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Federico Lamberti
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1 Università degli Studi di Verona CdL in Economia e Commercio a.a. 2010/2011 STATISTICA Esercitazioni: Annamaria Guolo Rappresentazioni grafiche e distribuzioni di frequenza: SOLUZIONI Esercizio 2 a) I caratteri rilevati sono la Fascia d età (carattere qualitativo su scala ordinale, modalità: Giovane, Adulto, Anziano), l Attitudine al fumo (carattere qualitativo su scala sconnessa, modalità SI, NO) e il Genere (carattere qualitativo su scala sconnessa, modalità: Maschio, Femmina). b) Distribuzione di frequenza marginale assoluta (f) e relativa (p) del carattere Abitudine al fumo e del carattere Fascia di età: Fumatore f p SI /500=0.36 NO /500=0.64 Tot. = 500 Tot. =1 Fascia d età f p Giovane /500=0.24 Adulto /500=0.28 Anziano /500=0.48 Tot. = 500 Tot. =1 c) Il grafico a barre della distribuzione del carattere Fascia d età si ottiene rappresentando 3 rettangoli (uno per ogni modalità del carattere) di altezza pari alla frequenza relativa. L areogramma si costruisce dividendo un cerchio in settori circolari, in numero pari alle modalità del carattere (3). Ogni settore circolare ha un angolo calcolabile come a j = p j 360. Nel caso in esame: a 1 = 86.4, a 2 = 100.8, a 3 = d) Distribuzione di frequenza congiunta assoluta e relativa dei caratteri Fascia d età e Sesso Genere Fascia d età M F Tot. Giovane Adulto Anziano Tot a) Distribuzione di frequenza relativa marginale Genere Fascia d età M F Tot. Giovane Adulto Anziano Tot

2 Esercizio 3 Comune p A 0.6 B 0.4 Settore di attività p Industria 0.45 Servizi 0.34 Altro 0.21 b) Essendo p = f/n, si ricava la seguente distribuzione congiunta Settore di attività Comune Industria Servizi Altro A B c) La rappresentazione si può effettuare tramite un areogramma con tre settori circolari di ampiezza, rispettivamente, 162.0, 122.4, a) Le unità statistiche sono i bambini su cui si è svolta l indagine ed il carattere rilevato è l Età, carattere quantitativo su scala continua. b) + c) Distribuzione di frequenza assoluta (f), relativa (p), cumulata (F ), retrocumulata (R) e cumulata relativa (P ) del carattere: Età f p F R P = = = = = = = = = Tot d) L istogramma relativo alla distribuzione del carattere si ottiene rappresentando tante astine (bastoncini) quante sono le modalità del carattere rilevato, ciascuno di altezza pari alla frequenza relativa del carattere. Esercizio 4 a)+b) Distribuzione di frequenza relativa (p), cumulata assoluta (F ) e relativa (P ): X Frequenza assoluta f p F P c) Nel disegnare il grafico della distribuzione di frequenza tramite istogramma serve considerare che il carattere si presenta con modalità che sono classi di diversa ampiezza (d i ). Quindi, serve considerare la densità (a i ) di frequenza di ogni classe, data dal rapporto tra la frequenza relativa e l ampiezza della classe: 2

3 Esercizio 5 X p i d i a i = p i /d i Il grafico si ottiene rappresentando un rettangolo per ogni modalità, di base pari all ampiezza della classe e altezza pari alla densità della classe. a) Distribuzione di frequenza assoluta: Paese f p A B C Tot Settore di Studi f p Matematico/Informatico Ingegneristico Medico Tot b) Distribuzione di frequenza relativa del Settore di studi condizionatamente al Paese C Settore di Studi (Paese C) Frequenza relativa Matematico/Informatico 29/116 = Ingegneristico 49/116 = Medico 38/116 = Tot. 1 c) Distribuzione di frequenza relativa del Paese condizionatamente al Settore Medico Paese (Settore Medico) Frequenza relativa A 41/154 = B 75/154 = C 38/154 = Tot. 1 Medie potenziate: SOLUZIONI a) La media aritmetica è data da b) m = 7 i=1 x i f i 71=1 f i = = (x i 0.8) f i = ((0 0.8) (6 0.8)8) = 0 i=1 c) Per ogni valore a in A si calcola 7 i=1 (x i a) 2 f i. Si ottiene: 1124 se a = 1, 604 se a = 0, 476 se a = 0.8, 484 se a = 1, 574 se a = 1.5. Il valore più piccolo si ottiene in corrispondenza di a = media aritmetica. d) Essendo la media un operatore lineare, si ha M(Y ) = M( X) = M(X) = =

4 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4 a) Media aritmetica m = Media armonica m 1 : non calcolabile dato che compare zero tra i valori x. Media geometrica m 0 = 0, dato che compare zero tra i valori x. b) La media aritmetica si usa per sintetizzare grandezze additive. La media armonica si usa per sintetizzare grandezze inversamente proporzionali. Le media geometrica si usa per sintetizzare grandezze moltiplicative. c) La media potenziata di ordine 2 è 6i=1 m 2 = x 2 i f i 6i=1 = 26.5 = 5.148, f i mentre quella di ordine 3 è m 3 = ( 6i=1 x 3 i f i 6i=1 f i ) 1/3 = = a) Distribuzioni di frequenza assoluta marginali di X e Y : X f X Tot. 250 Y f Y Tot. 250 b) M(X) = ( )/250 = 2.84; M(Y ) = ( )/250 = 1.8. c) Distribuzioni di frequenza assoluta di S: S f S = = d) M(S) = ( )/250 = 4.64, oppure, M(S) = M(X+Y ) = M(X)+M(Y ) = = a) In questo caso, l interesse i maturato si ricava come media ponderata degli interessi i = Infatti, si cerca i tale che da cui i risulta 3.875% = = 3.875%. C C C = C i 8, b) In questo caso si ricorre alla media geometrica: (1 + i) = ( ) 1/8 = , da cui i = 3.873%. Infatti, si cerca i tale che da cui i = 3.873%. C ( ) 2 ( ) 5 ( ) = C (1 + i) 8, 4

5 Esercizio 5 Indicando con x i il tempo impiegato dal macchinario j per produrre l articolo, si ha che la quantità di articoli prodotti nell unità di tempo è pari a 1/x j. Pertanto, il valore medio risulta come media armonica ( 5 1 x 1 i /5) = i=1 Esercizio 6 Essendo le grandezze (prezzo e quantità acquistata) inversamente proporzionali, si utilizza una media armonica: m 1 = /4 + 20/5 + 30/6 + 40/8 = Infatti, la spesa totale risulta di = euro. Le unità acquistate al giorno in 10 giorni sono 600/4 = 150, per un totale di 1500, quelle in 20 giorni sono /5 = 2400, quelle in 30 giorni sono /6 = 300, quelle in 40 giorni sono 600 8/40 = In totale 9900 unità. Il costo unitario medio è quindi 60000/9900 = 6.06 euro. Esercizio 7 a) Il numero medio di difetti di A risulta pari a (media ponderata), mentre quella di B a (media ponderata). b) Il numero medio di difetti senza distinzione di macchinario si ricava come la media di un miscuglio, m = ( ) ( ) ( ) + ( ) = Medie lasche: SOLUZIONI Si consideri la seguente tabella: X Frequenza f F. assoluta cumulata F F. relativa cumulata P a) La moda corrisponde alla modalità con la massima frequenza, quindi a 6. b) Essendo N = 250, numero pari, la mediana si colloca tra il termine di posizione N/2 = 125 e quello di posizione N/2 + 1 = 126. Essendo x 125 = x 126 = 4, la mediana è 4. c) La somma degli scarti (in valore assoluto) delle modalità di X da un punto a, I i=1 x i a f i, viene minimizzata nel caso in cui a sia la mediana. Infatti, se a = 2 si ottiene una somma di 600, se a = 3 si ottiene 500, se a = 4 si ottiene 400, se a = 5 si ottiene 450. e) Posto p = 0.25, essendo Np = 62.5, il primo quartile, osservando le frequenze cumulate, corrisponde a 2. Il percentile 88, invece, essendo N 0.88 = 220, corrisponde a 6. 5

6 Esercizio 2 Sia a il punto in cui costruire il nuovo magazzino. La distanza di ogni negozio dal punto a si valuta come x i a f i. Lo scopo è cercare il punto a in modo che la somma pesata delle distanze dei negozi da A, cioè 55 a a a a a 18 sia minima. È noto che il valore che minimizza una tale quantità è la mediana. Con i dati a disposizione, la mediana è a = 120km. Esercizio 3 Si consideri la seguente tabella di informazioni Classi f p d h P a) L istogramma di frequenza è composto da quattro rettangoli di base gli intervalli e altezza le densità di frequenza. b) La classe modale risulta essere c) Secondo decile: x 0.2 = 15 + (N ) (40 15)/53 = d) Mediana: valore compreso tra 40 + (N/2 ( )) (80 40)/70 = e 40 + (N/2 + 1 ( )) (80 40)/70 = La semisomma dei valori conduce alla mediana 50. Numeri indice: SOLUZIONI a) Numeri indici a base fissa: anno 2000 Esercizio 2 Anno I t 1 250/200= /200= /200= /200= /200 =1.30 b) Numeri indici a base mobile Anno t 1I t - 250/200= /250= c) Coefficienti di raccordo= x 2000 /x 2004 = 200/280 = Anno I t = d) Media geometrica: ( ) 1/5 = a) Serie degli indici a base mobile: b) Media geometrica: I 2004 = 1.102/1.030 = , I 2005 = 0.997/1.102 = , I 2006 = 1.209/0.997 = , I 2007 = 1.200/1.209 =

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