Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini

Transcript

1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2016/2017

2 Rapporti Statistici I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze, di cui almeno una di natura statistica, legate da una relazione logica. Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati. Fra i rapporti statistici riconosciamo: Rapporti di composizione Rapporti di coesistenza Rapporti di derivazione Rapporti di densità Rapporti indici

3 Rapporto di composizione

4 Rapporto di composizione Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.

5 Rapporto di composizione Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali. In una distribuzione di frequenze servono per confrontare l incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. In questa situazione essi non sono altro che le frequenze relative.

6 Rapporto di composizione una parte totale = 16,67% ( Volkswagen) Totale x = una parte totale 100 una parte : totale = x :100 Al posto del totale si può utilizzare un altra quantità che viene detta base.

7 Rapporto di coesistenza

8 Rapporto di coesistenza Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.

9 Rapporto di coesistenza Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti. In una distribuzione di frequenze esso consiste in un rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza corrispondente ad una modalità e la frequenza corrispondente ad un altra modalità.

10 Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.

11 Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine

12 Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine = 45,96 Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità

13 Rapporto di coesistenza Il rapporto di coesistenza é il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità. a e b x = b a 100 È quel valore di x tale che b :a = x :100 Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100. Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente: Maschi Femmine = 45, = 217,54 Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità Ogni 100 femmine ci sono 217,54 maschi. Rapporto di mascolinità

14 Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?

15 Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi

16 Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. In sostanza le quantità da confrontare sono i rapporti di coesistenza che altro non sono che...

17 Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità? media Indesit = 3 media De Longhi deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media. In sostanza la quantità da confrontare é il rapporto di coesistenza deviazione standard che altro non é che... media

18 Rapporto di coesistenza Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azonari Indesit & De Longhi nell arco del 2006 sono state: Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16 De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?...il già noto coefficiente di variazione percentualizzato coefficiente di variazione Indesit 100= 1,16 9,89 = 11,73 coefficiente di variazione De Longhi 100= 0,57 3,03 = 18,81

19 Rapporto di derivazione

20 Rapporto di derivazione Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l antecedente o il presupposto.

21 Rapporto di derivazione Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare correttamente un confronto fra le frequenze con le quali occorrono diverse modalità di un carattere che, sul piano logico o temporale, segue da un altro che ne costituisce l antecedente o il presupposto. In una distribuzione di frequenze, esso é dato dal rapporto fra la frequenza della modalità di un carattere e la frequenza di una corrispondente modalità di un altro carattere che si ritiene esserne la causa o il presupposto.

22 Rapporto di derivazione Il rapporto di derivazione é il rapporto fra due quantità b e dove rappresenta una manifestazione di una variabile A e b rappresenta una manifestazione di una variabile B generata da A. B A Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a Abruzzo 7,252 1,131, Basilicata 1, , Calabria 6,570 1,565, Campania 21,587 4,350, Emilia Romagna 38,497 3,724, Friuli-Venezia Giulia 8,207 1,010, Lazio 53,240 4,859, Liguria 17,048 1,328, Lombardia 74,672 7,693, Marche 12,373 1,350, Molise , Piemonte 25,341 3,710, Puglia 24,377 2,862, Sardegna 8,628 1,303, Sicilia 26,528 4,257, Toscana 34,380 3,289, Trantino-Alto Adige 5,097 1,050, Umbria 5, , Valle D Aosta , Veneto 29,396 3,903, a a

23 Rapporto di derivazione L esempio del numero di incidenti con le auto per regione si riferisce a rapporti di derivazione.. B A Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a Abruzzo 7,252 1,131, Basilicata 1, , Calabria 6,570 1,565, Emilia Romagna 21,587 4,350, La quinta colonna della tabella ci indica, regione per regione, quanti incidenti si verificano per ogni macchine immatricolate nella regione stessa: ci sono 9 incidenti in Abruzzo, 4 in Basilicata e così via. In questo caso abbiamo usato la formula b a 1000 su 1.000, ma se necessario si può utilizzare un valore più elevato. per esprimere il rapporto su

24 Rapporto di derivazione Età Decessi Popolazione Femmin Maschi Femmine Maschi <1 e , , ,887,954 3,684, ,395,451 5,239, , ,622,520 6,610, ,073 2,416 5,365,813 5,548, ,825 6,566 3,084,258 3,460, ,498 26,089 2,142,455 2,947, ,153 55, ,313 1,363, & oltre 13,852 38, , ,552 Totale 105, ,917 27,586,982 29,408,762 La tabella riporta i morti per malattie dell apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001). In generale, le donne hanno una mortalità inferiore per queste cause = 382, = 441,8 Si tratta di rapporti di derivazione, visto che il numero di decessi dipende anche dalla numerosità della popolazione dei singoli generi. Il numero di decessi preso da solo non è un dato di per sé confrontabile.

25 Rapporto di densità

26 Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse.

27 Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse. Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda.

28 Rapporto di densità I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse. Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda. Come già osservato, un corretto confronto è possibile ricorrendo alla distribuzione delle densità di frequenze relative che si ottengono dividendo le frequenze relative delle classi per l'ampiezza della classe.

29 Rapporto di densità In generale il rapporto di densità si definisce come il rapporto dove a numeratore appare la grandezza oggetto di osservazione ed a denominatore la dimensione del campo in cui essa è stata osservata (può essere un intervallo temporale, un'area geografica...)

30 Rapporto di densità Regione Popolazione residenti Superficie Km 2 Densità abitanti/km 2 Sicilia 5,094,937 25, Piemonte 4,436,798 25, Sardegna 1,663,859 24, Lombardia 9,973,397 23, Toscana 3,750,511 22, Emilia Romagna 4,446,354 22, Puglia 4,090,266 19, Veneto 4,926,818 18, Lazio 5,870,451 17, Calabria 1,980,533 15, Campania 5,869,965 13, Trentino-Alto Adige 1,051,951 13, Abruzzo 1,333,939 10, Basilicata 578,391 10, Marche 1,553,138 9, Umbria 896,742 8, Friuli-Venezia Giulia 1,229, Liguria 1,591,939 5, Molise 314,725 4, Val D Aosta 128,591 3,

31 Indici semplici

32 Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento.

33 Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento. IN SOSTANZA

34 Indici semplici Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice. L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la quale viene presa come base di riferimento. IN SOSTANZA pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi diversi.

35 Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.

36 Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.

37 Indici semplici Esempio Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di 4,30. Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di 6,70. paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio = 6,7 4,3 100 = 155,81 Il rapporto 155,81 rappresenta l indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del Ma di quanto è variata?

38 Indici semplici paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 Variazione percentuale = 6,7 4,3 paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987 paga oraria gennaio = 55, = 55,81

39 Indici semplici paga oraria gennaio 2003 paga oraria gennaio 1987 Variazione percentuale = 6,7 4,3 paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987 paga oraria gennaio = 55, = 55,81 C è stato un aumento del 55,81% nella paga oraria di un operaio nel periodo da gennaio 1987 a gennaio 2003.

40 Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia

41 Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia a h a b = a h 1 a b 100 = a h a b a b 100

42 Indici semplici Variazione percentuale In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia a h a b = a h 1 a b 100 = a h a b a b 100 Se a h rappresenta la misura della grandezza al tempo h ed a b rappresenta la misura della stessa grandezza al tempo iniziale b allora a h a b a b 100 rappresenta la variazione percentuale della grandezza dal tempo b al tempo h.

43 Indici semplici a base fissa Assegnate le grandezze a 1,a 2,,a k si dicono numeri indice a base fissa a b i seguenti rapporti: I = a. i 100, i, i 1. a i 1 a b. a b. a i = 1 2,,k

44 Indici semplici a base fissa Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al Gli indici riportati in ultima colonna rappresentano i rapporti percentualizzati fra la p r o d u z i o n e d e l l ' a n n o considerato e quella del 1976 (base fissa). Anni Acciaio Grandezza Indici ,447 a ,334 a ,383 a ,250 a ,501 a ,777 a I 1978, Utilizziamo la notazione anno,1976 per indicare l'indice di un anno in rapporto alla base fissa. data dalla produzione del Per esempio I 1978,1976 =103,6 rappresenta l'indice del 1978 in rapporto 1 al 1976.

45 Indici semplici a base fissa Esempio Se si vuole conoscere le variazioni dell indice sempre in rapporto alla base fissa considerata, a ciascun indice bisogna sottrarre 100. Nell'ultima colonna sono riportate le variazioni di produzione in rapporto alla produzione del 1976 (base fissa). Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni ,447 a ,334 a ,383 a , ,250 a , ,501 a ,777 a ,7

46 Indici semplici a base fissa Esempio Se si vuole conoscere la variazione dell indice fra il 1978 e il 1977 basterà utilizzare la formula I 1978, ,6 1 I 1977, = 99, = 4,12 103,6 99,5 Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni ,447 a ,334 a ,383 a , ,250 a , ,501 a ,777 a ,7 La fomula precedente è giustificata dalla formula di cambio di base fissa. Per esempio, per passare dall'indice in base "anno 1976" I 1978,1976 all'indice in base "anno 1977":. I = 1978,1. I 1977,1976 I 1977,

47 Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Anno Prezzo Indice (1990) Indice ( ) = 90, = 100, Indice ( )

48 Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Anno Prezzo Indice (1990) Indice ( ) = 90, = 85, = 100, = 95, Indice ( ) = 21 2 Prezzo medio

49 Indici semplici a base fissa Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno. Anno Prezzo Indice (1990) Indice ( ) Esempio Il prezzo di una spillatrice da ufficio è Indice ( ) = 90, = 85, = 90,0 21, = 100, = 95, = 92,3 21, = 21,67 3 Prezzo medio

50 Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. e dallo

51 Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola ,30 = 63 ( 1) e dallo

52 Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola ,30 = 63 ( 1) e dallo In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1 ( )? a 1 a 1 s = a 2

53 Gli sconti e le variazioni Calcolo del prezzo scontato a 2 di un articolo a partire dal prezzo iniziale a 1 sconto s. Se ad esempio l articolo costa 90 euro e c è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola ,30 = 63 ( 1) e dallo In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1 ( )? a 1 a 1 s = a 2 a 1 a 2 a = p p sconto percentuale.

54 Indici semplici a base mobile Assegnate le grandezze a 1,a 2,,a k si dicono numeri indice a base mobile i seguenti rapporti: I i, i 1 = a i a i 1 100, i = 2,,k

55 Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici ,447 a ,334 a 2 a 2 / a 1 x ,283 a 3 a 3 / a 2 x ,250 a 4 a 4 / a 3 x ,501 a 5 a 5 / a 4 x ,777 a 6 a 6 / a 5 x

56 Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici ,447 a ,334 a 2 a 2 / a 1 x ,283 a 3 a 3 / a 2 x ,250 a 4 a 4 / a 3 x ,501 a 5 a 5 / a 4 x ,777 a 6 a 6 / a 5 x Questi numeri forniscono la variazione di prima fabbricazione avutasi rispetto all anno precedente. Per esempio la variazione percentuale di produzione dal 1979 al 1980 è... (109,3-100)% = 9,3%.

57 Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici ,447 a ,334 a 2 a 2 / a 1 x ,283 a 3 a 3 / a 2 x ,250 a 4 a 4 / a 3 x ,501 a 5 a 5 / a 4 x ,777 a 6 a 6 / a 5 x Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale ?

58 Indici semplici a base mobile Esempio La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981 Anni Acciaio Grandezze Indici Indici ,447 a ,334 a 2 a 2 / a 1 x ,283 a 3 a 3 / a 2 x ,250 a 4 a 4 / a 3 x ,501 a 5 a 5 / a 4 x ,777 a 6 a 6 / a 5 x Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale ? La variazione percentuale media è la media geometrica di indici a base mobile meno ,5 104,1 99,9 109,3 93,5 100

59 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5

60 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b a 5.. a b+2 b 2 a a 4 a 100 a a X! a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5

61 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b a 5.. a b+2 b 2 a 3 a 4 a 5 10 a 6 X a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5

62 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a a b a 5.. a b+2 b 2 a 3 a 4 a 5 10 a 6 X a b 1 a 2 a 3 a b+1 a 4 a 5

63 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 a b+1 a b1 a 5.. a b 6 X

64 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5, la crescita percentuale media dal 1976 al 1981 vale a 5 a b+1 2 a 3 a 4 a 5 a X100 X X100 X X100 X X100 X 6 X a a b+2 100! a b t 100 a b aa b+1 a a 2 a 3 t 1 a 4 5 ( - 1) a b+1 a b1 a 5.. a b 6 X 100

65 Indici semplici a base mobile Formalizzando Date le grandezze a a 1, a 2,..., 6 ed i rispettivi indici a base mobile, a / a a 2 1, / a a / a 3 2,..., 6 5 al 1981 vale, la crescita percentuale media dal 1976 ( 1) a. a. b+1 a b a b ( ) 100 = - 1 = 1,025

66 Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di euro nel 2010 Reddito medio annuo di euro nel 2012 valore finale valore iniziale = = 1,67

67 Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di euro nel 2010 Reddito medio annuo di euro nel 2012 valore finale valore iniziale = = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua?

68 Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di euro nel 2010 Reddito medio annuo di euro nel 2012 valore finale valore iniziale = = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? L'intervallo temporale è di due anni dunque nella formula precedentemente determinata crescita = n valore finale valore iniziale bisogna porre n = 2.

69 Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di euro nel 2010 Reddito medio annuo di euro nel 2012 valore finale valore iniziale = = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? crescita = valore finale valore iniziale ,29 n 29 =

70 Indici semplici a base mobile Esempio di crescita percentuale media nel tempo Reddito medio annuo di euro nel 2010 Reddito medio annuo di euro nel 2012 valore finale valore iniziale = = 1,67 Quale è la crescita percentuale media annua? crescita = valore finale valore iniziale ,29 n 29 = ossia c è stata una crescita media del 29% all'anno.

71 Base mobile vs. base fissa Esempio: quantità di acciaio di prima fabbricazione prodotte in Italia nel periodo Mobile Fissa Anni Mobile Fissa