INTRODUZIONE ALLA STATISTICA PER LA RICERCA IN SANITA

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1 INTRODUZIONE ALLA STATISTICA PER LA RICERCA IN SANITA IRCBG Modulo Dal campione alla popolazione: l'inferenza e l'intervallo di confidenza IRCCS Burlo Garofolo Formazione, Aula A via dell Istria 65/1, TS

2 Un tecnico di laboratorio biomedico analizza 20 prelievi di sangue, 10 di uomini e 10 di donne, scelti a caso, e ottiene che il contenuto medio di emoglobina degli uomini è di 15g/100 ml e il contenuto medio di emoglobina delle donne è di 13g/100ml. La settimana successiva lo stesso tecnico di laboratorio analizza i prelievi di altri 10 uomini e 10 donne, scelti a caso, e ottiene che il contenuto medio di emoglobina degli uomini è di 16g/100ml e il contenuto medio di emoglobina delle donne è di 12g/100ml. Che cosa posso concludere? Tra le prime 1000 donne gravide che accedono all Ospedale Burlo Garofolo, 6 hanno presentato infezione da toxoplasmosi. E ora che cosa posso dire?

3 La popolazione di adulti che effettuano un prelievo non è costituito dai soli 20 soggetti considerati dal tecnico di laboratorio biomedico. Per effetto del caso un altro campione di 10 uomini e 10 donne avrebbe potuto dare un risultato diverso. Allo stesso modo, la popolazione di donne gravide che accedono all Ospedale Burlo Garofolo non è costituita dalle sole prime Per effetto del caso un altro campione di 1000 donne gravide, avrebbe potuto evidenziare un numero diverso di casi di infezione da toxoplasmosi. Quindi? L osservazione di un CAMPIONE non è sufficiente per concludere se nella POPOLAZIONE gli uomini hanno un contenuto medio di emoglobina più alto delle donne o quale sia nella popolazione di donne in gravidanza la proporzione di donne con infezione da toxoplasmosi Bisognerebbe quindi poter osservare tutta la popolazione (censimento), ma molto spesso questo non è possibile. Che cosa fare allora?

4 Scelta parametro d interesse INFERENZA STATISTICA popolazione parametri N CAMPIONAMENTO INFERENZA STATISTICA INFERENZIALE generalizzazioni delle informazioni raccolte sul campione campione n statistiche STATISTICA DESCRITTIVA sintesi delle informazioni raccolte sul campione

5 CAMPIONE: insieme finito di elementi, detti unità campionarie, sui quali si effettuano misure o osservazioni. Perché un campione sia rappresentativo della popolazione è necessario che sia selezionato in modo casuale. le unità che entrano a far parte del campione devono essere scelte a caso o attribuendo a ogni unità della popolazione una probabilità positiva di essere selezionata, o devono essere utilizzate in modo appropriato le tecniche per la selezione casuale del campione.

6 Individuare sulla popolazione un valore caratteristico che è una grandezza costante PARAMETRO Scegliere un campione da una popolazione: CAMPIONAMENTO Calcolare, sulla base del campione, una funzione utile a stimare il parametro STATISTICA

7 Quale è il modo più semplice per stimare un parametro della popolazione? Calcolare una statistica campionaria che, in questo caso, prenderà il nome di STIMATORE Lo stimatore in corrispondenza di ogni specifico campione osservato, assume un particolare valore numerico detto STIMA PUNTUALE.

8 Nello specifico campione estratto la statistica campionaria ha un determinato valore. Se si estrae un campione diverso la statistica campionaria può assumere un valore differente. Se si assume di replicare il campionamento un numero indefinito di volte la statistica campionaria diventa una variabile casuale.

9 Tutti i fenomeni e le caratteristiche che rileviamo su una popolazione (non solo su quella umana) sono VARIABILI CASUALI. DEVE ESSERCI VARIABILITÁ! Le variabili casuali (v.c.) possono essere: o DISCRETE o CONTINUE

10 La più importante e nota variabile casuale continua che noi conosciamo è la V.C. Normale che assume questa caratteristica distribuzione µ

11 Caratteristiche della distribuzione Normale o f(x) è sempre positiva o l area sotto la curva normale è pari a 1 o f(x) raggiunge il massimo quando x=µ. Tale massimo è 1/σ 2π o f(x) è simmetrica rispetto a x=µ [f(µ-c)=f(µ+c)] o media, moda e mediana coincidono e sono pari a µ (unimodale) o i due parametri µ e σ² ne caratterizzano completamente la forma appuntimento della curva (minore al crescere di σ²) collocamento lungo l asse delle ascisse

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14 Si determina un intervallo di valori intorno alla stima puntuale che ci si aspetta contenga il valore vero del parametro incognito, con un certo livello di significatività α. Che cos è il livello di significatività α? α è l errore che decido di tollerare (errore: dire che il vero valore del parametro cade nell intervallo quando in realtà non è così) 1-α è quindi la probabilità che il vero valore del parametro cada nell intervallo individuato Esempio: Se si ha un livello di fiducia α = 0,05 vuol dire che accetto un errore del 5% e che quindi il vero valore del parametro cadrà nell intervallo con una probabilità del 95%

15 Consideriamo un intervallo _ 0.4 f(x) simmetrico attorno alla media vera m in modo tale che l area sotto la curva compresa tra i due estremi dell intervallo sia 1-a a l m z n ( a) INTERVALLO DI PROBABILITA' m.. l m+ z n a p m z n x m + z = 1 a a 2 a 2 n Tale intervallo è detto INTERVALLO DI PROBABILITA PER LA MEDIA CAMPIONARIA

16 Con semplici passaggi algebrici sulle due equazioni, possiamo esprimere l intervallo in termini del valore osservato p x z n m x + z = 1 a a 2 a 2 n Coefficiente di affidabilità Tale intervallo è detto INTERVALLO DI CONFIDENZA PER IL PARAMETRO m

17 Varia casualmente attorno al parametro m (dipendendo abbiamo estratto dalla popolazione) x dal campione che casualmente Ha probabilità pari a (1-a) di includere il parametro m della variabile X Attraverso il suo calcolo è impossibile risalire da una stima campionaria al vero valore del parametro m di un universo, ma è possibile determinare un intervallo che abbia una prefissata probabilità (1-a) di includere il parametro m

18 _ f(x) ( a) 0.2 a a l m z n INTERVALLO DI PROBABILITA' m l m+ z n x-z n x _ x+z n UN INTERVALLO DI CONFIDENZA

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20 L ampiezza (2Δ=2z a/2 σ/ n) dell IC: esprime la precisione con cui è noto il valore m cresce al crescere dell errore standard (σ/ n), che a sua volta cresce al diminuire della dimensione (n) del campione da ciò segue che: maggiore è l ampiezza dell IC, minore è la precisione della stima campionaria di m all aumentare di n l ampiezza dell IC diminuisce e la precisione aumenta all aumentare del grado di confidenza (es 99% invece di 95%) con cui vogliamo eseguire la stima, l ampiezza dell IC aumenta e la precisione diminuisce

21 Nota σ È possibile calcolare la dimensione del campione necessaria per ottenere un intervallo di confidenza (1-α) e ampiezza 2Δ Δ=z a/2 σ/ n n=(z a/2 σ/δ) 2

22 ESEMPIO Si vuole stimare il valore medio m dell uricemia in una popolazione maschile: è noto che in tale popolazione la dispersione dei valori dell uricemia è σ = 1.1 mg/dl. Si richiede che la confidenza con cui vogliamo stimare m sia del 95% e che l ampiezza dell intervallo Δ non ecceda 0.35 mg/dl.

23 1) Su quanti soggetti dobbiamo misurare l uricemia, per ottenere una stima del valore medio della popolazione che soddisfi le condizioni richieste? n=(z a/2 σ/d) 2 n =(1.96*1.1/0.35) 2 = soggetti

24 2) Usiamo adesso i valori di uricemia misurati su 40 soggetti estratti casualmente dalla popolazione per stimare in modo intervallare la media vera di uricemia. La media campionaria dei 40 valori è risultata x = 5.55 L intervallo di confidenza di m al 95% sarà: I. C = x. 95% z a 2 n I C. = = = % ( 5.21,5.89)

25 1. possiamo dire con una buona confidenza (del 95%) che l ignoto parametro m è compreso tra 5.21 e 5.89 mg/dl 2. si noti che: m (in valore vero) è compreso oppure no nell intervallo non ci sono altre possibilità! Ciò che diciamo è che siamo abbastanza certi (95 volte su 100) che questo intervallo catturi il valore vero 3. l affermazione che l intervallo contiene il valore vero potrebbe anche essere falsa, ma la probabilità che ciò accada è soltanto del 5%, quindi piuttosto bassa.

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