Livello di misura Scala Nominale Scala Ordinale Scala di Rapporti. Scala Nominale

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1 Esercitazione Supponiamo che il collettivo che si vuole studiare sia composto da un gruppo di turisti. La seguente tabella raccoglie l osservazione di alcuni caratteri di interesse. Costo Soggetto Titolo di studio Soggiorno Professione Genere 0 media sup. studente maschio 0 media inf. studente femmina 3 85 laurea pensionato femmina 4 40 media sup. studente maschio 5 70 media sup. studente femmina 6 50 media sup. operaio maschio 7 4 media sup. studente femmina 8 00 media sup. libero professionista femmina 9 65 laurea operaio femmina 0 65 media sup. operaio femmina media inf. studente maschio 5 laurea manager femmina 3 40 laurea libero professionista maschio 4 0 laurea commerciante maschio 5 40 media sup. manager femmina 6 90 laurea pensionato femmina 7 60 media sup. insegnante maschio 8 5 laurea insegnante femmina 9 65 laurea agente di commercio maschio 0 40 media sup. operaio maschio 90 media sup. operaio maschio 68 laurea operaio femmina 3 85 media sup. pensionato maschio 4 90 media sup. studente maschio 5 0 laurea imprenditore maschio 6 00 laurea pensionato femmina 7 5 media sup. operaio maschio 8 80 media inf. pensionato maschio 9 80 laurea agente di commercio maschio media sup. operaio maschio a. Qual è l unità statistica di riferimento? Quante unità statistiche sono presenti in tabella? b. Descrivere la natura dei caratteri osservati sul collettivo considerato in tabella.

2 c. Costruire le distribuzioni di frequenza per i caratteri Genere e Professione. d. Costruire la distribuzione di frequenza per il carattere Costo del soggiorno suddividendo la distribuzione in 6 classi equiampie. e. Rappresentare graficamente la distribuzione in classi equiampie. f. Costruire la distribuzione di frequenza per il carattere Costo del soggiorno suddividendo la distribuzione in 5 classi equifrequenti. g. Rappresentare graficamente la distribuzione equifrequente. h. Calcolare gli indici di posizione maggiormente appropriati per i caratteri considerati in tabella. Soluzioni a)l unità statistica è rappresentata da ogni individuo, appartenente al collettivo oggetto di studio, sul quale sono state registrate le informazioni oggetto dell indagine. Sono presenti 30 unità statistiche. b) I caratteri sono l oggetto dell indagine, le caratteristiche che si intendono rilevare sul collettivo di individui. I caratteri possono essere qualitativi (sconnesso o ordinabile) o quantitativi (discreto o continuo). Carattere Genere Titolo di studio Costo soggiorno Professione Tipo Qualitativa sconnessa Qualitativa ordinabile Quantitativa continua Qualitativa sconnessa Livello di misura Scala Nominale Scala Ordinale Scala di Rapporti Scala Nominale MODALITÀ-INTENSITÀ {Maschio, Femmina} { Media inferiore, Media superiore, Laurea} [0; 40] {Agente di commercio, Commerciante, Imprenditore, Insegnante, Libero professionista, Manager, Operaio, Pensionato, Studente} c) La frequenza assoluta non è altro che il numero di volte che una determinata intensità o modalità si presenta nel collettivo statistico. In altre parole la frequenza associata alla i-esima intensità (modalità) è uguale al numero di unità statistiche che presentano quella intensità (modalità). La distribuzione di frequenza semplice associa alle modalità o intensità che può assumere un carattere X, le corrispondenti frequenze assolute. Per costruire una distribuzione di frequenza semplice partendo da una successione di osservazioni è sufficiente assegnare ad ogni intensità (o modalità, nel caso di variabili qualitative) la propria frequenza assoluta. Le frequenze relative f i, invece, sono date dal rapporto tra la frequenza

3 assoluta,, ed il totale delle osservazioni, N. Quindi la distribuzione di frequenze del carattere (variabile) Genere è: Genere f i Maschi 7 0,567 Femmine 3 0,433 Tot: 30 Quella associata alla variabile Professione è: f i agente di commercio 0,067 commerciante 0,033 imprenditore 0,033 insegnante 0,067 libero professionista 0,067 manager 0,067 operaio 8 0,67 pensionato 5 0,67 studente 7 0,3 Totale 30,000 d) Nella tabella sono riportati i valori della variabile Costo soggiorno. Al fine di pervenire a delle classi equiampie è necessario individuare il campo di variazione della variabile che si vuole suddividere in classi ed in seguito dividerlo per il numero di classi desiderate. In questo caso, l ampiezza delle classi è ottenuta come il rapporto tra il campo di variazione (il valore massimo della distribuzione il valore minimo) e il numero di classi: a = Range K = x max K x min dove K = numero di classi. Nel nostro caso: x max = 40 X min = 0 K = 6 a = 40 3

4 Una volta individuato quanto devono essere ampie le classi si può procedere alla costruzione della distribuzione per classi. Partendo dal valore minimo (X min ) si aggiunge l ampiezza di classe Dove: = frequenze assolute Costo soggiorno a i f i F i d i ,70 0,70 0, ,70 0,540 0, ,30 0,770 0, ,070 0,840 0, ,30 0,970 0, ,030 0,05 Tot: 30 fi = frequenze relative F i = frequenze cumulate relative d i = densità di frequenza, cioè il rapporto tra la frequenza della i-esima classe e la sua ampiezza: n i d i =. ai Si precisa che nel caso di classi equiampie l informazione ottenuta dalla densità di frequenza è la stessa che avremmo analizzando la distribuzione di frequenze semplice. e) Sulla base dei risultati ottenuti nella precedente tabella è possibile costruire l istogramma associato alla nostra distribuzione di frequenze. L istogramma presenta sulle ascisse gli estremi delle classi e sulle ordinate la densità di frequenza. Essendo le classi di ampiezza uguale le basi dei rettangoli associati alle diverse classi avranno tutte la stessa lunghezza. 0, 0,5 0, 0,

5 f) Nella tabella sono riportati i valori ordinati della variabile Costo soggiorno. Costo Osservazione Soggiorno Avendo a disposizione 30 unità e dovendo costruire 5 classi equifrequenti (cioè con la stessa frequenza), ogni classe dovrà avere una frequenza pari a 30 / 5 = 6. In altre parole ogni classe deve contenere 6 unità statistiche. La prima classe sarà quindi ottenuta prendendo i primi 6 valori della variabile in esame, la seconda i successivi 6 e così via. 5

6 Nel nostro caso: Costo soggiorno a i f i F i d i ,00 0,00 0, ,00 0,400 0, ,00 0,600 0, ,00 0,800 0, ,00 0,050 Tot: 30 g) Sulla base dei risultati ottenuti nella precedente tabella è possibile costruire l istogramma associato alla nostra distribuzione di frequenze. Essendo le classi di ampiezza diversa le basi dei rettangoli associati alle diverse classi avranno lunghezza diversa, in particolare maggiore è l ampiezza della classe più deve essere lunga la base del rettangolo associato a quella classe. 6

7 h) Iniziamo col calcolo della mediana (Me): Osservazione Posizione Costo Soggiorno (X) La mediana può essere calcolata per i caratteri ordinabili, e rappresenta la modalità associata all unità che divide il collettivo in due parti di uguale numerosità. Per calcolare la mediana è necessario procedere come segue:. ordinare le n unità in senso non decrescente rispetto alle modalità (intensità) del carattere;. individuare la posizione dell unità centrale: a. se n è dispari la posizione centrale è ( n + ) 7

8 b. se n è pari si hanno due unità centrali (come nel nostro caso) con posizione n/ e (n/)+; 3. osservare la modalità presentata dall unità centrale: a. se n è dispari la mediana è M e = X ( n+) / b. se n è pari abbiamo modalità corrispondenti alle due unità centrali, per cui sarà M e = ( X n + X n ) + Nel nostro caso Me = (70+80)/ = 75. Calcolo della media aritmetica: la media aritmetica x può essere calcolata solo su caratteri di tipo quantitativo. A seconda di come sono espressi i dati abbiamo: n - per unsieme di n valori osservati è: x = ( x + x xn ) = x l N N l= k k - per una distribuzione di frequenza semplice è: x = x i oppure x = x i fi N i= i= nel caso in cui abbiamo una distribuzione di frequenze relative; - per una distribuzione di frequenze suddivisa in k classi possiamo k approssimare la media aritmetica con la seguente espressione: x = c i ni N i= dove c i rappresenta il valore centrale della classe. 64 x Se abbiamo una distribuzione in classi si procede nel seguente modo: Nel nostro caso la media aritmetica è = ( ) = = 87, 3 quindi Costo soggiorno c i 0-5, , , , ,5 6 Tot: 30 (,5 6) + ( 45 6) + ( 75 6) + ( 05 6) + ( 8,5 6) k x = c i ni = = 84. N 30 i= Come è possibile notare, il raggruppamento in classi, anche se agevola il trattamento dei dati, comporta sempre una perdita d informazioni. Relativamente al carattere costo soggiorno, non ha senso calcolare la moda poiché non sintetizza in maniera adeguata tale distribuzione. 8