Esame di Istituzioni di Matematica II del 18 gennaio 2001 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola

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1 Esame di Istituzioni di Matematica II del 8 gennaio 00 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. Es. Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.

2 Esercizio. Il tasso di infarti cardiaci in 5 anni in donne sane tra i 50 e i 59 anni è 0 su 000. Supponiamo che tra 000 donne sane tra i 50 e i 59 anni che abbiano assunto ormoni post-menopausa, si siano osservati 3 infarti in 5 anni.. Calcolare la probabilità di osservare un numero di infarti minore o uguale a 3 usando la distribuzione binomiale.. Rispondere alla domanda usando l approssimazione di Poisson. 3. Confrontate le quantità delle domande e. Esercizio. É stato fatto uno studio sulle ore settimanali di attività fisica moderata in gruppi di uomini di diverse età, con i seguenti risultati: età n media ore dev. st. ore ,, ,7, ,9,. Fare una analisi della varianza per confrontare le medie dei 3 gruppi, usando il livello α = 0,0.. Se necessario, fare una procedura di confronto multipla per identificare quali specifiche medie sono differenti. Esercizio 3. Supponiamo di voler studiare l aggregazione familiare di malattie respiratorie sulla base di malattie specifiche. Sono identificate 00 famiglie in cui uno dei due genitori ha l asma (famiglie di tipo A) e 00 famiglie in cui nessuno dei genitori ha l asma (famiglie di tipo B). Supponiamo che nelle famiglie del tipo A, in 5 il primogenito abbia l asma e in 9 il primogenito abbia un altro tipo di malattia respiratoria. Inoltre, supponiamo che nelle famiglie del tipo B, in 4 il primogenito abbia l asma e in 6 il primogenito abbia un altro tipo di malattia respiratoria.. Dire se il tasso di primogeniti malati di asma nei due tipi di famiglie può ritenersi uguale: fare un test con α = 0,0 e fornire il valore P (esatto o con delle limitazioni).. Dire se il tasso di primogeniti con malattie respiratorie non asmatiche nei due tipi di famiglie può ritenersi uguale: fare un test con α = 0,0 e fornire il valore P (esatto o con delle limitazioni). Esercizio 4. I dati nella tabella seguente sono misure da un gruppo di uomini con una malattia cardiaca prese all autopsia: xi = 6, 7, x i = , 49, xi y i = 80.03, 5 yi = 4950, y i =.4.650, dove abbiamo indicato con x i il peso corporeo totale e con y i il peso del cuore dell i-esimo individuo.. Costruire un intervallo di confidenza al 90% per il peso del cuore.. Trovare la retta di regressione tra il peso corporeo totale e il peso del cuore. 3. Fare un test per vedere se c é una relazione lineare tra le due quantità di cui sopra; riportare il valore P.

3 Soluzioni Esercizio. Definiamo la variabile aleatoria { se l i-esima donna ha un infarto in 5 anni X i = 0 altrimenti Allora X i B(, p), con p = 0/000 = 0,0. Definiamo poi S 000 = 000 i= X i = n. di donne inizialmente sane che hanno un infarto in 5 anni ( punto).. Calcoliamo: P{S 000 3} = 3 P{S 000 = k} = k= = ( p) p( p) p ( p) p 3 ( p) 997 = 0 3 = 0, , 0 0, , 0 0, , 0 3 0, = 3 = 0, , , , = 0, 0006 (3 punti). Abbiamo np = 000 0,0 = 0 > 5; approssimiamo quindi S 000 P(0): P{S 000 3} = 3 P{S 000 = k} k=0 3 k=0 0 0k e k! = e 0 ( = ) = 0, , 6 = 0, 0033 (3 punti) 3. I risultati sono uguali fino alla quinta cifra decimale; ciò non stupisce, poiché per n grande e p piccolo una variabilie aleatoria binomiale può essere approssimata da una variabile di Poisson ( punto). Esercizio.. Facciamo un test F con ipotesi H 0 : µ = µ = µ 3, alternativa H : i, j tali che µ i µ j e livello α = 0,0. Abbiamo: s e = X = s a = Abbiamo allora: (486, 4 + 3, + 90, ) =, , , , 9 = 8, (487(8, 8, 46) + 33(9, 7 8, 46) + 9(7, 9 8, 46) ) = 40, 6 F = s a s e = 40, 6, 78 = 40 I gradi di libertà stavolta sono ν a = 3 =, e ν e = 908, che si può approssimare con ν e =. Il valore critico è quindi F α (ν a, ν e ) = F 0,99 (, 908) F 0,99 (, ) = 4,60. Siccome F > 4,60, rifiutiamo l ipotesi (5 punti).. Facciamo ora i test di Bonferroni per i diversi campioni; abbiamo: 0-34 contro 35-49: contro 50-64: t = t = 8, 9, 7, , 33 9, 7 7, 9, 33 +, 9 = 5, 8 = 5, 36

4 0-34 contro 50-64: t = 8, 7, 9, , 9 =, 85 Questi valori vanno confrontati con i quantili t α /(ν), che non sono sulle tavole: infatti ν = , o , e tutti e tre questi numeri sono approssimabili con ; inoltre si ha che α = α/3 = 0, 0033, quindi α / = 0,9983. Siccome la distribuzione t(ν) si puó approssimare con una N(0, ) per ν abbastanza grande (cioè approssimabile con ), otteniamo che t 0,9983 (ν) q 0,9983 =, 94. In alternativa, si possono approssimare i quantili con t 0,9975 ( ) =,807 o t 0,999 ( ) = 3,090. Qualunque quantile si usi, si vede che 0-34 contro non hanno una differenza significativa (, 85 < t 0,9983 (ν)), mentre 0-34 contro e contro sì ( 5, 36 > t 0,9983 (ν) e 5, 8 > t 0,9983 (ν)). Il risultato finale é quindi che si può ritenere che µ = µ 3 µ (3 punti). Esercizio 3. Raccogliamo i dati nella tabella: asma altro sani totale A B In entrambe le domande, bisognerà confrontare due campioni ognuno con due caratteristiche; si potrà quindi usare indifferentemente il test Z o il test χ. Per mostrare entrambi gli approcci, risolviamo il primo punto usando il χ e il secondo usando il test Z.. Vogliamo fare un test di ipotesi H 0 : p = p contro l alternativa H : p p, dove p indica la proporzione dei primogeniti asmatici nel gruppo A e p indica la proporzione dei primogeniti asmatici nel gruppo B. Raccogliamo i dati (osservati ed attesi) nella seguente tabella: asma non asma totale A 5 (6,3) 85 (93,7) 00 B 4 (,6) 96 (87,4) Per costruire la tabella attesa, abbiamo usato ˆp = 9/300 = 0,063. Siccome tutti i numeri della tabella attesa sono maggiori di 5, si puó usare il metodo del χ : χ = (5 6, 3) 6, 3 + (4, 6), 6 + (85 93, 7) 93, 7 + (96 87, 4) 87, 4 = 9, 06 Il valore critico è χ 0,99() = 6,63; siccome χ > χ 0,99(), rifiutiamo H 0 e accettiamo H. Siccome dalle tavole risulta χ 0,999() = 0,88, riportiamo P < 0,00 (4 punti). Se invece avessimo fatto un test Z, saremmo riusciti a concludere solo che P < 0, Vogliamo ora fare un test di ipotesi H 0 : p 3 = p 4 contro l alternativa H : p 3 p 4, dove p 3 indica la proporzione dei primogeniti con malattie non asmatiche nel gruppo A e p 4 indica la proporzione dei primogeniti con malattie non asmatiche nel gruppo B. Abbiamo: ˆp 3 = 9 00 = 0, 09, ˆp 4 = = 0, 03, ˆp = = 0, Abbiamo n A ˆp = 00 0, 05 = 5 5 e n B ˆp = 00 0, 05 = 0 > 5. Siccome ˆp < /, sicuramente anche n A ( ˆp) e n B ( ˆp) saranno maggiori di 5, e quindi si può fare il test Z. Abbiamo: 0, 09 0, 03 Z = 0, 05( 0, 05) ( 00 + ) =, 5 00 Il valore critico è q α/ = q 0,995 =,58; siccome Z <,58, accettiamo H 0. Stavolta possiamo fare il calcolo preciso di P : P = P{ Z >, 5} = P{Z >, 5} = ( P{Z, 5}) = = ( F Z (, 5)) = ( 0, 98778) 0, 044 (4 punti) Se avessimo usato il test χ avremmo potuto concludere solo che 0,0 < P < 0,05.

5 Esercizio 4. Partiamo calcolando le quantità: X = 6, 7 = 55, 6 (0, 5 punti), Ȳ = 4950 s X = 0 (35350, 49 55, 6 ) = 33, 44 (0, 5 punti), s Y = 0 ( ) = 945 (0, 5 punti), = 450 (0, 5 punti), s XY = (8003, , 6) = 48, 5 (0, 5 punti) 0. L errore standard della media del peso del cuore è s Ȳ = s Y / = 945/ = 4,0, e gli estremi dell intervallo sono quindi Ȳ ±t α/(ν) = 450±t 0,95 (0) 4, 0 = 450±, 8 4, 0 = 450±76,, e l intervallo è I = [373, 87; 56, ] (,5 punti).. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione: b = s XY s = 3, 60 X b 0 = Ȳ b X = 49, 5 La retta di regressione è quindi y = 3, 60x + 49, 5 ( punti). Notiamo che in realtà la variabile y è espressa in grammi, e la variabile x in chilogrammi; volendo quindi tenere le stesse unità per entrambe le variabili, la retta di regressione sarebbe (ad esempio in g) y = 0, 0036x + 49, 5 g. 3. Bisogna fare un test di ipotesi H 0 : β = 0 e alternativa H : β 0. Se H 0 viene accettata, significa che non c è dipendenza lineare. Per eseguire il test, bisogna calcolare: s Y X = s b = 0 9 (945 3, 60 33, 44) = 40, 8 s Y X 40, 8 = = 3, 66 s X 33, 44 Costruiamo t: t = b 0 3, 60 = = 0, 984 s b 3, 66 Il più piccolo quantile nelle tavole della legge t(9) è t 0,95 (9) =,833 > t, quindi riportiamo P > 0,0. Siccome gli α comunemente usati sono tutti minori di 0,0, sicuramente accetteremmo un test, con la conclusione che non c è una relazione lineare tra le due quantità ( punti).

6 Esame di Istituzioni di Matematica II del 8 gennaio 00 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova) (docente: Tiziano Vargiolu) Sono ammessi all orale: Condini Chiara 7 Damesin Alessandro 0,5 Fiocco Francesca 8 Fogal Stefano 7,5 Manfrin Giampaolo 4 Meneghello Giulia 9 Minetto Silvia,5 Nalesso Giovanna 8 Pinato Odra,5 Rossi Alessandro 3,5 Solito Samantha 0,5 Sommaggio Roberta 7 Turato Cristian 8 Visione compiti corretti: a ricevimento, oppure mercoledì 5 gennaio aula D piano terra Vallisneri.