Indici di dispersione... 7 Varianza... 7 Scarto Quadratico Medio (SQM)... 7 La disuguaglianza
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1
Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Mercoledì 28 Settembre 2016 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,
DettagliEsercitazioni di Statistica Metodologica
Esercitazioni di Statistica Metodologica June 22, 2009 1 Esercizio La compagnia di telefonia fissa Happy Line ha svolto una indagine sul numero di telefonate effettuate dai suoi clienti la settimana scorsa.
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2006/07
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 006/07 Esercizio 1 Prova scritta del 16/1/006 In un ufficio postale lavorano due impiegati che svolgono lo stesso compito in maniera indipendente, sbrigando
DettagliP ( X n X > ɛ) = 0. ovvero (se come distanza consideriamo quella euclidea)
10.4 Convergenze 166 10.4.3. Convergenza in Probabilità. Definizione 10.2. Data una successione X 1, X 2,...,,... di vettori aleatori e un vettore aleatorio X aventi tutti la stessa dimensione k diremo
DettagliIL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Metodi per l Analisi dei Dati Sperimentali AA009/010 IL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Sommario Massima Verosimiglianza Introduzione La Massima Verosimiglianza Esempio 1: una sola misura sperimentale
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 8 Abbiamo visto: Metodi per la determinazione di uno stimatore Metodo di massima verosimiglianza
DettagliLE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE Argomenti Principi e metodi dell inferenza statistica Metodi di campionamento Campioni casuali Le distribuzioni campionarie notevoli: La distribuzione della media campionaria
DettagliSTATISTICA ESERCITAZIONE
STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 1 Giugno 2015 Esercizio 1 Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in
DettagliVariabili casuali. - di Massimo Cristallo -
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 16 e 27 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Variabili casuali
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stimatore media campionaria Il tempo in minuti necessario a un certo impiegato dell anagrafe
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica Variabili casuali Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio Determinare se le funzioni seguenti: 0.0 se x < 0. se x = g(x) = 0.5 se x = 0.7 se x = 3 se x =
DettagliCapitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari"
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari" Unità Integrata Organizzativa
DettagliEsame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016
Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 2
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 2 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. La variabile Uniforme Continua Data una scheda telefonica da 5 euro di cui non si sa se sia
DettagliSTATISTICA A K (60 ore)
STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esercizio: si consideri una generica popolazione X con media µ e varianza σ 2 Siano T 1 =(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )/4 e T 2 =(3X 1 +4X
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014. I Esonero - 29 Ottobre Tot.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2013/2014 I Esonero - 29 Ottobre 2013 1 2 3 4 5 6 7 8 Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato,
DettagliIl campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza
Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica La distribuzione delle statistiche campionarie Teorema del limite centrale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio (Scozzafava) Una ferrovia metropolitana
DettagliEsercitazione 3 - Statistica II - Economia Aziendale Davide Passaretti 23/5/2017
Esercitazione 3 - Statistica II - Economia Aziendale Davide Passaretti 3/5/017 Contents 1 Intervalli di confidenza 1 Intervalli su un campione 1.1 Intervallo di confidenza per la media................................
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 5 Abbiamo visto: Modelli probabilistici nel continuo Distribuzione uniforme continua Distribuzione
DettagliSTATISTICA 1, metodi matematici e statistici Introduzione al linguaggio R Esercitazione 5:
esercitazione 5 p. 1/14 STATISTICA 1, metodi matematici e statistici Introduzione al linguaggio R Esercitazione 5: 22-04-2005 Luca Monno Università degli studi di Pavia luca.monno@unipv.it http://www.lucamonno.it
DettagliStatistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016
Statistica Sociale e Criminale (1 CFU) A.A. 015/016 CdL Sociologia e Criminologia Simone Di Zio Dove siamo MODULO 3. L Inferenza statistica 3.1 Probabilità e variabili casuali 3. Le tecniche di campionamento
DettagliUniversità degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali
Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si
DettagliUniversità di Siena. Corso di STATISTICA. Parte seconda: Teoria della stima. Andrea Garulli, Antonello Giannitrapani, Simone Paoletti
Università di Siena Corso di STATISTICA Parte seconda: Teoria della stima Andrea Garulli, Antonello Giannitrapani, Simone Paoletti Master E 2 C Centro per lo Studio dei Sistemi Complessi Università di
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione
DettagliEsercizi su variabili aleatorie discrete
Esercizi su variabili aleatorie discrete Esercizio 1. Data la variabile aleatoria discreta X, caratterizzata dalla seguente rappresentazione nello spazio degli stati: 1 0,25 X = { 0 0,50 1 0,25 calcolare
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Nell associare ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale (o aleatoria, o stocastica). Ogni variabile casuale ha una corrispondente
DettagliStatistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 23 marzo 2010 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete
DettagliAlcune v.a. discrete notevoli
Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =
DettagliPrefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura
INDICE GENERALE Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura XI XIV XV XVII XVIII 1 LA RILEVAZIONE DEI FENOMENI
DettagliPresentazione dell edizione italiana
1 Indice generale Presentazione dell edizione italiana Prefazione xi xiii Capitolo 1 Una introduzione alla statistica 1 1.1 Raccolta dei dati e statistica descrittiva... 1 1.2 Inferenza statistica e modelli
DettagliDisuguaglianza di Cramér-Rao
Disuguaglianza di Cramér-Rao (Appunti per gli studenti Silvano Holzer Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali, Matematiche e Statistiche Bruno de Finetti Università degli studi di Trieste Un esperimento
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 1. Dati gli eventi A,B,C, ognuno dei quali implica il successivo, e tali che P (A) è metà della probabilità di B, che a sua volta ha probabilità metà di quella
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 9 Abbiamo visto metodi per la determinazione di uno stimatore puntuale e casi per: Carattere con
DettagliIntervalli di confidenza
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliCampionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione. Paola Giacomello Dip. Scienze Sociali ed Economiche Uniroma1
Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione 1 Definisco il problema da studiare: es. tempo di percorrenza tra abitazione e università Carattere: tempo ossia v.s. continua Popolazione:
DettagliLezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice.
discrete uniforme Bernoulli Poisson Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 56 Outline discrete uniforme Bernoulli Poisson 1 2 discrete 3
DettagliProva d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi
Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Data la variabile casuale X con funzione di densità f(x) = 2x, per 0 x 1; f(x) = 0 per x [0, 1], determinare: a) P( - 0,5 < X< 0,7) b)
DettagliEsercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo
Esercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo 1. Gli studi di simulazione possono permetterci di apprezzare alcune delle proprietà di distribuzioni campionarie ricavate
DettagliCapitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 8 Intervalli di confidenza Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : + + + ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le
DettagliVariabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1
Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni
Dettagli05. Errore campionario e numerosità campionaria
Statistica per le ricerche di mercato A.A. 01/13 05. Errore campionario e numerosità campionaria Gli schemi di campionamento condividono lo stesso principio di fondo: rappresentare il più fedelmente possibile,
DettagliDistribuzione Normale
Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di
DettagliFin qui si sono considerate le variabili casuali ciascuna per proprio conto. Ora consideriamo la possibilità di relazioni tra variabili.
Sistemi di variabili casuali Fin qui si sono considerate le variabili casuali ciascuna per proprio conto. Ora consideriamo la possibilità di relazioni tra variabili. Esempi: - il massimo annuale della
DettagliVerifica di ipotesi. Parte VI. Verifica di ipotesi
Parte VI Verifica di ipotesi Definizione (Sistema di ipotesi) Nell ambito di un modello statistico parametrico, un sistema di ipotesi statistiche è costituito da due congetture, incompatibili, sul parametro
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA La distribuzione di probabilità e un modello matematico, uno schema di riferimento, che ha caratteristiche note e che può essere utilizzato per rispondere a delle domande derivate
DettagliContenuti: Capitolo 14 del libro di testo
Test d Ipotesi / TIPICI PROBLEMI DI VERIFICA DI IPOTESI SONO Test per la media Test per una proporzione Test per la varianza Test per due campioni indipendenti Test di indipendenza Contenuti Capitolo 4
DettagliLEZIONI DI STATISTICA MEDICA
LEZIONI DI STATISTICA MEDICA Lezione n.11 - Principi dell inferenza statistica - Campionamento - Distribuzione campionaria di una media e di una proporzione - Intervallo di confidenza di una media e di
Dettagli1 Esercizi per l esame finale
1 Esercizi per l esame finale 1 1 Esercizi per l esame finale 1.1 Stima puntuale 1 Sia (X 1,..., X n ) un campione casuale estratto da una distribuzione U[0, θ], θ > 0. (a) Scrivere la funzione di verosimiglianza
DettagliSommario. 2 I grafici Il sistema di coordinate cartesiane Gli istogrammi I diagrammi a torta...51
Sommario 1 I dati...15 1.1 Classificazione delle rilevazioni...17 1.1.1 Esperimenti ripetibili (controllabili)...17 1.1.2 Rilevazioni su fenomeni non ripetibili...18 1.1.3 Censimenti...19 1.1.4 Campioni...19
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
p. 1/2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS Osservando gli istogrammi delle misure e degli scarti, nel caso di osservazioni ripetute in identiche condizioni Gli istogrammi sono campanulari e simmetrici,
DettagliMatematica Applicata L-A Definizioni e teoremi
Definizioni e teoremi Settembre - Dicembre 2008 Definizioni e teoremi di statistica tratte dalle lezioni del corso di Matematica Applicata L- A alla facoltà di Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
DettagliEsempio (Azzalini, pp. 6-15)
Inferenza statistica procedimento per indurre le caratteristiche non note di un aggregato a partire dalle informazioni disponibili su una parte di esso. Obiettivo del corso presentare la teoria ed i metodi
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 52 Adattamento di una distribuzione
DettagliApprossimazione normale alla distribuzione binomiale
Approssimazione normale alla distribuzione binomiale P b (X r) costoso P b (X r) P(X r) per N grande Teorema: Se la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri N e p, allora, per N
DettagliPAROLE CHIAVE Accuratezza, Accuracy, Esattezza, PRECISIONE, Precision, Ripetibilità, Affidabilità, Reliability, Scarto quadratico medio (sqm), Errore
PAROLE CHIAVE Accuratezza, Accuracy, Esattezza, PRECISIONE, Precision, Ripetibilità, Affidabilità, Reliability, Scarto quadratico medio (sqm), Errore medio, Errore quadratico medio (eqm), Deviazione standard,
DettagliCapitolo 6. La distribuzione normale
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università
DettagliProblema tipico delle applicazioni idrologiche: qual'è la portata con tempo di ritorno T?
Problema tipico delle applicazioni idrologiche: qual'è la portata con tempo di ritorno T? Il problema dell'inferenza: dato un campione, individuare la distribuzione di probabilità da cui ha avuto origine.
DettagliSTATISTICA A D (72 ore)
STATISTICA A D (72 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Elementi che fanno variare l ampiezza dell intervallo di confidenza (p. 70) s.q.m. dell universo σ Più σ è elevato, maggiore è la
DettagliCapitolo 6 La distribuzione normale
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università
DettagliTeorema del Limite Centrale
Teorema del Limite Centrale Problema. Determinare come la media campionaria x e la deviazione standard campionaria s misurano la media µ e la deviazione standard σ della popolazione. È data una popolazione
DettagliLezione n. 1 (a cura di Irene Tibidò)
Lezione n. 1 (a cura di Irene Tibidò) Richiami di statistica Variabile aleatoria (casuale) Dato uno spazio campionario Ω che contiene tutti i possibili esiti di un esperimento casuale, la variabile aleatoria
Dettaglix ;x Soluzione Gli intervalli di confidenza possono essere ottenuti a partire dalla seguente identità: da cui si ricava: IC x ;x = +
ESERCIZIO 6.1 Si considerino i 0 campioni di ampiezza n = estratti da una popolazione X di N = 5 elementi distribuiti normalmente, con media µ = 13,6 e σ = 8,33. A partire dalle 0 determinazioni della
DettagliDue variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha. P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b}
Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b} Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori 1, 2,..., n
DettagliDistribuzioni e inferenza statistica
Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione
DettagliSTIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA
STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto che una stima puntuale corretta per il valore atteso µ delle variabili aleatorie X i è x n = (x 1 +.. + x n )/n. Una stima puntuale della varianza σ 2 delle
DettagliTest per l omogeneità delle varianze
Test per l omogeneità delle varianze Le carte di controllo hanno lo scopo di verificare se i campioni estratti provengono da un processo produttivo caratterizzato da un unico valore dello s.q.m. σ. Una
DettagliCalcolo delle Probabilità 2
Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale
DettagliSchema lezione 5 Intervalli di confidenza
Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Non centrerò quella barca, ne sono convinto al 95% COMPRENDERE: Significato di intervallo di confidenza Uso degli stimatori come quantità di pivot per stime intervallari
DettagliCorso di Fondamenti di Telecomunicazioni
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. Mario Barbera [parte ] Variabili aleatorie Esempio: sia dato l esperimento: Scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, per verificare casualmente
DettagliEsercizi riassuntivi di Inferenza
Esercizi riassuntivi di Inferenza Esercizio 1 Un economista vuole stimare il reddito medio degli abitanti di una cittadina mediante un intervallo al livello di confidenza del 95%. La distribuzione del
DettagliANALISI DELLE SERIE STORICHE
ANALISI DELLE SERIE STORICHE De Iaco S. s.deiaco@economia.unile.it UNIVERSITÀ del SALENTO DIP.TO DI SCIENZE ECONOMICHE E MATEMATICO-STATISTICHE FACOLTÀ DI ECONOMIA 24 settembre 2012 Indice 1 Funzione di
DettagliES.2.3. è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita
ES.2.3 1 Distribuzione normale La funzione N(x; µ, σ 2 = 1 e 1 2( x µ σ 2 2πσ 2 si chiama densità di probabilità normale (o semplicemente curva normale con parametri µ e σ 2. La funzione è simmetrica rispetto
DettagliStatistica. Alfonso Iodice D Enza
Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 27 Outline 1 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 3 () Statistica 2 /
DettagliII Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 2016/17
II Appello di Calcolo delle Probabilità Laurea Triennale in Matematica 6/7 Martedì 4 febbraio 7 Cognome: Nome: Email: Se non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile
DettagliESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO B
ESAME 9 Gennaio 2017 COMPITO B Cognome Nome Numero di matricola 1) Approssimare tutti i calcoli alla quarta cifra decimale. 2) Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizio 1 (stima puntuale) In un processo di controllo di qualità, siamo interessati al numero mensile di guasti
DettagliSTATISTICA A K (63 ore) Marco Riani
STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esercizio In un urna vi sono N/2 palline bianche e N/2 palline nere. Si supponga di estrarre un campione con ripetizione di dimensione
DettagliConcetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2016/2017. Giovanni Lafratta
Concetti di teoria dei campioni ad uso degli studenti di Statistica Economica e Finanziaria, A.A. 2016/2017 Giovanni Lafratta ii Indice 1 Spazi, Disegni e Strategie Campionarie 1 2 Campionamento casuale
DettagliVariabili aleatorie continue: la normale. Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 6 Corso di Laurea in Economia
Variabili aleatorie continue: la normale Giovanni M. Marchetti Statistica Capitolo 6 Corso di Laurea in Economia 2015-16 1 / 40 Distinzione Le variabili aleatorie possono essere 1 discrete 2 continue 2
DettagliCognome e Nome:... Corso di laurea:...
Statistica - corso base Prof. B. Liseo Prova di esame dell 8 gennaio 201 Cognome e Nome:................................................................... Corso di laurea:.......................................................................
DettagliEsercitazione 8 maggio 2014
Esercitazione 8 maggio 2014 Esercizio 2 dal tema d esame del 13.01.2014 (parte II). L età media di n gruppo di 10 studenti che hanno appena conseguito la laurea triennale è di 22 anni. a) Costruire un
DettagliVARIABILI CASUALI CONTINUE
p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale
DettagliElementi di statistica per l econometria
Indice Prefazione i 1 Teoria della probabilità 1 1.1 Definizioni di base............................. 2 1.2 Probabilità................................. 7 1.2.1 Teoria classica...........................
DettagliLa casualità nello spazio o nel tempo: la distribuzione di Poisson
La casualità nello spazio o nel tempo: la distribuzione di Poisson Cosa potrebbero rappresentare questi punti? o Organismi o eventi presenti in una certa area Per esempio, ci interessa capire come avviene
DettagliCasa dello Studente. Casa dello Studente
Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino
DettagliLa verifica delle ipotesi
La verifica delle ipotesi Se abbiamo un idea di quale possa essere il valore di un parametro incognito possiamo sottoporlo ad una verifica, che sulla base di un risultato campionario, ci permetta di decidere
DettagliIntervallo di confidenza
Intervallo di confidenza Prof. Giuseppe Verlato, Prof. Roberto de Marco Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche Stima
Dettagli