Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 29 Gennaio Dott. Mirko Bevilacqua

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1 Università di Cassino Esercitazioni di Statistica del 29 Gennaio 200 Dott. Mirko Bevilacqua DATASET STUDENTI N SESSO ALTEZZA PESO CORSO NUMERO COLORE COLORE (cm) (kg) LAUREA SCARPA OCCHI CAPELLI M INFORMAICA 43 scuri Scuri 2 M INFORMATICA 43 scuri Scuri 3 F INFORMATICA 39 scuri Castani 4 F INFORMATICA 37 verdi Castani 5 F MATEMATICA 37 azzurri Biondi 6 F MATEMATICA 36 scuri Biondi 7 F MATEMATICA 38 verdi Castani 8 F MATEMATICA 38 scuri Castani 9 M MATEMATICA 43 verdi Castani 0 M MATEMATICA 45 azzurri Scuri M MATEMATICA 42 scuri Castani 2 M INFORMATICA 4 scuri Scuri 3 M INFORMATICA 43 scuri Castani 4 F INFORMAATICA 37 scuri Biondi 5 M INFORMATICA 42 verdi Castani 6 M INFORMATICA 42 scuri Scuri 7 M INFORMATICA 4 scuri Scuri 8 M INFORMATICA 40 scuri Castani 9 M INFORMATICA 45 scuri Castani 20 F BIOLOGIA 37 scuri Scuri

50 INFORMATICA 39 scuri Castani 4 F 60 49 INFORMATICA 37 verdi Castani 5 F 60 47 MATEMATICA 37 azzurri Biondi 6 F 60 48 MATEMATICA 36 scuri Biondi 7 F 64 56 MATEMATICA 38 verdi Castani 8 F 70 59

2 ESERCIZIO n : Costruire le distribuzioni doppie di frequenza per le seguenti coppie di caratteri: A) SESSO CORSO DI LAUREA B) SESSO NUMERO DI SCARPE A) Soluzione SESSO CORSO DI LAUREA Matematica Informatica Biologia Totale MASCHIO FEMMINA Totale B) soluzione N scarpe Sesso Totale Maschio Femmina Totale ESERCIZIO n 2: Calcolare media aritmetica, moda e mediana e quartili per il carattere ALTEZZA a partire: 2.) dalla distribuzione semplice del carattere; 2.2) dalla distribuzione nelle classi: [60 65]; ]65 70]; ]70 75]; ]75 79]; ]79 86];

4 42 43 45 Totale Maschio 0 0 0 0 2 3 4 2 2 Femmina 4 2 0 0 0 0 0 8 Totale 4 2 2 3 4 2 20 ESERCIZIO n 2: Calcolare media aritmetica, moda e mediana e quartili

3 2.) soluzione La successione dei valori del carattere ALTEZZA è la seguente: Media aritmetica n 20 xi xi L i= i= µ = = = = 72, n La Moda è la modalità della distribuzione che si presenta con la massima frequenza (assoluta, relativa o percentuale). Osservando la distribuzione di frequenze: x i n i Mo=80. La Mediana (Me) di un insieme di unità ordinate (secondo un carattere ordinabile) è la modalità presentata dall unità centrale dove per unità centrale si intende quell unità che divide il collettivo in due parti di uguale numerosità: una parte formata dalle unità che presentano una modalità precedente o uguale a quella dell unità centrale e una parte formata dalle unità che presentano una modalità successiva o uguale a quella dell unità centrale. La successione ordinata dei valori è: n = 20 è pari quindi: xn + xn + x x Q2 = Me = = = =

Osservando la distribuzione di frequenze: x i 60 62 64 65 70 72 76 78 79 80 86 n i 3 4 5 Mo=80.

4 Quartili I quartili della distribuzione semplice vanno individuati determinando prima la mediana (secondo quartile) e poi le mediane delle due metà della distribuzione che si trovano a sinistra (primo quartile) e a destra (terzo quartile) della mediana. Per il calcolo di Q e Q 3 si fa riferimento alle due semidistribuzioni di numerosità: n = n 2 = xn + x n + x x Q = = = = 64, Considerando la semidistribuzione di destra, ossia ricominciando a contare le posizioni dalla ma : xn + x 2 n2 + x x Q3 = = = = ) soluzione La distribuzione di frequenze è la seguente: x i- x i c i n i f i F i a i d i [60 65] 62,5 6 0,3 0,3 5 0,06 ]65 70] 67,7 4 0,2 0,5 5 0,04 ]70 75] 72,5 0,05 0,55 5 0,0 ]75 79] 77,0 3 0,5 0,7 4 0,0375 ]79 86] 82,5 6 0,3 7 0, Totali 20

Per il calcolo di Q e Q 3 si fa riferimento alle due semidistribuzioni di numerosità: n = n 2 = 0 60 60 60 62 64 65 70 70 70 70 72 76 78 79 80 80 80 80 80 86 xn + x n + x 2 2 5 + x6 64 + 65 Q = = = =

5 Data la distribuzione di frequenza del carattere altezza suddivisa in 5 classi si può approssimare la Media aritmetica del carattere con l espressione riportata sotto, dove k è il numero di classi della distribuzione di frequenza, c i è il valore centrale della classe iesima (il valore che si ottiene come semisomma degli estremi della classe) e n i è la corrispondente frequenza assoluta: k 5 C n C n i i i i i= i= µ = = = n 20 ( 62, 5 6) + ( 67, 5 4) + ( 72, 5 ) + ( 77 3) + ( 82, 5 6) = = 72, La Classe modale è definita come la classe alla quale corrisponde la frequenza più alta. Se la distribuzione possiede classi di diversa ampiezza occorre dividere le frequenze delle classi per la loro ampiezza e confrontare tali quozienti: quello più grande individuerà la classe modale. classe: 6/5=,2; 2 classe: 4/5=0,8; 3 classe: /5=0,2; 4 classe: 3/4=0,75 5 classe: 6/7= 0,85. classe modale = [60 65] Mediana La classe mediana è ]65-70]: prima classe avente frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0,5. Individuata la classe mediana, si procede con la stima della mediana all interno della classe, utilizzando la seguente formula: ( 0 5 F ), dove ( ) Me Me Me Me Me = x + x x F F Me Me X Me- e X Me individuano l estremo inferiore e l estremo superiore della classe dove cade la mediana F Me- e F Me indicano la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente a quella in cui cade la mediana e la frequenza relativa cumulata della classe mediana.

n C n i i i i i= i= µ = = = n 20 ( 62, 5 6) + ( 67, 5 4) + ( 72, 5 ) + ( 77 3) + ( 82, 5 6) = = 72, 25 20 La Classe modale è definita come la classe alla quale corrisponde la frequenza più alta.

6 ( 0, 5 0, 3) ( 0, 5 0, 3) Q = Me = = 70 2 Primo quartile Il procedimento è analogo al precedente. Naturalmente la classe di riferimento è la prima che presenta frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0,25. Classe di riferimento: ]60-65]. ( 0, 25 FQ ) ( FQ F Q ) ( ) Q = x + x x Q Q Q ( 25 0) Q = = 64, 7 0, 3 Terzo quartile Stesso metodo, ma con frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0,75. Classe di riferimento: ]79-86]. ( 0, 75 FQ 3 ) ( FQ F 3 Q3 ) ( ) Q3 = x + x x Q3 Q3 Q3 ( 0, 75 0, 7) Q3 = = 80, 7 0, 7 REGOLA GENERALE I quantili di una distribuzione in classi possono essere determinati in base alla formula generica: ( F F ) ( ) desiderata Px Px = Px + Px Px x x x x F F Px Px

( 0, 25 FQ ) ( FQ F Q ) ( ) Q = x + x x Q Q Q ( 25 0) Q = 60 + 5 = 64, 7 0, 3 Terzo quartile Stesso metodo, ma con frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0,75.

7 ESERCIZIO n 3: Rappresentare con un istogramma la distribuzione in classi del carattere peso dopo averla ripartita in 5 classi equifrequenti. Calcolare la media aritmetica e gli altri indici di posizione. SOLUZIONE Dividendo la frequenza assoluta totale (n=20) per il numero di classi richieste (5), si ottiene la frequenza (costante) di ogni classe (4). Dalla distribuzione semplice, ordinata in modo crescente, del carattere peso è possibile costruire 5 classi aventi frequenza assoluta costante e pari a 4.

SOLUZIONE Dividendo la frequenza assoluta totale (n=20) per il numero di classi richieste (5), si ottiene la frequenza

8 peso: { } x i- x i c i n i f i F i a i d i [47 49] ,2 0,2 2 0, ]49 59] ,2 0,4 0 0,02 ]59 66] 62,5 4 0,2 0,6 7 0,029 ]66 73] 69,5 4 0,2 0,8 7 0,029 ]73 86] 79,5 4 0,2 3 0,05 Totali 20 Media aritmetica k 5 Cn Cn i i i i i= i= µ = = = n 20 ( 62, 5 6) + ( 67, 5 4) + ( 72, 5 ) + ( 77 3) + ( 82, 5 6) = = 72, Classe modale Classe con estremi [ ], ossia quella con densità di frequenza più elevata. Mediana La classe mediana è ] ]. F ]59-66] =0,6 ( 0, 5 0, 4) ( 0, 6 0, 4) Q = Me = = 62, 5 2 Primo quartile Classe di riferimento: ] ]. F ]49-59] =0,4 ( 0, 25 0, 2) Q = = 5, 5 0, 4 0, 2

) + ( 77 3) + ( 82, 5 6) = = 72, 25 20 Classe modale Classe con estremi [ 47-49 ], ossia quella con densità di frequenza più elevata. Mediana La classe mediana è ] 59-66 ].

9 Terzo quartile Classe di riferimento: ] ]. F ]66-73] =0,8 ( 0, 75 0, 6) Q3 = = 7, 25 0, 8 0, 6

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