Università di Cassino Corso di Laurea in Scienze Motorie Biostatistica Anno accademico 2011/2012

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1 Università di Cassino Corso di Laurea in Scienze Motorie Biostatistica Anno accademico 2011/2012 Bruno Federico Cattedra di Igiene - Università degli Studi di Cassino Indici di sintesi Gran parte della analisi statistica consiste nel condensare complessi pattern di osservazioni in un indicatore che sia capace di riassumere una specifica caratteristica di tutte le rilevazioni in un singolo numero Nella statistica descrittiva distinguiamo: Indici di tendenza centrale (o indici di posizione) esprimono il valore tipico Moda Mediana Media Indici di dispersione (o indici di variabilità) esprimono quanto i dati si raggruppano strettamente intorno al valore tipico Range Range interquartile Percentili Deviazione standard, varianza Indici di forma esprimono le caratteristiche di simmetria e curvatura della distribuzione dei dati Skewness Kurtosi 1

2 Indici di tendenza centrale 2

3 Moda È il valore che si presenta più frequentemente Si può calcolare per variabili categoriche binomiali, nominali e ordinali variabili numeriche discrete (quando le modalità osservate siano poche) variabili numeriche continue (raggruppando in classi le osservazioni) Si determina contando la frequenza delle modalità Esistono distribuzioni di frequenza con una sola moda (distribuzioni unimodali) o più di una moda (plurimodali) Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Si costruisce una tabella di frequenza Il valore 2.8 si presenta tre volte, i valori 2.6 e 4.0 si presentano 2 volte ciascuno, tutti gli altri valori si presentano una volta sola 2.8 è la moda della distribuzione N.B. La moda si riferisce al valore più frequente (2.8), non alla frequenza di tale valore (3) 3

4 Mediana Il valore, che, dopo aver posto le osservazioni in ordine crescente, divide il campione in due gruppi di eguale numerosità Si può calcolare per variabili categoriche ordinali variabili numeriche discrete variabili numeriche continue Si calcola individuando Nelle serie dispari il valore al centro della distribuzione ordinata (valore nella (n+1)/2 esima posizione) Nelle serie pari è la media dei due valori al centro della distribuzione ordinata (media tra il valore nella n/2 esima e il valore nella (n/2)+1 esima posizione) E detta anche 50 percentile Utilizza le relazioni di posizione dei dati (>,<) Non è sensibile ai valori estremi E il migliore indice di sintesi nelle distribuzioni asimmetriche Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Si ordinano i 13 valori x i 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.6, 2.8, 2.8, 2.8, 3.0, 3.3, 3.5, 4.0, 4.0 Nelle serie dispari (N=13 è dispari) è il valore al centro della distribuzione ordinata valore nella (n+1)/2 esima posizione = 7a posizione = 2.8 4

5 Media aritmetica La somma di tutti i valori rilevati in un campione divisa per la numerosità ( ) Si può calcolare per variabili numeriche discrete variabili numeriche continue Utilizza le proprietà delle relazioni aritmetiche (quantità, operazioni) Sintetizza tutti i dati: è il valore più vicino a tutte le singole osservazioni E invariante per trasformazioni affini: +k, - k, *k, /k spostano nello stesso senso la media E valida soprattutto per i dati che seguono una distribuzione di frequenza normale E sensibile ai valori estremi Esempio: Il volume espiratorio forzato in 13 adolescenti asmatici (in litri) 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Si sommano i 13 valori x i = 38 Si divide per n=13 38 / 13 = 2.9 5

6 Se la distribuzione è simmetrica unimodale Media = Mediana = Moda Se la distribuzione è simmetrica bimodale Moda1 < Media = Mediana < Moda2 Se la distribuzione è asimmetrica a destra Moda < Mediana < Media Se la distribuzione è asimmetrica a sinistra Media < Mediana < Moda Esercitazione Di un gruppo di atleti raccogliamo delle informazioni relative al tipo di sport praticato, al peso, all'altezza ed al numero di infortuni subiti. Calcolare: il peso medio e mediano L'altezza media e mediana Lo sport più praticato La media, la mediana e la moda del numero di infortuni. sum peso altezza Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max peso altezza centile peso altezza Variable Obs Percentile Centile peso altezza Esercitazione Hai raccolto i valori del peso (espresso in libbre) dei canottieri di Oxford e Cambridge Cambridge: media=182, mediana=186 Oxford: media=180, mediana=185 Ti aspetti che la distribuzione sia simmetrica? 6

7 Frequency stem weight Stem-and-leaf plot for weight 10* 9 11* 0 12* 13* 14* 15* 16* 17* 49 18* * 56 20* * weight 7

8 Media per dati raggruppati La media aritmetica si può calcolare anche senza avere i valori di ogni singola osservazione, basandosi su dati aggregati La media aritmetica può essere calcolata come media pesata, o media ponderata, dei diversi valori. I pesi sono rappresentati dalla frequenza di ciascun valore Consideriamo ad esempio la seguente tabella, che riporta la distribuzione di frequenza del n di sigarette fumate ogni giorno da un campione di 20 persone N sig. Frequenza N sig. medio=(0*6+5*8+10*5+20*1)/20=5.5 La media aritmetica può essere calcolata, con una certa approssimazione, anche quando, invece dei singoli valori, sono riportati degli intervalli di valori della variabile di interesse Consideriamo ad esempio la seguente tabella, che riporta la distribuzione di frequenza dei valori di frequenza cardiaca a riposo in un campione di 20 persone Freq. Card. Frequenza In questo caso, si prende il valore centrale di ogni intervallo e si usa la formula descritta in precedenza Freq. Card. media = (45*2+55*4+65*6+75*4+85*3+95*1)/20=67.5 8

9 Esercitazione Calcolare il valore medio del n di addominali effettuati da un campione di 30 atleti in un giorno N addominali Frequenza Esercitazione Calcolare il valore medio della Pressione Arteriosa Sistolica negli stessi atleti PAS Frequenza <

10 y Indici di variabilità Consideriamo due distribuzioni di frequenza 0 1 group Nonostante abbiano la stessa media e la stessa mediana (entrambi uguali a 10), le due distribuzioni hanno diversa dispersione, o diversa variabilità La variabilità o dispersione è un concetto chiave in statistica. Molte analisi vengono condotte allo scopo di studiare le cause della variabilità di un fenomeno Indici di variabilità sono: Il range, o intervallo massimo-minimo Il range inter-quartile La varianza La deviazione standard 10

11 Il Range Il Range, o intervallo massimo-minimo, individua le due osservazioni estreme di una distribuzione, ovvero la più grande e la più piccola Il limite di questa misura è che è facilmente influenzabile da osservazioni anomale, cioè molto più grandi o molto più piccole della maggior parte delle osservazioni Nell esempio di sopra, il range era (8-12) per il gruppo 0 e (4-16) per il gruppo 1 Nel caso del football Variable Obs Mean Std Dev Min Max air helium Il Range (intervallo) inter-quartile Per illustrare questo indice di variabilità, occorre prima definire i quartili di una distribuzione. In una distribuzione di frequenza, i quartili sono 4 gruppi ordinati che contengono al loro interno lo stesso numero di unità statistiche I quartili appartengono ad una classe di statistiche nota come quantili Per quantili si intende la suddivisione di una distribuzione in gruppi ordinati e di eguale numerosità Decili: dieci gruppi Quintili: cinque gruppi Quartili: quattro gruppi Centili (o percentili): cento gruppi Il range inter-quartile è la differenza tra il primo quartile (o 25 percentile) e il terzo quartile (o 75 percentile) È l intervallo che contiene il 50% centrale dei dati, e non è influenzato dai valori estremi 11

12 Il range inter-quartile è mostrato nel grafico a scatola, o box-plot Air Helium La scatola centrale si estende dal 25 percentile al 75 percentile La linea dentro la scatola rappresenta la mediana Le linee al di fuori della scatola si estendono ai valori adiacenti, osservazioni più estreme che non superano più di 1,5 volte l altezza della scatola esternamente ad ognuno dei quartili Osservazioni che sono più lontane dal range interquartile di 1,5 volte lo stesso range inter-quartile sono rappresentate con un punto Questo grafico è particolarmente utile per verificare la asimmetria delle distribuzioni di frequenza 12

13 I centili o percentili sono un altra classe di statistiche comunemente utilizzate. Per percentile si intende la suddivisione in 100 parti uguali di una serie di valori continui (ad esempio pesi o altezze di bambini) Un bambino che superi il 90% percentile avrà dunque un valore (es. di altezza) superiore al 90% di tutti i bambini considerati Consideriamo una variabile Y, ordinabile, con modalità: y 1, y 2, y 3,, y k 1 percentile= valore di y che separa il primo 1% delle osservazioni 2 percentile= valore di y che separa il primo 2% delle osservazioni n percentile= valore di y che separa il primo n% delle osservazioni Calcolo del p-esimo Percentile Considerando n osservazioni ordinate per calcolare il valore del p-esimo percentile, valutiamo l espressione (n*p)/100 se non è un intero il p-esimo percentile sarà l osservazione che si trova alla posizione data da np/100 approssimato per eccesso se è un intero il p-esimo percentile sarà la media tra l osservazione che si trova nella posizione np/100 e l osservazione che si trova nella posizione successiva Calcolo del p-esimo Percentile 75 percentile nel nostro esempio di 13 osservazioni valutiamo l espressione (n*p)/100 75*13/100 = 9.75 non è un intero il p-esimo percentile sarà l osservazione che si trova alla posizione data da np/100 approssimato per eccesso e cioè la 10a osservazione dopo aver ordinato i dati 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.6, 2.8, 2.8, 2.8, 3.0, 3.3, 3.5, 4.0,

14 Le curve di crescita I percentili sono ad esempio utilizzati nelle curve di crescita 14

15 La varianza e la deviazione standard Sono due indici di variabilità che tengono conto di tutti i termini della distribuzione in esame Entrambi gli indici esprimono la distanza media di ogni singola osservazione dalla media del campione Per ciascuna osservazione, si calcola lo scarto (distanza) tra il valore dell osservazione stessa ed il valore medio di tutte le osservazioni Invece di calcolare la media degli scarti, si calcola la media degli scarti elevati al quadrato Questo perché per la stessa definizione della media aritmetica la somma degli scarti dalla media è pari a zero La varianza di un campione ( ) Al denominatore c è la quantità (n-1) invece che n. essa è definita come gradi di libertà. La varianza utilizza le proprietà delle relazioni aritmetiche (quantità, operazioni) Esiste solo per variabili numeriche continue e discrete È valida soprattutto per i dati che seguono una distribuzione di frequenza normale È sensibile ai valori estremi La sua unità di misura non è quella della media, ma è al quadrato 15

16 Esempio 2.3, 2.1, 3.5, 2.6, 2.8, 2.8, 4.0, 2.2, 2.6, 3.0, 4.0, 2.8, 3.3 Si calcolano gli scarti , , , -0.6, -0.8, +0.6, -0.3, -0.1, -0.1, +1.1, -0.7, -0.3, +0.1, +1.1, -0.1, +0.4 Si calcolano i quadrati degli scarti 0.36, 0.64, 0.36, 0.09, 0.01, 0.01, 1.21, 0.49, 0.09, 0.01, 1.21, 0.01, 0.16 Si calcola la media dei quadrati degli scarti (usando al denominatore i gradi di libertà) = /(13-1) = litri 2 La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, e ne ha le stesse proprietà, ma ha il vantaggio di avere la stessa unità di misura della media aritmetica La deviazione standard di un campione ( ) Esempio Sqrt(0.3875)=0.622 litri 16