Indici di. tendenza centrale: posizione: variabilità e dispersione: -quantili -decili -percentili. -Media -Moda -Mediana

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Aurelia De Angelis
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1 Indici di posizione: -quantili -decili -percentili tendenza centrale: -Media -Moda -Mediana variabilità e dispersione: -Devianza - Varianza -Deviazione standard

2 Indici di tendenza centrale

3 Indici di tendenza centrale Scale di misura Moda Mediana Media Nominale Ordinale Intervalli Rapporti x x x x x x x x x

4 Media punto di equilibrio centrale dell insieme dei valori considerati (somma dei valori di ogni osservazione) X = n Σ i=1 n (numero di osservazioni) X = media n Σ = sommatoria di tutti i dati dal primo (i=1) a n i=1 X i X i = valore i-esimo della distribuzione X n = numerosità totale del campione

5 Se i dati sono raggruppati in classi n Σ f i X i i=1 X = X = media n n Σ = sommatoria di tutti i dati dal primo (i=1) a n i=1 f i = frequenza relativa della classe i-esima X i = valore i-esimo della distribuzione X n = numerosità totale del campione

6 Come si procede I valori della variabile su cui calcolare la media sono determinati dalla somma dei limiti (inferiore e superiore) /2 dell intervallo di classe che va moltiplicata per la frequenza ad esso associata. Classi X i f i X i * f i (45+49)/ X = 532/16= = (40+44)/ (35+39)/ (30+34)/ (25+29)/ (20+24)/

7 Mediana Divide la distribuzione in due parti di uguale numerosità e corrisponde al 50 percentile. Determina semplicemente il valore che divide i dati in due parti numericamente uguali, prescindendo dal valore dei dati e dal fatto che questi siano bilanciati rispetto ad essa. Diversamente dalla media che non divide necessariamente i dati in due parti numericamente uguali, ma li divide in base ad un valore medio della variabile. Moda rappresenta il valore per cui si ha il picco di frequenza.

8 Indici di variabilità e di dispersione

9 Devianza scarti quadratici della media SS = Σ (x- M) 2 oppure Σx 2 - (Σx) 2 N Varianza oscillazione media intorno alla media s 2 = MS = Σ (x- M) 2 = devianza N-1 gradi di libertà Deviazione standard Radice quadrata della varianza DS = Σ (x- M) 2 = devianza = varianza N-1 gradi di libertà

10 Gruppo A: Gruppo B: deviazione standard varianza devianza scarti dalla media Deviazione standard varianza devianza scarti dalla media Media= (4+5+6)/3= 5 Media= ( )/3= 5 Σ Σ DS=1 DS=10

11 Gruppi A Media 5 scarti dalla media 0 devianza 2 varianza 1 deviazione standard B ) Perché calcoliamo i quadrati degli scarti dalla media (devianza)? Per poter evidenziare le differenze fra i gruppi. La sommatoria degli scarti è sempre uguale a 0. Calcolando la devianza i valori negativi diventano positivi e la somma non sarà più 0. 2) Perché calcoliamo la deviazione standard? L utilizzo di scarti elevati al quadrato (devianza) rende la varianza non omogenea con l unità di misura dei dati di partenza, pertanto si utilizza la radice quadrata delle varianze (deviazione standard).

12 3) Per garantire l indipendenza delle osservazioni (dati) si calcolano i G.d.L. togliendo 1 dato al n totale delle osservazioni. A Σ 15 B Σ 15

13 Distribuzione normale

14 Distribuzione normale unimodale simmetrica (media, mediana e moda coincidono) mesocurtica (la varianza è circa ¼ della media) Simmetrica 68 % 95 % 99 %

15 Se è bimodale non c è rimedio Moda: rappresenta il valore per cui si ha il picco di frequenza. Una distribuzione più essere unimodale o bimodale a seconda che sia presente un solo picco o due picchi intercalati da un avvallamento. Bimodale Media=Mediana

16 Se non è simmetrica. Per correggere la simmetria e/o la curtosi: se media = varianza si estrae la radice quadrata se varianza > media si fa il log x o log x + C (Anscombe)

17 Asimmetrica positiva MODA MEDIANA MEDIA

18 Asimmetria negativa MEDIANA MODA MEDIA

19 Rappresentazione della curtosi LEPTOCURTICA MESOCURTICA PLATICURTICA

20 Teorema Bernouille Dato un universo di media µ e deviazione standard σ se si estraggono n campioni la media delle medie sarà uguale alla media della popolazione e l errore standard uguale alla deviazione standard della popolazione.

21 Indici di posizione per conoscere la posizione che una osservazione occupa all interno di una distribuzione

22 Primi passi Calcolare il valore mediano Stabilire se il nostro valore appartiene nella metà inferiore o superiore di una distribuzione. Gli indici di posizione dividono la distribuzione in quattro (quantili), dieci (decili) o cento (percentili) parti.

23 Quantili (Q) 25 % 25 % 25 % 25 % Q 1 Q 2 Q 3

24 Decili (D) 50 % 10% D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9

25 Percentili (P) 50 % 10% P 10 P 20 P 30 P 40 P 50 P 60 P 70 P 80 P 90

26 ALCUNE CONSIDERAZIONI MEDIANA = Q 2 = D 5 = P 50 = 50 % Q 1 = P 25 Q 2 = P 50 Q 3 = P 25

27 Calcolo degli indici di posizioni Se non sono raggruppati in classi a) Disporre i dati della distribuzione in ordine crescente b) Identificare la posizione mediante la formula: P Perc = Perc (n +1) 100 Perc = percentile (1-99) n= numero dei dati della distribuzione c) Identificare il valore che corrisponde alla posizione Valore percentile = XPPerc

28 Calcolo degli indici di posizioni Se sono raggruppati in classi a) Identificare la posizione mediante la formula: Valore percentile= X PPerc = l inf Perc * n - fc inf 100 * i Perc = percentile (1-99) n= numero dei dati della distribuzione l inf = limite reale inferiore della classe che contiene il percentile fc inf = frequenza cumulata della classe precedente a quella del percentile i = ampiezza della classe che contiene il percentile (limite reale superiore meno limite reale inferiore) f = frequenza della classe che contiene il percentile + f

29 Esercizio Classi Limiti reali f i f c 1) Individuare la classe che contiene Q3 o P75 Perc n 100 * = (75 * 24) = 18 Valore percentile= X PPerc = l inf = = = Perc (75 * 24) * n - 16 fc inf (14.5 * i ) 5 f 12.1 Ricordiamoci di procedere per interpolazione

30 Ranghi Corrispondono alle posizioni occupate dalle singole osservazioni. Se due o più valori sono uguali (cadono sullo stesso rango) bisogna calcolare il rango medio Il rango dipende dal n delle osservazione

31 Ranghi percentili Libera le singole osservazioni dal denominatore Consente di confrontare direttamente la prestazione di un soggetto R= Rango R %= (n R) n - 1 * 100 R % = Rango percentile n = numerosità delle osservazioni

32 Esempio : calcolare il rango percentile corrispondente al valore 20 X = X = R %= R %= (n R) n - 1 (15 6) 15-1 = * 100 * 100 = Il rango percentile del punteggio 20 corrisponde al 64% circa = Sotto al punteggio 20 cadono il 64% dei valori della distribuzione = Il punteggio 20 corrisponde in percentuale al 36 esimo posto della distribuzione (64-100=36)

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