Lezione 2. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 2. A. Iodice. Distribuzioni unitarie

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1 Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 39

2 Outline () Statistica 2 / 39

3 La distribuzione unitaria semplice di un carattere su un collettivo considerato consiste nell elenco delle assunte dal carattere rispetto a ciascuna delle unità considerate. () Statistica 3 / 39

4 La distribuzione unitaria semplice di un carattere su un collettivo considerato consiste nell elenco delle assunte dal carattere rispetto a ciascuna delle unità considerate. () Statistica 4 / 39

5 La distribuzione unitaria multipla consiste nell elenco delle assunte da più caratteri rispetto a ciascuna delle unità considerate. () Statistica 5 / 39

6 di frequenze rappresentazione sintetica dei dati L informazione contenuta nella distribuzione unitaria di un carattere diventa difficilmente fruibile all aumentare del numero di unità statistiche considerate () Statistica 6 / 39

7 di frequenze rappresentazione sintetica dei dati L informazione contenuta nella distribuzione unitaria di un carattere diventa difficilmente fruibile all aumentare del numero di unità statistiche considerate...quindi distribuzione unitaria = sintesi = distribuzione () Statistica 6 / 39

8 di frequenze rappresentazione sintetica dei dati L informazione contenuta nella distribuzione unitaria di un carattere diventa difficilmente fruibile all aumentare del numero di unità statistiche considerate...quindi distribuzione unitaria = sintesi = distribuzione La frequenza La frequenza assoluta di una di un carattere corrisponde al numero di unità statistiche che presentano quella () Statistica 6 / 39

9 di frequenze di frequenze semplice La distribuzione di frequenze semplice associa alle di un carattere X le corrispondenti frequenze assolute. Il carattere X può essere quantitativo (variabile) o qualitativo (mutabile). () Statistica 7 / 39

10 di frequenze di frequenze semplice La distribuzione di frequenze semplice associa alle di un carattere X le corrispondenti frequenze assolute. Il carattere X può essere quantitativo (variabile) o qualitativo (mutabile). In simboli... Sia X un carattere con K osservanto su un collettivo di n individui. Le differenti sono A 1, A 2,..., A j,..., A K le frequenze assolute associate alle sono n 1, n 2,..., n j,..., n K () Statistica 7 / 39

11 di frequenze: rappresentazione Rappresentazione in tabelle: notazione generale ed esempi variabile X=n o stanze x j n j tot 80 Una distribuzione di frequenze di una variabile (quantitativa) si definisce anche seriazione. mutabile Y =tipo immobile y j n j negozio 15 abitazione 35 ufficio 25 box auto 5 tot 80 Una distribuzione di frequenze di una mutabile (qualitativa) si definisce anche serie. () Statistica 8 / 39

12 Suddivisione in classi Se il numero di che il carattere può assumere è molto elevato, la distribuzione diventa di difficile comprensione. se il carattere è qualitativo... si ricorre ad un accorpamento delle se il carattere è quantitativo... si procede alla suddivisione in classi: l insieme dei possibili valori viene suddiviso in intervalli tra loro disgiunti. () Statistica 9 / 39

13 Criteri per la definizione delle classi Indipendentemente dalla natura del carattere (qualitativa/quantitativa), la definizione di classi di deve rispondere ai seguenti criteri: il numero di classi deve essere abbastanza piccolo da fornire un adeguata sintesi ma abbastanza grande da mantenere un livello accettabile di dettaglio dell informazione le classi devono essere disgiunte le classi comprendere tutte le possibili del carattere (le classi devono avere la stessa ampiezza) () Statistica 10 / 39

14 Suddivisione in classi per caratteri quantitativi Dato un carattere quantitativo è possibile determinare classi equiampie o equifrequenti (quindi anche di diversa ampiezza) classi equiampie X max e X min valori più alto e più basso del carattere X l ampiezza delle classi il numero di classi K La relazione cui si fa riferimento è ampiezza = (Xmax X min) K classi equifrequenti Gli elementi necessari al calcolo delle classi equifrequenti sono ordinamento crescente dei valori della del carattere frequenza associata a ciascuna classe () Statistica 11 / 39

15 Suddivisione in classi per caratteri quantitativi: un esempio Si consideri di aver rilevato la media dei voti ad un gruppo di studenti universitari e di voler determinare classi equiampie di ampiezza = 4 classi equiampie avendo assegnato il numero di classi k = 4 classi equifrequenti avendo assegnato la frequenza freq = 5 () Statistica 12 / 39

16 Suddivisione in classi per caratteri quantitativi: un esempio Dalla distribuzione unitaria alla distribuzione in classi (equiampie/equifrequenti) ampiezza assegnata K assegnato l ampiezza è w = = 2.6 () Statistica 13 / 39

17 Suddivisione in classi per caratteri quantitativi: un esempio Dalla distribuzione unitaria alla distribuzione in classi (equiampie/equifrequenti) () Statistica 14 / 39

21 di frequenze Considerando la distribuzione assoluta del carattere X a K, con n j frequenza assoluta della j-esima (A j ): () Statistica 15 / 39

22 di frequenze Considerando la distribuzione assoluta del carattere X a K, con n j frequenza assoluta della j-esima (A j ): relative La frequenza relativa della j-esima è data dal rapporto f j = n j n dove n è il totale delle unità statistiche osservate. () Statistica 15 / 39

23 di frequenze Considerando la distribuzione assoluta del carattere X a K, con n j frequenza assoluta della j-esima (A j ): relative La frequenza relativa della j-esima è data dal rapporto f j = n j n dove n è il totale delle unità statistiche osservate. relative La frequenza percentuale della j-esima è data dal rapporto p j = f j 100 () Statistica 15 / 39

24 : rappresentazione Rappresentazione in tabelle: notazione generale ed esempi () Statistica 16 / 39

27 frequenza cumulata la frequenza assoluta cumulata corrispondente ad una data di un carattere, indica il numero di unità della popolazione considerata che presentano un valore del carattere minore o uguale a quella. Analogamente, le frequenze fanno riferimento a frazioni del collettivo considerato. () Statistica 17 / 39

28 frequenza cumulata la frequenza assoluta cumulata corrispondente ad una data di un carattere, indica il numero di unità della popolazione considerata che presentano un valore del carattere minore o uguale a quella. Analogamente, le frequenze fanno riferimento a frazioni del collettivo considerato. frequenze assolute La frequenza assoluta cumulata N j della j-esima è data da: N j = n 1 + n n j () Statistica 17 / 39

29 frequenze relative La frequenza relativa cumulata F j della j-esima è data da: F j = f 1 + f f j () Statistica 18 / 39

30 frequenze relative La frequenza relativa cumulata F j della j-esima è data da: F j = f 1 + f f j frequenze La frequenza percentuale cumulata P j della j-esima è data da: P j = p 1 + p p j () Statistica 18 / 39

31 : tabelle () Statistica 19 / 39

32 : tabelle X: età in anni compiuti x j n j N j f j F j () Statistica 20 / 39

33 frequenza retrocumulata la frequenza assoluta retrocumulata corrispondente ad una data di un carattere, indica il numero di unità della popolazione considerata che presentano un valore del carattere maggiore o uguale a quella. Analogamente, le frequenze fanno riferimento a frazioni del collettivo considerato. () Statistica 21 / 39

34 frequenza retrocumulata la frequenza assoluta retrocumulata corrispondente ad una data di un carattere, indica il numero di unità della popolazione considerata che presentano un valore del carattere maggiore o uguale a quella. Analogamente, le frequenze fanno riferimento a frazioni del collettivo considerato. frequenze assolute La frequenza assoluta retrocumulata RN j della j-esima delle K del carattere è data da: RN j = n j + n j n K () Statistica 21 / 39

35 frequenze relative La frequenza relativa retrocumulata RF j della j-esima delle K del carattere è data da: RF j = f j + f j f K () Statistica 22 / 39

36 frequenze relative La frequenza relativa retrocumulata RF j della j-esima delle K del carattere è data da: RF j = f j + f j f K frequenze La frequenza percentuale retrocumulata RP j della j-esima delle K del carattere è data da: RP j = p j + p j p K () Statistica 22 / 39

37 : tabelle X: età in anni compiuti x j n j RN j f j RF j () Statistica 23 / 39

38 vs. E possibile ottenere le frequenze a partire dalle, e viceversa: RN j = n j +n j n K = N (n n j 1 ) = N N j 1 La stessa relazione riguarda ovviamente anche le distribuzioni percentuale. RF j = 1 F j 1 RP j = 100 P j 1 () Statistica 24 / 39

39 Criteri di rappresentazione grafica Gli aspetti di cui tenere conto per una efficace rappresentazione grafica sono: accuratezza semplicità chiarezza aspetto struttura () Statistica 25 / 39

40 diagramma a barre Uno strumento di rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenze è il diagramma a barre. ciascuna barra è associata ad una del carattere considerato tutte le barre hanno la stessa larghezza l altezza delle barre è proporzionale alle frequenze delle () Statistica 26 / 39

41 diagramma a barre: esempi () Statistica 27 / 39

42 diagramma a barre: esempi () Statistica 27 / 39

43 diagramma a torta Il diagramma a torta sono utili per rappresentare la composizione di un aggregato. ciascuna fetta di torta (tecnicamente settore circolare) è associata ad una del carattere l ampiezza di ciascuna fetta è proporzionale alla frequenza della. L angolo al centro g i associato all i-esima con percentuale p i è dato da: p i : 100 = g i : 360 da cui g i = p i () Statistica 28 / 39

44 diagramma a torta: esempi () Statistica 29 / 39

45 diagramma a torta: esempi () Statistica 29 / 39

46 diagramma di Pareto Il diagramma di Pareto presenta le stesse caratteristiche del diagramma a barre con l unica differenza nell ordine delle barre: le sono ordinate in senso decrescente rispetto alle frequenze () Statistica 30 / 39

47 diagramma di Pareto: esempi () Statistica 31 / 39

48 diagramma ad aste Tale tipo di diagramma viene utilizzato in genere per la rappresentazione di variabili discrete. in ascissa vengono riportate le in ordinata vengono riportate le frequenze assolute, relative o a ciascuna è quindi associato un punto sul piano cartesiano (ascissa/ordinata) per evidenziare le frequenze si tracciano le perpendicolari dai punti individuati alle ascisse () Statistica 32 / 39

49 diagramma ad aste: esempi () Statistica 33 / 39

50 Rappresentazione delle distribuzioni di caratteri quantitativi L istogramma è un grafico costituito da barre non distanziate, con basi non necessariamente uguali; l area di ogni barra è proporzionale alla frequenza della cui si riferisce 1 se il carattere è quantitativo, discreto o continuo, la distribuzione può essere ottenuta a partire da classi di stessa ampiezza o ampiezze diverse; nel primo caso si avrà un istogramma a basi regolari () Statistica 34 / 39

51 nel caso di classi di ampiezza diversa L area di ciascun rettangolo deve essere proporzionale alla frequenza, l altezza deve pertanto essere proporzionale al rapporto tra la frequenza da rappresentare e l ampiezza della classe. Essendo infatti n j = ampiezza classe j altezza con n j frequenza assoluta della j-ma classe; risulta pertanto altezza = n j ampiezza classe j () Statistica 35 / 39

52 la densità L altezza dei rettangoli rappresentati rappresenta la densità (h), frequenza che compete alla classe unitaria. La rappresentazione in tabella dei valori di frequenze, ampiezza delle classi e densità associate alle considerate. () Statistica 36 / 39

53 : esempi () Statistica 37 / 39

54 : altri esempi () Statistica 38 / 39

55 : altri esempi () Statistica 39 / 39