Lezione 1.3 Corso di Statistica. Francesco Lagona

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1 Lezione 1.3 Corso di Statistica Francesco Lagona Università Roma Tre F. Lagona 1 / 17

2 Outline 1 Funzione di ripartizione 2 Quantili 3 Il caso delle variabili continue

3 Funzione di ripartizione la funzione di ripartizione per ogni modalità x, indica la frequenza relativa delle unità che posseggono una modalità inferiore o uguale a x frequenza delle unita con modalità inferiore o uguale a x = n l applicazione più importante della funzione di ripartizione è la costruzione dei quantili funzione di ripartizione funzione di ripartizione S SS D modalita modalita F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 3 / 17

4 Quantili quantili È utile distinguere il caso dei caratteri qualitativi ordinati e quantitativi discreti da quello dei caratteri continui sia la funzione di ripartizione di una variabile qualitativa ordinabile o quantitativa discreta con supporto X sia p un valore compreso tra 0 e 1 si chiama quantile di ordine p la più piccola modalità x p tra quelle con una frequenza relativa cumulata più grande di p: x p = min{x X : p} = F 1 (p) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 4 / 17

5 Quantili la mediana è il quantile di ordine p = 0.5 con riferimento alla funzione di ripartizione sopra, la mediana è la modalità SS (sufficiente) vuol dire che il 50% delle unità ha dato un giudizio inferiore o uguale a "sufficiente" ovvero che il restante 50% ha dato un giudizio superiore o uguale a "sufficiente" F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 5 / 17 quantile di ordine p = 0.5 mediana S SS D modalita

6 Quantili il primo quartile è il quantile di ordine p = 0.25 con riferimento alla funzione di ripartizione sopra, il primo quartile è la modalità S (scarso) vuol dire che il 25% delle unità ha dato un giudizio inferiore o uguale a "scarso" ovvero che il restante 75% ha dato un giudizio superiore o uguale a "scarso" F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 6 / 17 quantile di ordine p = 0.25 I quartile S SS D modalita

7 Quantili il terzo quartile è il quantile di ordine p = 0.75 con riferimento alla funzione di ripartizione sopra, il terzo quartile è la modalità SS (sufficiente) vuol dire che il 75% delle unità ha dato un giudizio inferiore o uguale a "sufficiente" ovvero che il restante 25% ha dato un giudizio superiore o uguale a "sufficiente" F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 7 / 17 quantile di ordine p = 0.75 III quartile S SS D modalita

8 Quantili il primo percentile è il quantile di ordine p = 0.01 con riferimento alla funzione di ripartizione sopra, il primo percentile è la modalità S (scarso) vuol dire che l 1% delle unità ha dato un giudizio inferiore o uguale a "scarso" ovvero che il restante 99% ha dato un giudizio superiore o uguale a "scarso" F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 8 / 17 quantile di ordine p = 0.01 Imo percentile S SS D

9 Quantili un altro esempio funzione di ripartizione modalita I percentile 0 I quartile 1 mediana 2 III quartile 3 99mo percentile 5 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 9 / 17

10 Quantili quantili terminologia mediana = II quartile o 50mo percentile I quartile = 25mo percentile III quartile = 75mo percentile esempi applicativi: rating dei titoli finanziari percentili del peso e dell altezza dei neonati F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 10 / 17

11 Il caso delle variabili continue la funzione di ripartizione: il caso continuo classe n k N k f k F k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] funzione di ripartizione F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 11 / 17 classi

12 Il caso delle variabili continue l equazione della funzione di ripartizione funzione di ripartizione classi l equazione della funzione di ripartizione nella prima classe è data da = x ( 10) 6 ( 10) 0.04 = x ( 10) 4 = 0.04 (x ( 10)) 4 dove 0.04/4 è la densità della prima classe F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 12 / 17

13 Il caso delle variabili continue l equazione della funzione di ripartizione classe n k N k f k F k [ 10, 6) [ 6, 2) [ 2, 2) [2, 6) [6, 10] l equazione di nella seconda classe è data da = x ( 6) 2 ( 6) l equazione di nella quinta classe è data da = x = (x + 6) = (x 6) F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 13 / 17

14 Il caso delle variabili continue l equazione della funzione di ripartizione in generale, data la distribuzione h k classe [a 0, a 1 ) h 1 [a 1, a 2 ) h [a k 1, a k ) h k [a K 1, a K ) h K l equazione della funzione di ripartizione nella kma classe è data da = h k (x a k 1 ) + F k 1 indica la frequenza relativa di unità rilevate che hanno espresso una modalità inferiore o uguale a x F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 14 / 17

15 Il caso delle variabili continue quantili per variabili continue sia la funzione di ripartizione di un carattere continuo, suddiviso in classi = h k (x a k 1 ) + F k 1 a k 1 < x < a k il quantile di ordine p è dato da x p = F 1 (p) in pratica: si trova la classe (a k 1, a k ) che contiene il quantile x p si risolve p F k 1 = h k (x p a k 1 ) x p = a k 1 + p F k 1 h k F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 15 / 17

16 Il caso delle variabili continue esempio quantili classi I quartile: x 0.25 = 6 + ( )/4 = 3.38 mediana: x 0.5 = ( )/4 = 0.67 III quartile: x 0.75 = ( )/4 = 1.71 F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 16 / 17

17 Il caso delle variabili continue curve di crescita F. Lagona 17 / 17