Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini

Transcript

1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2016/2017

2 Quartili e distribuzioni di frequenze Stanze Appartamenti Frequenze cumulate ,000 2, ,000 5, , , ,350 Per calcolare : A. Rango: Q1 Q1 ( ) 0,25 = 1587,75 B. Pertanto si colloca fra x ( 1587) e x ( 1588) x ( 1587) = x ( 1588) = 3 = Q Stanze Per calcolare : A. Rango: Q3 ( ) 0,75 = 4763,25 Q3 B. Pertanto si colloca fra x ( 4763) e x ( 4764) x ( 4763) = x ( 4764) = 4 = Q3

3 Quartili e distribuzioni di frequenze Per calcolare : A. Rango: Q1 ( 28 +1) 0,25 = 7,25 Modalità Frequenza Frequenza cumulata M = 5 Q1 B. Pertanto si colloca fra x ( 7) e x ( 8) x ( 7) = x ( 8) = 4 = Q1 Per calcolare : A. Rango: Q3 Q3 B. Pertanto si colloca fra e x 21 ( ) x ( 22) ( 28 +1) 0,75 = 21,75 x ( 21) = 6, x ( 22) = 7 Q3 = 6 + ( 7 6) 0, = 6,575

4 Quartili e distribuzioni di frequenze Q1 Per calcolare : Modalità Frequenza Frequenza cumulata M = 3 A. Rango: Q1 B. Pertanto si colloca fra e x 7 ( 28 +1) 0,25 = 7,25 ( ) = 1 x ( 8) = 2 Q1 = 1+ ( 2 1) Per calcolare : A. Rango: Q3 ( 28 +1) 0,75 = 21,75 Q3 B. Pertanto si colloca fra x ( 21) e x ( 22) x ( 21) = x ( 22) = 4 = Q3 0,25 =1,25

5 Box-plot & simmetria Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) 7 Per il box-plot rosso A = ( 7 5) 5 1 asimmetria negativa ( ) = Per il box-plot blu A = ( 7 3) 3 1 asimmetria positiva ( ) = Da 1 a 7 Da 7 a 1

6 Percentili Dopo una visita di controllo ad un bambino, il medico farà uso di un grafico come questo: Quindi,dopo aver constatato che il soggetto in questione è al 95-esimo percentile, si preoccuperà un po. Cosa significa percentile? Il percentile x è quel valore (non necessariamente appartenente al campione) che lascia a sinistra l x% dei dati. E allora dire che un bambino ha un peso al 95-esimo percentile vuol dire che il 95% della popolazione maschile di quell età ha un peso inferiore.

7 Percentili Riprendiamo l esempio della scuola 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. p = 90 : ( 30 +1) 0,90 = 27,9 Il 90-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 27 & 28, ossia fra 26,1 & 27,1: 26,1+ ( 27,1 26,1) 0,9 = 27 Conclusione: il 90% degli intervistati dedica allo studio non più di 27 ore. E se volessimo l informazione inversa

8 Percentili 1 0, Qual è la percentuale di studenti che non studia più di 27 ore? Numero studenti che studiano non più di 27 ore = 27. Taglia = 30 Calcolo la percentuale: p = = 0,90

9 Percentili In sintesi: 27 è il 90 percentile del campione casuale perchè la percentuale di studenti del campione che studia 27 ore o meno è il 90%.

10 Mediana per classi di modalità Se non si conoscono i valori del campione ma solamente un riassunto in forma tabellare delle classi di frequenza... [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Estremi classi Frequenze cumulate = = } In 18 la frequenza cumulata è 14 < 30 2 = 15, mentre in 22 la frequenza cumulata è 23 > 30 2 = , 0 Pertanto la classe [18;22) contiene la mediana ? 22

11 Mediana per classi di modalità Se non si conoscono i valori del campione ma solamente un riassunto in forma tabellare delle classi di frequenza... Estremi classi Frequenze relative cumulate [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] } Fra gli estremi 18 e 22 si passa da un valore inferiore a 0,50 ad uno superiore a 0,50. Risolvere: 34 1 Siccome non so come aumenta la frequenza all'interno della classe [18,22), assumo che l'incremento sia lineare (cioè quello della retta congiungente i punti P e Q) P Q Mediana y = 0,50

12 Mediana per classi di modalità Se non si conoscono i valori del campione ma solamente un riassunto in forma tabellare delle classi di frequenza... Estremi classi Frequenze relative cumulate x = 18 + } 0,50 0,47 0,77 0,47 La mediana varrà x [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Traccio una linea orizzontale in corrispondenza della frequenza 0,50 ed individuo l'intersezione. Risolviamo: y 0,47 0,77 0,47 = x y = 0,50 ( 22 18) = 18, P Q Mediana y = 0,

13 Quartili per classi di modalità Per calcolare i quartili Q1 e Q3 è possibile considerare di nuovo la tabella delle frequenze cumulate relative. Estremi classi Frequenze relative cumulate } Per Q1: la frequenza cumulata relativa passa da un valore inferiore a 0,25 (ossia 0,17 in 14) ad un valore superiore a 0,25 (ossia 0,47 in 18). A. la classe di riferimento per Q1 = ,25 0,17 0,47 0,17 Q1 è [14;18) ( 18 14) = 15,08.

14 Quartili per classi di modalità Per calcolare i quartili Q1 e Q3 è possibile considerare di nuovo la tabella delle frequenze cumulate relative. Estremi classi Frequenze relative cumulate } PerQ3: la frequenza cumulata relativa passa da un valore inferiore a 0,87 (ossia 0,47 in 18) ad un valore superiore a 0,75 (ossia 0,77 in 22). A. la classe di riferimento per Q3 = ,75 0,47 0,77 0,47 Q3 è [18;22) ( 22 18) = 21,72.

15 Box-plot di distribuzioni in classi Per costruire il box-plot della distribuzione in classi riportiamo come al solito i quartili per costruire la scatola ed all'interno disegnamo la linea della mediana. I baffi li disegniamo in relazione al minimo della prima classe ed al massimo dell'ultima classe. Box-plot dataset esatto Box-plot dataset per classi di modalità

16 Indici di dispersione Si dicono indici di dispersione (o indici di variabilità) quei parametri che misurano la variabilità del campione casuale. Fra di essi riconosciamo: 1. Campo di variazione: 2. Intervallo interquartile: CVar = max min IQR = Q3 Q1

17 Indici di dispersione Si dicono indici di dispersione (o indici di variabilità) quei parametri che misurano la variabilità del campione casuale. Fra di essi riconosciamo: 1. Campo di variazione: 2. Intervallo interquartile: CVar = max min IQR = Q3 Q1 Chiamiamo varianza (campionaria) il valore s 2 calcolato attraverso la formula s 2 = 1 n 1 ( x 1 X ( m) 2 +!+ ( x n ) 2 = 1 X X (x i ) X 2 ) 2 + x 2 n 1 n i=1 dove X è la media aritmetica del campione casuale. Un ulteriore indice di dispersione che introduciamo è

18 Indici di dispersione Si dicono indici di dispersione (o indici di variabilità) quei parametri che misurano la variabilità del campione casuale. Fra di essi riconosciamo: 1. Campo di variazione: 2. Intervallo interquartile: CVar = max min IQR = Q3 Q1 Chiamiamo varianza (campionaria) il valore s 2 calcolato attraverso la formula s 2 = 1 n 1 ( x 1 X ( m) 2 +!+ ( x n ) 2 = 1 X X (x i ) X 2 ) 2 + x 2 n 1 n i=1 dove X è la media aritmetica del campione casuale. Un ulteriore indice di dispersione che introduciamo è 3. Deviazione standard (campionaria): s = s 2 va s

19 Indici di dispersione Esempio 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. La media campionaria è X =19,01 10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4 La varianza vale s 2 = ,3 19,01 ( ) 2 + 2( 12,9 19,01) 2 + ( 13,5 19,01) 2 +!+ ( 33,8 19,01) 2 = 28,7

20 Indici di dispersione Esempio 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. La media campionaria è X =19,01 10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4 La varianza vale s 2 = ,3 19,01 ( ) 2 + 2( 12,9 19,01) 2 + ( 13,5 19,01) 2 +!+ ( 33,8 19,01) 2 = 28,7 La deviazione standard è la radice quadrata della varianza s = 28,7 = 5,36.

21 Indici di dispersione Esempio 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. La media campionaria è X =19,01 10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4 La varianza vale s 2 = ,3 19,01 ( ) 2 + 2( 12,9 19,01) 2 + ( 13,5 19,01) 2 +!+ ( 33,8 19,01) 2 = 28,7 La deviazione standard è la radice quadrata della varianza s = 28,7 = 5,36 La deviazione standard fornisce una misura della concentrazione dei dati intorno alla media..

22 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 CVar = 14 s = 5,07 CVar = 99. s = 43,62

23 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 CVar = 14 s = 5,07 CVar = 99 s = 43,62 Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali. Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati. Un insieme di dati ha una sola deviazione standard. Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio: È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia..

24 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali. Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati. Un insieme di dati ha una sola deviazione standard. Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio: CVar = 14 s = 5,07 CVar = 99 s = 43,62 È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia..

25 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali. Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati. Un insieme di dati ha una sola deviazione standard. Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio: CVar = 14 s = 5,07 CVar = 99 s = 43,62 È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia..

26 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 CVar = 14 s = 5,07 Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali. Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati. CVar = 99 s = 43,62 Un insieme di dati ha una sola deviazione standard. Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio: { 2,2,2},.X µ = 2, s = 0]. È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia..

27 Indici di dispersione La deviazione standard non è una statistica robusta { 1,2,3,4,5 } { 1,2, 3, 4,15} { 1,2, 3, 4,100} CVar = 4 IQR = 43,. 2 IQR = 82. IQR = 5,0,5 2. s = 1,58 CVar = 14 s = 5,07 CVar = 99. s = 43,62 { 2, 3, 4,5,101} CVar = 99 IQR = 5,0,5 2.. s = 43,62 Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali. Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati. Un insieme di dati ha una sola deviazione standard. Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio: { 2,2,2},.X µ = 2, s = 0]. È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia.

28 Concentrazione dei valori Assumendo in un campione casuale di taglia n la media aritmetica X come indice centrale, considerando la deviazione standard come indice di dispersione dei dati, ci si pone la questione di stabilire a priori una stima della percentuale di dati che si "concentrano" in prossimità di X.

29 Concentrazione dei valori Assumendo in un campione casuale di taglia n la media aritmetica X come indice centrale, considerando la deviazione standard come indice di dispersione dei dati, ci si pone la questione di stabilire a priori una stima della percentuale di dati che si "concentrano" in prossimità di X. Più precisamente: che percentuale di dati si trova nell'intervallo [ X - s, X+ s]? Che percentuale nell'intervallo [ X - 2s, X + 2s]? E nell'intervallo? [ X - 3s, X + 3s]

30 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica:

31 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica: approssimativamente il 68% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari ad 1 volta la deviazione standard; Approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard. Approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

32 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica: approssimativamente il 68% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari ad 1 volta la deviazione standard; approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard; Approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

33 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica: approssimativamente il 68% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari ad 1 volta la deviazione standard; approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard; approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

34 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando siamo in presenza di una generica distribuzione (anche asimmetrica), interviene la cosiddetta regola di Čebyšëv:

35 La regola empirica vs la regola di Čebyšëv Quando siamo in presenza di una generica distribuzione (anche asimmetrica), interviene la cosiddetta regola di Čebyšëv: "Detto k un numero intero maggiore o uguale a 2, la percentuale di valori che non si discosta dalla media (a destra o sinistra) più di k volte la deviazione standard è pari ALMENO a ( 1 1 ) k 2 X 100 % ".

36 La regola empirica Consideriamo l'istogramma delle densità relativo alle ore di studio della I scuola X - 2s X - s + 2s [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30,34] 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Secondo la regola empirica, circa il 68% dei dati appartiene a [. µ s;. µ + s] = [ 13,65; 24,7] 22 X X 37]. Nel nostro caso 2 30 = 0, % Secondo la regola empirica, circa il 95% dei dati appartiene a [ X. µ 2s;. µ + 2s] = [ 8,29; 29,72] 28 X. Nel nostro caso 2 30 = 0, % X + s X

37 La regola di Čebyšëv Consideriamo l'istogramma delle densità relativo alle ore di studio della I scuola 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Secondo la regola di Čebyšëv, non meno del 75% dei dati appartiene a [ X. µ 2s;. µ + 2s] X = 8,29; 29,72 [ ]. Infatti k =2 1 1 k 2 28 Nel nostro caso 2 30 = 0, % ( ) X 100 % =75%

38 Concentrazione: uso dei percentili [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30,34] 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.. X µ = 19,01, s = 5, [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30] 25,8; 23,2; 10,1; 24,2; 21,0; 22,3; 15,1; 22,4; 28,3; 25,7; 19,8; 21,4; 17,7; 19,3; 18,2; 21,5; 23,3; 24,3; 20,9; 27,0; 22,3; 20,9; 21,1; 25,1; 23,9; 21,1.. Xµ = 21,77, s = 3,78 La deviazione standard del secondo dataset è inferiore a quella del primo. Per avere una misura del grado di dispersione si può confrontare la deviazione standard con la metà della lunghezza dell intervallo che contiene il 70% dei dati.

39 Concentrazione: uso dei percentili 15% 70% 15% 15-esimo percentile 85-esimo percentile 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. p = 0,15 : ( 30 +1) 0,15 = 4,65 Il 15-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 4 e 5, ossia fra 13,5 e 13,7: 13,5 + 0,65 ( 13,7 13,5 ) = 13,63 p = 0,85 : ( 30 +1) 0,85 = 26,35 L 85-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 26 e 27, ossia fra 23,7 e 26,1: 23,7 + 0,35 ( 26,1 23,7 ) = 24,54 24,54 13,63 2 = 5,46 > 5,36

40 Concentrazione: uso dei percentili 15% 70% 15% 15-esimo percentile 85-esimo percentile 10,1; 15,1; 17,7; 18,2; 19,3; 19;8; 20,9; 20,9; 21,0; 21,1; 21,1; 21,4; 21,5; 22,3; 22,3; 22,4; 23,2; 23,3; 23,9; 24,2; 24,3; 25,1; 25,7; 25,8; 27,0; 28,3. p = 0,15 : ( 26 +1) 0,15 = 4,05 Il 15-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 4 e 5, ossia fra 18,2 e 19,3: 18,2 + 0,05 ( 19,3 18,2) = 18,26 p = 0,85 : ( 26 +1) 0,85 = 22,95 l 85-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 22 e 23, ossia fra 25,1 e 25,7: 25,1+ 0,95 ( 25,7 25,1) = 25,67 25,67 18,26 2 = 3,71 < 3,78

41 La deviazione standard per classi Supponiamo che i dati relativi al numero di ore siano stati forniti in tabella secondo le classi di modalità già usate per l istogramma. Per il calcolo della varianza, e quindi della deviazione standard, si usa lo stesso procedimento visto per la media, ossia: Classi [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Centri Frequenze assolute s 2 = = 1 29 ( centri delle classi media) 2 frequenze assolute taglia 1 s = 5,32 ( 12 19,1) 2 5 +!+ ( 32 19,1) 2 1 = 28,34

42 La deviazione standard Un caso particolare: stessa media. X s = 1 µ = 0 e stessa deviazione standard

43 Variabilità nei caratteri qualitativi Per caratteri qualitativi, la variabilità è più opportunamente stimata attraverso un indice di eterogeneità. ( ) Indice di eterogeneità (di Gini): E = 1 f 1 2 +!+ f k 2 Minimo quando vi è una sola modalità con frequenza relativa 1 E = 0 E' il caso di massima omogeneità nella distribuzione di frequenze. Massimo quando tutte le k modalità sono equifrequenti: 1 k E = 1 1 k +!+ 1 2 k 2 = 1 k k = k 1 2 k E' il caso di massima eterogeneità nella distribuzione di frequenze.

44 Variabilità nei caratteri qualitativi Colore dei capelli N di persone Frequenze relative Neri 10 0,35 Castano chiaro 3 0,11 Castano scuro 6 0,21 Rossi 1 0,04 Biondi 5 0,18 Bianchi 3 0,11 Totale 28 1 ( 0,35 0,11 0,11 ) = 0,78 0,67 E = 1 0, , !+ 0,047 2 Poiché k 1 k 5 = = 0,86, 0,83 concludiamo che la tabella è piuttosto eterogenea!

45 Il coefficiente di variazione Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo Esempio: l altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180. Si ha µ. = 176,2 ed s = 3,033 X X In metri la media sarebbe µ. = 1, 762 mentre la deviazione standard sarebbe s = 0,03!.

46 Il coefficiente di variazione Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo Esempio: l altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180. Si ha µ. = 176,2 ed s = 3,033 X X In metri la media sarebbe µ. = 1, 762 mentre la deviazione standard sarebbe s = 0,03! Possiamo concludere che nel secondo caso la variabilità sia inferiore?.

47 Il coefficiente di variazione Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo Esempio: l altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180. Si ha µ. = 176,2 ed s = 3,033 X X In metri la media sarebbe µ. = 1, 762 mentre la deviazione standard sarebbe s = 0,03! Possiamo concludere che nel secondo caso la variabilità sia inferiore? Certamente NO!.

48 Il coefficiente di variazione Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni statistiche a media non nulla..

49 Il coefficiente di variazione Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni statistiche a media non nulla. In simboli. CV = s. X.

50 Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni statistiche a media non nulla. In simboli Il coefficiente di variazione. CV = s. X. Nell esempio appena visto il coefficiente di variazione è CV = 0,0172.

51 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53..

52 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53. Risulta che: la media è 50,4 cm; la deviazione standard è 2,70 cm..

53 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53. Risulta che: la media è 50,4 cm; la deviazione standard è 2,70 cm..

54 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53. Risulta che: la media è 50,4 cm; la deviazione standard è 2,70 cm..

55 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53. Risulta che: la media è 50,4 cm; la deviazione standard è 2,70 cm. E pertanto... il coefficiante di variazione è.

56 Il coefficiente di variazione Esempio: l altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53. Risulta che: la media è 50,4 cm; la deviazione standard è 2,70 cm. E pertanto... il coefficiante di variazione è. CV = 0,053..

57 Il coefficiente di variazione Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile. Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI Piemonte Toscana Puglia Lombardia Umbria Basilicata Veneto Marche Calabria Liguria Lazio Sardegna Friuli V. G Abruzzo Sicilia Trentino A. A. Distribuzione delle percentuali di voto nel Molise Emilia R Campania La percentuale media è del 33,9% per la DC mentre per il PLI è del 2,3%. Le differenze fra una regione e l altra sono maggiori, in punti percentuali, nella DC. Infatti tra la Basilicata e l Emilia Romagna vi è una differenza di 23,2 punti percentuali mentre per il PLI la differenza massima è solo di 5,8 punti percentuali. La deviazione standard della percentuale di voti e 8,23 per la DC mentre è 1,41 per il PLI. CV DC = 8,23 33,9 = 0,24, CV PLI = 1,41 2,3 = 0,61 Se si confrontano i coefficienti di variazione il risultato si rovescia. La distribuzione di voto della DC presenta una variabilità minore rispetto a quella del PLI.

58 Precisione della media campionaria Il coefficiente di variazione consente di valutare anche la correttezza della media campionaria. Infatti la media campionaria si ritiene un indice corretto se il coefficiente di variazione assume valori inferiori a 0,5. Esempio: CV DC = 8,23 33,9 = 0,24, CV PLI = 1,41 2,3 = 0,61 La media è un indice corretto per la percentuale della DC ma non per quella del PLI. Si definisce precisione della media campionaria SEM il rapporto fra la deviazione campionaria e la radice quadrata della taglia. SEM = s n 1,5 per la DC = 0,27 per il PLI Al crescere della taglia il parametro SEM diminuisce e quindi la media campionaria fornisce una valutazione più precisa.