Esercizi di Probabilità e Statistica

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Carla Rubino
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1 Esercizi di Probabilità e Statistica parte 1 Massimo Guerriero Ettore Benedetti

2 Indice Esercizi Presentazione dei dati Misure di sintesi numerica Probabilità Distribuzioni teoriche di probabilità Distribuzione campionaria della media

3 Presentazione dei dati Esercizio 13 pag. 28 In uno studio sui fattori di rischio per malattie cardiovascolari, sono stati registrati i livelli di cotinina sierica un prodotto del metabolismo della nicotina in fumatori e in non fumatori. Di seguito sono riportate le relative distribuzioni di frequenza: Livello di cotinina (ng/ml) Fumatori Non fumatori >= Totale

4 Presentazione dei dati es.13 pag.28 a. E corretto confrontare le distribuzioni dei livelli di cotinina nei fumatori e nei non fumatori in base alle frequenze assolute in ciascun intervallo? Perché e perché no? No perché le due popolazioni hanno una numerosità differente, occorre calcolare le frequenze relative per effettuare i confronti b. Calcolare le frequenze relative dei valori di cotinina sierica in ciascun gruppo Dividiamo ciascuna frequenza assoluta per il totale ed otteniamo le seguenti colonne che possiamo aggiungere alla tabella precedente: Fumatori F relativa Non fumatori F relativa 0,051 0,958 0,086 0,021 0,092 0,007 0,134 0,004 0,128 0,002 0,143 0,002 0,098 0,003 0,268 0,

5 Presentazione dei dati es.13 pag.28 c. Disegnare una coppia di poligoni di frequenza Costruiamo il grafico mettendo le frequenze relative in ordinata e il livello di cotinina in ascisse. d. Descrivere la forma di ciascun poligono. Che cosa si può dire sulla distribuzione dei livelli di cotinina in ciascun gruppo? 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 Poligono di Frequenze relative F relative Fumatori F relative Non Fumatori La popolazione di non fumatori è concentrata in larghissima parte su bassi livelli di cotinina. Per i fumatori la popolazione è più distribuita, chi fuma ha valori di cotinina generalmente molto più alti di chi non fuma.

6 Presentazione dei dati es.13 pag.28 e. Lo status di fumatore o non fumatore è stato dichiarato direttamente dai soggetti interessati. E possibile che alcuni soggetti siano stati inclusi in una categoria sbagliata? Perché e perché no Sì, è possibile, perché nella tabella si notano numerosi outlier. Difficilmente chi non fuma ha valori molto alti di cotinina e altrettanto difficilmente chi fuma ha valori bassi di cotinina. Probabilmente non sono stati inclusi gli ex fumatori (da tanto o da poco tempo).

7 Misure di sintesi numerica Esercizio 10 pag. 50 Sulla base dei dati dell esercizio 13 pag.28 di cui si sono viste le soluzioni nelle slide precedenti: a. Calcolare la media e la deviazione standard raggruppata per le misurazioni dei livelli di cotinina sierica nei due gruppi. Per l ultimo intervallo >= 300 ng/ml si assuma che il punto medio dell intervallo sia 340 ng/ml. La media per dati raggruppati si calcola con formula x = i=1 k k i=1 m i f i raggruppata è una media ponderata dei punti medi dell intervallo. Il risultato è quindi 198,972 per i fumatori e 10,603 per i non fumatori. La deviazione standard si trova come radice quadrata della varianza. La varianza raggruppata dei dati si calcola con la formula s 2 = f i, ovvero la media i=1 k k i=1 (mi x) 2 f i. f i 1 Il risultato finale è quindi 107,180 per i fumatori e 140,925 per i non fumatori.

8 Misure di sintesi numerica es.10 pag.50 b. In quale intervallo si riduce il livello di cotinina sierica mediano nei fumatori? E nei non fumatori? Dividiamo le popolazioni in due parti: 1539/2 = /2 = Livello di cotinina (ng/ml) F cumulate fumatori F cumulate non fumatori Calcoliamo le frequenze cumulate per le due popolazioni e riportiamo i risultati in tabella come a fianco. Il valore è maggiore di 756 e minore di 976, per cui ricade nel range Il valore è minore di 3300 e quindi ricade nel range >=

9 Misure di sintesi numerica es.10 pag.50 c. Confrontare le distribuzioni dei livelli di cotinina sierica nei fumatori e nei non fumatori Riprendendo le frequenze cumulate, ed osservando nuovamente il livello mediano notiamo che per i fumatori questo livello si colloca ad un range elevato, mentre per i non fumatori si colloca subito al primo range. Livello di cotinina (ng/ml) F cumulate fumatori F cumulate non fumatori Questo ci porta a dedurre che la prima distribuzione si distribuisce in modo più diversificato su diversi range, mentre la seconda distribuzione ha un picco iniziale per poi distribuirsi più raramente a mano a mano che i range aumentano. Le nostre deduzioni sono confermate dal grafico che abbiamo già visto per l esercizio 13 a pag >=

10 Indice Esercizi Presentazione dei dati Misure di sintesi numerica Probabilità Distribuzioni teoriche di probabilità Distribuzione campionaria della media

11 Probabilità Esercizio 9 pag. 122 Si considerino le statistiche relative alla natalità per la popolazione degli Stati Uniti nel In accordo con questi dati, sono di seguito riportate le probabilità dell età al momento del parto nel 1992 di una donna selezionata casualmente. Età Probabilità < Totale 1

12 Probabilità es.9 pag.122 a. Qual è la probabilità che una donna che ha partorito nel 1992 avesse un età minore o uguale a 24 anni? La probabilità che si verifichino due o più eventi mutualmente esclusivi è pari alla somma delle singole probabilità. P(età <= 24) = P(età < 15) + P(15 <= età <= 19) + P(20 <= età <= 24) = 0, ,263 = 0,39 = 39% b. Qual è la probabilità che avesse un età maggiore o uguale a 40 anni? Per lo stesso motivo della risposta precedente: P(età >= 40) = P(40 <= età <= 44) + P(45 <= età <=49) = = = 1.5%

13 Probabilità es.9 pag.122 c. Dato che la madre di un determinato bambino è al di sotto dei 30 anni, qual è la probabilità che non abbia ancora 20 anni? P(età <= 19) = P(età < 15) + P(15 <= età <= 19) = 0, = P(età <= 29) = P(età < 15) + P(15 <= età <= 19) + P(20 <= età <= 24) + P(25 <= età <= 29) = = 0.68 P(età <= 19 età <= 29) = P(età < 19) = 0,127 P(età <=19 età <= 29) = P(età <= 19 età <= 29) P(età <= 29) = = 0.19 = 19%

14 Probabilità es.9 pag.122 d. Dato che la madre di un determinato bambino ha 35 anni o più, qual è la probabilità che non abbia ancora 40 anni? P(età <= 39) = P(età < 15) + P(15 <= età <= 19) + P(20 <= età <= 24) + P(25 <= età <= 29) + P(30 <= età <= 34) + P(35 <= età <= 39) = = P(età >= 35) = P(35 <= età <= 39) + P(40 <= età <= 44) + P(45 <= età <= 49) = = 0.10 P(età <= 39 età >= 35) = P(35 <= età <= 39) = P(età <=39 età >= 35) = P(età <= 39 età >= 35) P(età >= 35) = = 0.85 = 85%

15 Distribuzioni teoriche di probabilità Esercizio 19 pag. 149 La distribuzione del peso della popolazione maschile degli Stati Uniti è approssimativamente normale con media µ = 172,2 libbre e deviazione standard σ = 29.8 libbre. (1 libbra = 454 grammi). a. Qual è la probabilità che un soggetto selezionato casualmente pesi meno di 130 libbre? La variabile casuale X che rappresenta la distribuzione di peso è una variabile Gaussiana di media µ = libbre e deviazione standard σ = 29.8 libbre. La variabile standardizzata è dunque Z = X Quindi: P(X < 130) = P(Z < ) = P(Z < 1.41) = P(Z > 1.41) = 7.9%.

16 Distribuzioni teoriche di probabilità - es.19 pag b. Qual è la probabilità che il soggetto pesi più di 210 libbre? P(X > 210) = P(Z > ) = P(Z > 1.26) = = 10.4% c. Qual è la probabilità che tra cinque soggetti maschi selezionati casualmente dalla popolazione, almeno uno abbia un peso non compreso tra 130 e 210 libbre? P(130 < X < 210) = P( 1.41 < Z < 1.26) = = 81.7%

17 Distribuzione campionaria della media Esercizio 13 pag. 163 Nei Paesi Bassi, la popolazione maschile sana di età compresa fra 65 e anni ha una distribuzione dei livelli di acido urico serico approssimativamente normale con media µ = 341 µmol/l e deviazione standard σ = µmol/l. a. Quale proporzione di soggetti ha un livello di acido urico sierico compreso tra 300 e 400 µmol/l? P(300 <= X <= 400) = P( <= Z <= ) = P(-0.52 <= Z <= 0.75) = 1 - P(Z >= 0.52) - P(Z >= 0.75) = = = 47.1%

18 Distribuzione campionaria della media - es.13 pag b. Quale proporzione dei campioni di dimensione uguale a 5 ha un livello medio di acido urico serico compreso fra 300 e 400 µmol/l? P(300 <= X <= 400) = P( <= Z <= ) = P(-1.16 <= Z <= 1.67) = 1 - P(Z >= 1.16) - P(Z >= 1.67) = = 0.83 = 83% c. Quale proporzione dei campioni di dimensione uguale a 10 ha un livello medio di acido urico serico compreso fra 300 e 400 µmol/l? P(300 <= X <= 400) = P( <= Z <= ) = P(-1.64 <= Z <= 2.36) = 1 - P(Z >= 1.64) - P(Z >= 2.36) = = 0.94 = 94%

19 Distribuzione campionaria della media - es.13 pag d. Calcolare un intervallo che comprende il 95% delle medie dei campioni di dimensione uguale a 10. Sarebbe più corto un intervallo simmetrico o uno asimmetrico? Come abbiamo già visto, la variabile standardizzata è Z = X sappiamo che: P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 95% = 0.95 Quindi deve essere: <= z <= <= 10 X <= 1.96 X <= X <=

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